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数学归纳法(竞赛)


数学兴趣小组讲义(八)

数学归纳法
1、定理:如果关于自然数 n 的某个命题 P,(i)先证明对 n = 1(或 n = no)时命题 P 成立; (ii)再假设当 n = k(k ? n o )时命题成立,从假设出发,证明当 n = k + 1 时命题 P 也成立。 在完成这两个步骤以后,就可以断定命题 P 对任何自然数 n(n≥no)都成立。 这个数学原理叫做数学归纳法 2、数学归纳法的应用:①用来证明恒等式 ②用来证明不等式 ③用于递推猜想证明 ④用于证明整除问题 例 1、①求证: 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2 1 2 2 2 2 ②求证: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

例 2、①已知 x ? ?1, x ? 0, n ? N 。求证:当 n ? 2 时, (1 ? x) ? 1 ? nx
n

?

②已知正数数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? an 。求证: an ?
2

1 n

③已知 a, b ? 0, a ? b, n ? N , n ? 1 ;求证: (

?

a ? b n a n ? bn ) ? 2 2

例 3、①求证: x ②求证: 3

2n

? y 2 n (n ? N ? ) 能被 x ? y 整除 ? 40n ? 67 (n ? N ? ) 能被 64 整除

2 n ?1

例 4、①在正数数列 {an } 中, S n ?

1 1 (an ? ) (n ? N ? ) ,求 an 2 an

②数列 {an } 中已知: a1 ? 1, 4an ?1 ? an an ?1 ? 2an ? 9 ,求: an ③数列 {an } 中,已知: a1 ?

2, an ?1 ? 2 ? an ,求: an

④平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,这 n 条直线的交点 个数是 f (n) ,求证: f (n) ?

1 n(n ? 1) 2

练习 1、某个与自然数有关的命题,若 n ? k (k ? N ) 时,命题成立,可推出 n ? k ? 1 时命题 也成立。现在已知 n = 5 时命题不成立,那么可推得……………………….( A.n = 6 时,命题不成立 B. n = 6 时,命题成立 C. n = 4 时,命题不成立 D. n ≠ 6 时,命题成立
2

?

)

2、某同学用数学归纳法证明不等式 n ? n ? n ? 1 时,证明如下: (1)当 n = 1 时命题显 然成立; (2)假设 n = k 时命题成立,即 k ? k ? k ? 1 成立,那么当 n = k+1 时,
2

(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 4k ? 4 ? k ? 2 ? ( k ? 1) ? 1 ,所以 n = k+1
时命题也成立。由(1)(2)可知,对于 n ? N 命题都成立 、 以上数学归纳法证明是错误的,错误在于………………………………………( ) A.当 n = 1 是,验证命题正确的过程不具体 B.归纳法假设不正确 C.从 k 到 k+1 的推理不严密 D.从 k 到 k+1 的推导过程中未使用归纳法假设
?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ,那么 f (1) =_______, f (2) =_________ n n ?1 n ? 2 n 1 4、求证:① 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2) 3
3、已知 f (n) ?

2 3 4 5 ② (1? ? 2? ) ? (3? ? 4? ) ? ? ? [(2n ? 1)(2n) ? 2n(2n ? 1) ] ? ?n( n ? 1)(4n ? 3)
2 2 2 2 2 2

(1 5、求证:① (1 ? )(1 ? ) ? ?

1 3

1 5

1 2 n ?1 ? ) ? ( n ?1, n? N ) 2 n ?1 2

②已知正数等差数列 {an } 和正数等比数列{bn } 中, a1 ? b1 , a2 ? b , a ? a 2 1 2 求证:当 n ? 2 时, bn ? an

6、已知 n ? N ,求证: 4 ? 6 ? 5
n

?

n ?1

除以 20 的余数为 9

7、①已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? an cos x ? cos nx ,求: an ②定义 f n ( x) ? f ( f ? f ( x)),

f( x ? )

x 1 ? x2

,求: f n ( x)
n

③已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? 1, an ?2 ? an ?1 ? an ,求证: an ? 2


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