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第4单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入-数学(文科)-新课标(RJA)-全国卷地区专用


新课标(RJA) ·全国卷地区专用

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第四单元 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
第23讲 第24讲 平面向量的概念及其线性运算 平面向量基本定理及坐标表示

第25讲
第26讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
数系的扩充与复数的引入

使用建议
1.编写意图 本单元内容是高中数学中的工具性知识,出现在近几 年高考卷中主要有两个方面:一是平面向量本身知识的基 础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是 考查复数的概念与运算,一般设在第1题,难度小. 因此,编写时主要立足于基本概念及运算,如用向量 知识解决有关长度、夹角、垂直等问题.复数概念、几何 意义及复数运算等不再涉及过高或过难的问题.

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2.教学建议 本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习时应 注意下面几点: (1)对向量的复习要分层次进行:一是向量的基础知识, 包括向量的概念和线性运算,平面向量的基本定理,平面 向量的坐标运算和数量积等,这是基本要求;二是单元内 的综合,特别是平面向量的坐标表示,线性运算,基本定 理以及数量积的应用,其中向量的数量积是平面向量的核 心内容,也是高考考查的热点;三是向量与其他知识的综 合,即用向量来解决向量与代数、向量与三角函数、向量 与几何等综合问题.
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(2)对于复数部分,新教材对复数的要求有所降低,复 习时要重视基础.理解复数、相等的复数、共轭复数及复 数的模等概念,掌握复数为实数、虚数、纯虚数的充要条 件,掌握复数的四则运算,理解复数加减法的几何意 义.同时注重复数的基本运算和技巧运用,以此提高解题 速度和准确度.

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3.课时安排 本单元共4讲和一个45分钟三维滚动复习卷,一个突破 高考解答题专项训练.第25讲建议2课时完成,其余每讲建 议1课时完成,45分钟三维滚动复习卷建议1课时完成,突 破高考解答题专项训练建议1课时完成,共需7课时.

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课 前 双 基 巩 固 课 堂 考 点 探 究 学 科 能 力

第23讲 平面向量的概念及其 线性运算

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考试说明
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

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考情分析
平面向量的概念及其线性运算是向量的基础概念. 主要考 点及考查方向如下表: 考点 考查方向 考例 平面向量的 平面向量的基 基本概念 本概念 平面向量的 平面向量的加 2015· 全国卷Ⅱ4, 线性运算 减运算 2015· 全国卷Ⅰ2 向量共线定 向量共线定理 理及应用 及应用 考查热度 ★☆☆ ★★☆ ★☆☆

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 → 1.[2015· 全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC= → (-4,-3),则向量BC=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) → → → → [解析] A AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)- (3,1)=(-7,-4).

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2.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 D,E,F 分别为△ABC 的 → → 三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC=( ) 1→ → A. AD B. 2AD 1→ → C.2BC D.BC → → → → → → 1 → 1→ [解析] A EB+FC=EC+CB+FB+BC=2AC+2AB= → AD.

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--2015 年其他省份类似高考真题 [2015· 四川卷] 设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线, 则实数 x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 [解析] B 由向量 a,b 共线,得 2× 6-4x=0,解得 x=3, 选 B.

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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

—— 知识聚焦 ——
1.向量的有关概念及表示 名称 定义 向量 在平面中,既有 大小 又有 方向 的量

表示 → 用 a,b,c,…,或AB, → BC,…表示

向量 a 的 大小 ,也就 → 是表示向量 a 的有向线段 |a| 向量的模 或 |AB| → AB的 长度 (或称模) 零向量 长度为 0 的向量 用 表示 0 长度等于 1 个单位 1 单位向量 用 e 表示,|e|=______ 的向量
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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算

