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浙江省富阳市第二中学高中数学 轨迹方程课件课件 新人教A版必修2


问题1:已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 1 的距离之比为 ,求点M的轨迹方程和轨迹。 2

动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式(曲线 方程)

动点的运动 路线(曲线)

专题二

《求点的轨迹与轨迹方程》
F(x,y)=0

问题1:已知动点M与两定点

O(0,0)、A(3,0) 1 的距离之比为 ,求点M的轨迹方程和轨迹。 2

求“轨迹方程”是求什么?

求点M的横坐标、纵坐标的关 系等式 归纳步骤:

方法一:直接法
如果已知动点满足的等量关系,那 么直接把动点的坐标代入等式,即得动 点的轨迹方程。 注意规范步骤

练习1:设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点,动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0),求P点的轨迹。

先求方程,再说轨迹。 结论:到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。

问题2:如图,圆O1和圆O2的半径都是1,O1O2=4, 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线,切点为M、N, 且使得|PM|= 2|PN|,问点P的运动轨迹是什么曲 线?

y
M
O1

P

无系先建系 (x-6)2+y2=33
N

P的轨迹是圆 归纳步骤:

o

O2

x

方法一:直接法

步骤:1、建系设点;
2、找出等式; 3、代入坐标; 4、化简变形; 5、确定结论。

练习2: 已知ΔABC底边BC的长为2, 又知 tanBtanC=t(t≠0)(t为常数),求顶点A的轨迹方程.
解:以BC所在直线为x轴,BC的垂直 平分线为y轴,建立如图直角系。则 B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y).
tan B ? K AB
y

A
o C x

B y y ? , tan C ? ? K AC ? ? x ? (?1) x ?1

∵tanBtanC=t

y y ? ? (? )?t x ?1 x ?1

化简得, tx2+y2=t ∵tanB,tanC有意义,∴x?±1
所求的轨迹方程为 tx2+y2=t(x?±1)

下结论前要“去多补少”,一点也不 能少,一点也不能多!

问题3:线段AB的两端点分别在两互相垂直的直 线上滑动,且|AB|=2a,求AB中点P的轨迹方程。
A P O B

解:以这两条互相垂直的直 线为坐标轴建立坐标系,

你能找出点P满足的等式吗? 1 ?| OP |? | AB |? a 2 ∴点P的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆。 方程为x2+y2=a2

方法二:几何法
利用平面几何性质,判断动点轨 迹的方法,叫几何法。

关键在会用性质!

练习3:动直线kx-y+1=0与圆x2+y2=1相交于A、 B两点,求弦AB的中点轨迹方程。 y 解:易知已知动直线过定点 A(0,1) (0,1),该点也在已知圆上,故A、 B中有一点为(0,1),不妨设A C x (0,1) O ∵OC⊥AC B ∴C在以OA为直径的 圆:x2+(y-0.5)2=0.25上 又依题意知直线AB的斜率必存在,故x≠0 ∴ x2+(y-0.5)2=0.25(x≠0)即为所求

《课堂小结》
二方法、一注意: 方法一:直接法——五步骤

方法二:几何法——用性质 注意范围!去多补少

问题4:△ABC中,B(-3,8)、C(-1,-6),另一 个顶点A在抛物线y=x2上运动,求此三角形重心 G的轨迹方程。

可以找到G与A的关系

方法三:坐标转移法(相关点法)

如果G(所求)、A(已知)是相关动点
步骤:1、找到动点G与A的坐标关系; 2、把A的坐标用G的坐标表示; 3、把A的坐标代入A的方程; 4、化简后去多补少下结论。

练习4:已知圆:x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a, r>0.P,B是圆上两点,作矩形PABQ,求点Q的 轨迹。 y Q
P G oA B x

问题5:已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系,

? x ? 3 ? 4t (t ? R) ? ? y ? 4 ? 5t
求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。

? x ? f (t ) ? ? y ? g( t )

练习5:下列参数方程分别表示什么曲线?

? x ? 3 ? at 过点(-1,3)_ 的直线。 (1)? ( t为参数 ) __________ ; ? y ? ?1 ? 4t 以原点为圆心,半径 ? x ? 2 cos ? 为2的圆。 __; ( 2 )? (?为参数 ) __________ ? y ? 2 sin?

? ?x ? 1? t2 单位圆的右半圆。 (3)? (t为参数 ) __________ _. ? ?y ? t

练习6:设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m47m2+9=0,若该方程表示一个圆,求m的取值 范围及圆心的轨迹方程。 1 m?? 6

?x ? m ? 3 ? 2 y ? 4 m ?1 ?

17 y ? 4( x ? 3) ? 1 ( x ? ) 6
2

注意范围!


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