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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第三篇 5立体几何


要点回扣

第三篇 5

5.立体几何

1.一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正 (主)视图下
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面,长度与正(主)视图一样,侧(左)视图放在正(主)视图右 面,高度与正(主)视图一样,宽度与俯视图一样,即“长对 正,高平齐,宽相等”.在画一个物体的三视图时,一

定 注意实线与虚线要分明. [问题 1] 如图,若一个几何体的正(主)视图、 侧(左)视图、俯视图均为面积等于 2 的等腰直 4 角三角形,则该几何体的体积为________ . 3

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第三篇 5

2.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y 轴的线段平行
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性不变,长度减半.” [问题 2] 如图所示的等腰直角三角形 表示一个水平放置的平面图形的直观 2 2 . 图, 则这个平面图形的面积是________

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3.简单几何体的表面积和体积 (1)S 直棱柱侧=c· h (c 为底面的周长,h 为高). 1 (2)S 正棱锥侧= ch′ 2 (c 为底面周长,h′为斜高). 1 (3)S 正棱台侧= (c′+c)h′ 2 (c 与 c′分别为上、下底面周长,h′为斜高). (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧=2πrl(r 为底面半径,l 为母线), S 圆锥侧=πrl(同上),

第三篇 5

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S 圆台侧=π(r′+r)l(r′、 r 分别为上、 下底的半径, l 为母线).

要点回扣 (5)体积公式

第三篇 5

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V 柱 = S· h (S 为底面面积,h 为高), 1 V 锥 = S· h(S 为底面面积,h 为高), 3 1 V 台= (S+ SS′+S′)h(S、 S′为上、 下底面面积, h 为高). 3 (6)球的表面积和体积 4 3 2 S 球=4πR ,V 球= πR . 3 [问题 3] 如图所示,一个空间几何体的正 (主 ) 视图和俯视图都是边长为 1 的正方形,侧(左)视 图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的表面 积为 A.4π B.3π C.2π ( D ) 3 D. π 2

要点回扣

第三篇 5

4.空间直线的位置关系:①相交直线——有且只有一个公共
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点.②平行直线——在同一平面内,没有公共点.③异面 直线——不在同一平面内,也没有公共点. [问题 4] 在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四

相交 . 边上的中点,则直线 EG 和 FH 的位置关系是________

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5.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面

第三篇 5

①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交. ②直线与平面平行的判定定理和性质定理:
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判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行. ③直线与平面垂直的判定定理和性质定理: 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. 性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

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(2)平面与平面

第三篇 5

①位置关系:平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况). ②平面与平面平行的判定定理和性质定理:
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判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则 这两个平面平行. 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它 们的交线平行. ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理: 判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. 性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直.

要点回扣

第三篇 5

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[问题 5] 已知 b, c 是平面 α 内的两条直线, 则“直线 a⊥α” 是“直线 a⊥b,直线 a⊥c”的____________ 充分不必要 条件.

易错警示

第三篇 5

易错点 1 三视图认识不清致误
例 1 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面
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积为

(

)

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

易错警示
错解 由三视图知,该几何体的直观图 如图所示,
该几何体的下底面是边长为 4 的正方形; 上底面是长为 4,宽为 2 的矩形;两个梯

第三篇 5

本 形侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长 讲 栏 为 4,高为 4;另两个侧面是正方形,边长为 4. 目 开 1 2 关 所以表面积 S=4 ×3+2×4+2× (2+4)×4=48+8+24=80.

2

找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系, 根据正视图可知,侧视图中等腰梯形的高为 4,而错认为等腰 梯形的腰为 4.

易错警示
正解 由三视图知该几何体的直观图 如图所示,
该几何体的下底面是边长为 4 的正方形;
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上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯 形侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长 为 4,高为 4;另两个侧面是矩形,宽为 4, 长为 42+12= 17.
1 所以 S 表=4 +2×4+2×(2+4)×4×2+4× 17×2
2

=48+8 17.
答案 C

易错警示

第三篇 5

易错点 2 对几何概念理解不透致误
例 2 给出下列四个命题:
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①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, 则该四棱柱为直 四棱柱; ③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ④底面是矩形的平行六面体是长方体. 其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号).

易错警示

第三篇 5

错解 1 ①②③
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错解 2

②③④ ①是错误的, 因为底面可能是菱形; ④是错误的,

找准失分点

因为长方体的侧棱必须与底面垂直. 正解 ②③

易错警示

第三篇 5

易错点 3 对线面关系定理条件把握不准致误
例3
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已知 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面.给

出下列命题: ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α,或 n⊥β; ②若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α, 则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α,n?β,则 n∥α,且 n∥β; ⑤若 m、n 为异面直线,则存在平面 α 过 m 且使 n⊥α. 其中正确的命题序号是________.

易错警示
错解 ②③④⑤
找准失分点 ③是错误的;⑤是错误的.
正解 ①是错误的. 如正方体中面 ABB′A′⊥面 ADD′A′,
本 讲 交线为 AA′. 栏 目 直线 AC⊥AA′,但 AC 不垂直面 ABB′A′, 开 关 同时 AC 也不垂直面 ADD′A′.

第三篇 5

②正确.实质上是两平面平行的性质定理. ③ 是 错 误 的 . 在 上 面 的 正 方 体 中 , A′C 不 垂 直 于 平 面 A′B′C′D′,但与 B′D′垂直.这样 A′C 就垂直于平面 A′B′C′D′内与直线 B′D′平行的无数条直线.