名称 平行向量 相等向量 相反向量

定义 方向 相同 或相 反的非零向量 长度 相等且方 向 相同 的向量 长度 相等, 方向 相反 的向量

表示 a∥b a=b 向量 a 的相反向量是 -a

不确定的、任意的 ,规定:零向量 说明:零向量的方向是 与任一向量 平行 . 2.向量的线性运算

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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算

向量 运算

定义

法则 (或几何意义)

运算律

加法

求两个向量 和 的运算

三角形 法则

(1)加法交换律: a+b= b+a (2)加法结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

平行四边形 法则

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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算
定义 法则(或几何意义) 运算律

向量 运算

减去一个向量 相当于加上这 减法 个向量的

a -b =

相反向量
实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ,这种 ______ 数乘 运算叫作向量 数乘 ,记 的_______ 作_______ λa

三角形法则 |λ||a| (1) |λa |=______ (2) 当 λ > 0 时, λa 与 a 的方向_____ 相同; 当 λ< 0 时,λa 与 a 相反 ;当 的方向_______ λ= 0 时, λa=____ 0

a+(-b)

(1)对向量加法的分 配律:λ (a+b)= λa+λb ________________ (2)对实数加法的分 配律: (λ 1+λ 2)a= λ1a+λ2a _________________
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 3.向量的共线定理 前 双 向量 a(a ≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ, 基 使 b=λa . 巩 固

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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算

—— 正本清源 ——

?

链接教材
→ → → → 1.[教材改编]向量和式(AB+MB)+(BO+BC)+

→ OM化简后等于 → [答案] AC

.

→ → → → → → [解析] 原式=AB+BO+OM+MB+BC=AC.

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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算

2.[教材改编]若

? 1 ? 1 2?x- a?- (b+c-3x)+b=0,其 3 ? 2 ?

中 a,b,c 为已知向量,则 x=

.

4 1 1 [答案] a+ b+ c 21 7 7

[解析] 由

? 1 ? 1 2?x-3a?-2(b+c-3x)+b=0, ? ?

? 3? 2 1 1 7 2 1 1 ? ? 得 2+2 x-3a-2b-2c=0,即2x=3a+2b+2c, ? ?

4 1 1 所以 x=21a+7b+7c.
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第23讲
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平面向量的概念及其线性运算

3.[教材改编]a 表示向东走 1km,b 表示向南走 1km,则 a+b 表示向 方向走 km.

[答案]

东南

2

[解析] 易知 a+b 表示向东南方向走 2km.

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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

→ → 4.[教材改编]M 是△ABC 边 BC 的中点,AB=a,AC=b, → 则AM= .
1 [答案] (a+b) 2
→ → → [解析] ∵AB+BM=AM, → → → → 1 → → → → AC+CM=AM,∴AM= (AB+BM+AC+CM).又 2 → → → 1 → → 1 CM=-BM,∴AM= (AB+AC)= (a+b). 2 2

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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

易错问题 5.向量有关概念的理解误区:相等向量;共线向量. → → (1)若四边形 ABCD 满足AD=BC,则四边形 ABCD 的 形状是 . → → (2)若四边形 ABCD 满足AD=kBC(k>0,k≠1) ,则四 边形 ABCD 的形状是 . [答案] (1)平行四边形 (2)梯形 → → [解析] (1)AD=BC表示 AD∥BC 且 AD=BC,所以 四边形 ABCD 是平行四边形. → → (2)AD=kBC(k>0, k≠1)表示 AD∥BC, 但 AD 与 BC 不相等,所以四边形 ABCD 是梯形.
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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

6.处理向量问题的常见错误: 忽视零向量; 滥用结论. (1)若 a 与 b 是共线向量,b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 的关系是 . (2)已知两向量 a, b,若 |a |=1, |b |=2 ,则 |a +b | 的范围是 .

[答案] (1)共线向量或不共线向量 (2)[1,3]

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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

[解析] (1)若 b=0,则 a 与 c 未必是共线向量,若 b 是 非零向量,则 a 与 c 是共线向量.在处理向量问题时不要 忽略零向量. (2)当 a,b 方向相同时,有|a+b |=3;当 a,b 方向相 反时,有|a+b |=1;当 a,b 不共线时,1<|a+b |<3.所以 |a + b|的范围是[1,3].注意在一般情况下, |a + b|=|a |+ |b |不 成立.

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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

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通性通法

7.有关向量的几个结论: 三点共线; 向量的中线公式; 三角形重心的向量表示. ( 1 )A ,B, C 三点共线的充要条件是对不在直线 → → AB 上的任意一点 O , 存在实 数 t 使 得 OC = tOA + → OB. → → (2)△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD=λ(AC+ → AB) ,则 λ= . → → → ( 3 ) O 为 △ABC 重 心 的 充要 条 件 是 OA + OB + OC = .
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第23讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的概念及其线性运算

1 [答案] (1)1-t (2) (3)0 2 [解析] (1)根据共线向量定理知,A,B,C 三点共线的 → → → → → 充要条件是存在实数 t 使得BC=tBA, 即OC-OB=t(OA- → → → → OB),即OC=tOA+(1-t)OB. → → → → → → → → → (2)由AD=AB+BD, AD=AC+CD, 得 2 AD=(AB+AC) → → +(BD+CD). → → → 1 → → ∵BD+CD=0,∴AD=2(AB+AC). → (3)取 BC 的中点 D, O 为△ABC 重心的充要条件是AO 2→ 2 1 → → 1 → → 1 → → → = 3AD= 3 ×2 (AB+ AC) = 3 (AB+ AC) = 3 (OB - OA +OC- → → → → OA),整理即得OA+OB+OC=0.
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

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探究点一

平面向量的基本概念

课 堂 考 点 探 究

例 1 给出下列命题: ①若|a |= |b |,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线 → → 的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件 是|a |= |b |且 a∥b.其中真命题的序号是 .

[思路点拨]根据向量的相关概念判断. [答案] ②③
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[解析] ①不正确,两个向量的长度相等,但它们的方 向不一定相同. → → → → → → ②正确,因为 AB= DC,所以 |AB|= |DC|且 AB∥ DC, 又因为 A,B,C,D 是不共线的四点,所以四边形 ABCD 为平行四边形.反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则 → → → → → → → → AB∥DC且 |AB|= |DC|,因此, AB= DC.故“AB=DC”是“四 边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件. ③正确,因为 a=b,所以 a,b 的长度相等且方向相 同,又 b=c,所以 b,c 的长度相等且方向相同,所以 a, c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确,当 a∥b 且方向相反时,即使 |a |= |b |,也不 能得到 a=b,故“|a |= |b |且 a∥b”不是“a=b”的充要条件, 而是必要不充分条件.综上所述,真命题的序号是②③.

第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[总结反思]对于向量的概念应注意以下几点: ( 1 )向量的两个特征为有大小,有方向,向量既 可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示. ( 2 )相等的向量不仅模相等,而且方向要相同, 所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等 向量. ( 3 )向量与数量不同,数量可以比较大小,向量 则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小. ( 4 )向量是自由向量,所以平行向量就是共线向 量,二者是等价的.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

变试题给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大 小; ③λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[解析] C ①错误,两向量共线要看其方向而不是起 点与终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能 比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0. ④错误,当 λ=μ=0 时,λa=μb,此时 a 与 b 可以是 任意向量.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

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探究点二

平面向量的线性运算

课 堂 考 点 探 究

例 2 (1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O → → → 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则OA+OB+OC → +OD等于( ) → → A. OM B.2 OM → → C.3OM D.4 OM (2)[2015· 九江模拟]设 D,E 分别是△ABC 的边 AB, → 1→ → 2 → → → → BC 上的点,AD=2AB,BE=3BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数) ,则 λ1+λ2 的值为 .
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] (1)利用向量加法的三角形法则,相反 向量以及几何图形求解. (2) 利用向量加法的三角形法则,共线向量、相反 向量的概念求解. 1 [答案] (1)D (2) 2
[解析] (1)如图所示, 因为 M 为平行四边形 ABCD 对角 → → → 线的交点, 所以 M 是 AC 与 BD 的中点, 即MA=-MC, MB → =-MD. → → → → → → 在△OAC 中, OA +OC=( OM + MA) +(OM + MC) = → 2OM.
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