易错警示

第三篇 5

④正确.利用线面平行的判定定理即可.
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⑤错误.从结论考虑,若 n⊥α 且 m?α, 则必有 m⊥n,事实上,条件并不能保证 m⊥n.故错误. 答案 ②④

查缺补漏

第三篇 5

1.已知三条不同直线 m,n,l 与三个不同平面 α,β,γ,有
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下列命题: ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ②若 α∥β,l?α,则 l∥β; ③α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ④若 m, n 为异面直线, m?α, n?β, m∥β, n∥α, 则 α∥β. 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 ( )

查缺补漏

第三篇 5

解析

因为平行于同一平面的两条直线除了平行,还可能相交

或成异面直线,所以命题①错误;
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由直线与平面平行的定义知命题②正确; 由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交,因此 命题③错误; 过两条异面直线分别作平面互相平行,这两个平面是唯一存在 的,因此命题④正确.故选 C.
答案 C

查缺补漏

第三篇 5

2.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则 下列命题不正确的是
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( B )

A.若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α B.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α D.若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β

查缺补漏

第三篇 5

3.已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面有三个结论:① 若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c;②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;③
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若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c.其中正确的个数为 A.0 B. 1 C.2 D.3

( B )

解析 ①b,c 可能异面;
②b,c 可能异面,也可能平行.

查缺补漏

第三篇 5

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

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A.2+ 2 C.1+2 2

B.3+ 2 D.5

查缺补漏
解析 由三视图可知,该几何体是一个 四棱锥,如图所示.
该几何体的底面是边长为 1 的正方形, 故 S1=12=1.
本 讲 侧棱 PA⊥面 ABCD,且 PA=1, 栏 1 1 目 故 S△PAB=S△PAD= ×1×1= , 2 2 开 关

第三篇 5

而 PD⊥DC,CB⊥PB,且 PB=PD= 2, 1 2 所以 S△PBC=S△PDC=2× 2×1= 2 . 1 2 所以该几何体的表面积为 S=1+2×2+2× 2 =2+ 2.故选 A.

答案 A

查缺补漏
5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

第三篇 5
( A )

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2π A.8- 3

π B.8- 3

C.8-2π

2π D. 3

解析 圆锥的底面半径为 1,高为 2, 该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积, 1 2π 2 即 V=2 ×2-3×π×1 ×2=8- 3 .
2

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6.如图,已知六棱锥 P—ABCDEF 的底面是 正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则 下列结论正确的是 A.PB⊥AD
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第三篇 5

(

)

B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°
解析 若 PB⊥AD,则 AD⊥AB,但 AD 与 AB 成 60° 角,A 错误;
平面 PAB 与平面 ABD 垂直, 所以平面 PAB 一定不与平面 PBC 垂直,B 错误;

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第三篇 5

BC 与 AE 是相交直线,所以 BC 一定不与平面 PAE 平行,C 错误;
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直线 PD 与平面 ABC 所成角为∠PDA, 在 Rt△PAD 中,AD=PA, ∴∠PDA=45° ,D 正确.
答案 D

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第三篇 5

7.某空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表 面积是________.

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第三篇 5

解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体, 其表面积是圆柱的上下两个底面半圆,圆柱的侧面积的一半、 圆柱的轴截面积和球的表面积之和.
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?1? 1 1 2 故这个表面积是 2× ×π×1 + ×2π×1×2+2×2+4π×?2?2 2 2 ? ?

=4(π+1). 所以这个几何体的表面积是 4(π+1).
答案 4(π+1)

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第三篇 5

8.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出四个命 题: ①若 α∥β,则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α∥β;③若 α⊥β,则 l∥m;④若 l∥m,则 α⊥β.
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①④ .(填序号) 其中为真命题的是________
解析 对命题①,则 l⊥α,α∥β 得,l⊥β,m?β, ∴l⊥m,故①正确.
对命题②,l⊥m l⊥β,则 l⊥m α∥β,故②错误.

对命题③,当 α⊥β 时,l 与 m 也可能相交或异面,故③错误.
对命题④,由 l⊥α,l∥m 得 m⊥α,又 m?β,∴α⊥β,故④ 正确.

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9.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD;
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第三篇 5

④若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 BC⊥AD. 其中正确的是________.(填序号)
解析 取线段 BC 的中点 E,连接 AE,DE,

∵AB=AC,BD=CD,∴BC⊥AE,BC⊥DE, ∴BC⊥平面 ADE, ∵AD?平面 ADE,∴BC⊥AD,故①正确. 设点 O 为点 A 在平面 BCD 上的射影,连接 OB,OC,OD,

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第三篇 5

∵AB⊥CD,AC⊥BD,∴OB⊥CD,OC⊥BD,
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∴点 O 为△BCD 的垂心,∴OD⊥BC, ∴BC⊥AD,故④正确,易知②③不正确,填①④.
答案 ①④

查缺补漏

第三篇 5

10.在正三棱锥S—ABC中,M、N分别是棱BC、SC的中点, 且MN⊥AN,若侧棱SA=2 球的表面积是________ 36π .
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3 ,则正三棱锥S—ABC外接

解析

正三棱锥对棱互相垂直,即AC⊥SB,又SB∥MN,且

MN⊥AN,∴SB⊥AN,从而SB⊥平面SAC. ∴∠BSA=90° ,以S为顶点,将三棱锥补成 一个正方体,如图所示,
故外接球的直径2R= 3· SA,即R=3, ∴S=4πR2=36π.


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