→ → → → → → 在△OBD 中,OB+OD=(OM + MB) +(OM +MD) = → 2OM, → → → → → 所以OA+OC+OB+OD=4OM,故选 D.
课 堂 考 点 探 究

→ → → 1→ 2 → 1→ 2 → → (2)DE=DB+BE= 2AB+3 BC=2AB+ 3(BA+AC)=- 1→ 2 → 1 2 1 AB+ AC,所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= . 6 3 6 3 2

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[总结反思 ] (1)用已知向量来表示其他向量是用 向量解题的基本功,除利用向量的加减法、数乘向量外, 还应充分利用一些平面几何的定理. ( 2 )在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三 角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角 形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质, 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

变式题 ( 1 ) [2015· 湖南师大附中月考 ] 在平行四边形 → → → ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, AC=λAE+μAF, 其中 λ,μ∈R,则 λ+μ= . → → → (2)在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,AN= → → 3NC,M 为 BC 的中点,则MN= .(用 a,b 表示)
[答案] 4 (1) 3 1 1 (2)- a+ b 4 4

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

→ [解析] (1)E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 所以有AE 1 → → → 1 → → =2(AD+AC),AF=2(AB+AC), → → → → → → 相加得 2AE+2AF=AB+AD+2AC=3AC, 2 4 → 2→ 2→ 所以AC= AE+ AF,即 λ=μ= ,所以 λ+μ= . 3 3 3 3

1 → → → 3→ 3 → (2)由AN=3NC得AN=4AC=4(a+b), AM=a+2b,所
? 1 ? 1 1 → → → 3 以MN=AN-AM=4(a+b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ?
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

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探究点三

共线向量定理及应用

课 堂 考 点 探 究

→ 例 3 设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1- → → 8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线. → (2)若BF=3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值.
[思路点拨] (1)利用共线向量定理证明; (2)利用共线向 量定理得出关于 k 的方程,解方程可得.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

→ → → 解: (1) 证明:由已知得BD= CD-CB = (2e1- e2) - (e1 +3e2)=e1-4e2. → → → 因为AB=2e1-8e2,所以AB=2BD. 又有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线. → → (2)由(1)可知BD=e1-4e2,且BF=3e1-ke2, → → 由 B,D,F 三点共线得BF=λBD, 即 3e1-ke2=λe1-4λe2, ? ? λ =3 , 得? 解得 k=12. ? ?-k=-4λ,

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)证明三点共线问题,可用向量共线 来解决,但要注意向量共线与三点共线的区别与联系,当 两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线.解决此类问 题的关键是利用共线向量定理得出 b=λa, 即要证明 A, B, → → C 三点共线,只需证明AC=λAB,再利用对应系数相等, 列出方程组,解出系数. (2) 一个常用结论: A, B, C 三点共线?存在实数 λ, → → → μ, 对任意一点 O (O 不在直线 BC 上) , OA=λOB+μOC (λ +μ=1).

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

课 堂 考 点 探 究

→ → 变式题设 e1, e2 是不共线的向量, 若AB=e1-λe2, CB= → 2e1+e2,CD=3e1-e2,若 A,B,D 三点共线,则 λ 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → [解析] A 因为 CB=2e1+e2,CD=3e1-e2, → → → 所以BD=CD-CB=(3e1-e2)-(2e1+e2)=e1-2e2. → → 若 A,B,D 三点共线,则AB与BD共线,即存在 μ∈R, → → 使得AB=μBD,即 e1-λe2=μ(e1-2e2). ? ?1=μ, 由 e1,e2 是不共线的向量,得? 解得 λ=2. ? ?-λ=-2μ,
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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

误区警示

9.向量共线中参数求值问题的易错点

【典例】已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+ (2λ-1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为 .
[答案] 1

学 科 能 力

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

解析

由于 c 与 d 同向,所以 c=kd ①(k>0) ,

于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b.
? ?λ=k, 不共线,所以有 ②? ? ?2λk-k=1,

由于 a,b

学 学 科 科 能 能 力 力

1 整理得 2λ -λ-1=0,所以 λ=1 或 ③λ=-2 .
2

又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

[易误点拨] ①处不关注k>0,因为是两向量同向, 不是共线,所以必须限制k>0;②处不能结合两向量相 等列出相应的方程组,造成无法继续求解;③处对解 出的参数的值不能做出正确的判断,或缺少验证致错.

数 学 学 思 科 想 能 方 力

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

【 跟踪练习 】 ( 1 ) [2015· 陕西师大附中月考 ] 已知 → 2→ 1→ → △ABC 中,平面内一点 P 满足CP=3CA+3CB,若 |PB|= → t|PA|,则 t 的值为( ) 1 1 A.3 B. C.2 D. 3 2 (2)设两个非零向量 a 与 b 不共线,若 ka+ b 和 a +kb 共线,则 k= .
学 科 能 力

[答案]

(1)C (2)± 1

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

→ 2→ 1→ → → 2→ [解析] (1)因为CP=3CA+3CB,所以CP-CB=3CA- 2→ → 2→ → → 3CB,即BP=3BA,所以|PB|=2|PA|. (2)因为 ka+b 与 a+kb 共线,则存在实数 λ,使 ka+b =λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又 a,b 是两不共线的非 零向量, 所以 k-λ=λk-1=0,所以 k2-1=0,所以 k=± 1.
学 科 能 力

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

—— 教师备用例题 —— [备选理由]例1利用平面向量的线性运算求参数, 意在加深考生对平面向量线性运算的理解.例2是平面 向量共线定理的应用,意在提高考生的应用能力.
例 1 【配例 2 使用】如图,在△ABC 中,在 AC 上取点 1 1 N,使得 AN=3AC,在 AB 上取点 M,使得 AM=3AB,在 1 BN 的延长线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长线上 2 → → → → 取一点 Q, 使得MQ=λCM, 若AP=QA, 则 λ 的值为________.

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

1 [答案] 2 1 → → 1 → → → 1 → → [ 解析 ] AP= NP - NA = 2 ( BN- CN ) = 2 ( BN + NC ) =2
→ BC. → → → 1→ → 1→ → QA=MA-MQ= BM-λCM= BM+λMC. 2 2 1→ → → → 1→ → 1 → 又AP=QA, 所以 BM+λMC= BC, 所以 λMC= (BC 2 2 2 1→ 1 → -BM)= MC,所以 λ= . 2 2

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

例 2 【配例 3 使用】如图,△ABC 中,O 是 BC 中点, 过点 O 的直线 MN 分别交直线 AB, AC 于不同的两点 M, N, → → → → 若AB=mAM,AC=nAN,求 m+n 的值.

[答案] 2

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第23讲

平面向量的概念及其线性运算

[解析] 连接 AO. → → → 因为 M, O, N 三点共线, 所以设 AO=λAM+(1-λ)AN, → → → → → λ → 1-λ → 且AB=mAM,AC=nAN,所以AO= AB+ AC. m n → 1→ 1 → 根据条件易知AO=2AB+2AC, λ 1 1 -λ 1 所以 = , = ,所以 m=2λ,n=2-2λ,所以 m 2 m 2 n +n=2.

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第24讲 平面向量基本定理及 坐标表示

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考试说明
1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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考情分析
平面向量基本定理及坐标运算是向量的基础概念和 基本方法.主要考点及考查方向如下表: 考点 考查方向 平面向量的基 平面向量基本 本定理 定理的应用 考例 考查热度 ★☆☆ ★☆☆ ★☆☆

2015· 全国卷 平面向量的坐 平面向量的坐 Ⅱ4,2015· 全 标运算 标运算 国卷Ⅰ2 平面向量共线 向量共线的判 的坐标表示 断与应用

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅱ] 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则 (2a+b)· a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [解析] C 2a+b=2(1, -1)+(-1, 2)=(1, 0), 所以(2a +b)· a=(1,0)· (1,-1)=1.

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→ 2.[2015· 全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC= → (-4,-3),则向量BC=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) → → → → [解析] A AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3, 1)=(-7,-4).

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——2015 年其他省份类似高考真题 1 [2015· 浙江卷] 已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1· e2=2. 若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b|=________. 2 3 [答案] 3 [解析]令 b=xe1+ye2(x,y∈R),b· e1=xe1· e1+ye2· e1=x 1 1 2 + y=1,b· e2=xe1· e2+ye2· e2= x+y=1,解得 x=y= ,则 2 2 3 2 4 2 4 2 4 2 2 b= (e1+e2), 所以 b = (e1+e2) = (e1+2e1· e2+e2)= , 故 |b | 3 9 9 3 2 3 = 3 .
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第24讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量基本定理及坐标表示

—— 知识聚焦 —— 1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对 有且只有 一对实数λ1,λ2,使 于这一平面内的任意向量a, a=λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量 e1 , e2 叫作表示这一平 面内所有向量的一组 基底 . 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标运算
向量 a b a+b a-b λa

(x1+x2, (x1-x2, (λx1,λy1) 坐标 (x1,y1)(x2,y2) y +y ) y - y ) 1 2 1 2
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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

(2)向量的坐标求法 → 已知 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则AB= (x1+x2,y1+y2)
2 2 → ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2. 1 |AB|= 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,其中 a≠0,则 向量 a 与 b 共线?b=λa? x1y2-x2y1= .0



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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

—— 正本清源 ——

?

链接教材

1.[教材改编]已知=(-2,-5),B(3,-7),则 点A的坐标为 .

[答案] (5,-2)
[解析] 设点 A 的坐标为(x,y),则 (-2,-5)=(3,-7)-(x,y)=(3-x,-7-y),
? ? ?-2=3-x, ?x=5, 则? 解得? 故点 ? ? ?-5=-7-y, ?y=-2,

A 的坐标为(5,-

2).
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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

2.[教材改编]已知a=(3,-1),b=(1,2),则 3a-2b= .

[答案] (7,-7) [ 解析 ] 3a - 2b = 3(3 ,- 1) - 2(1 , 2) = (7 ,- 7).

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

3.[教材改编]已知 a= (3, 4) , b= (sinβ, cosβ ) , 且 a∥b, 则 tanβ= .

3 [答案] 4

[解析] 由 a∥b 得 b=λa, ∴sinβ=3λ,cosβ=4λ(λ≠0), sinβ 3 3 ∴ = ,即 tanβ= . 4 cosβ 4

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

4.[教材改编]已知 e1,e2 是平面向量的一组基底,且 a= λ1e1+λ2e2.若 a∥e2,则 λ1= ;a 和 e1 共线的条件 是 .

[答案] 0 λ2=0
[解析] 若 a∥e2, 则设 a=λe2(λ≠0), 于是 λe2=λ1e1+λ2e2, 即(λ-λ2)e2=λ1e1.又 e1,e2 不共线,所以 λ-λ2=0 且 λ1=0. 同理 a 和 e1 共线有 λ2=0.

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

?

易错问题

5.向量易忽略的两个问题:向量的夹角;单位向量. → → (1)等边三角形 ABC 中,若AB=a,BC=b,则 a, b 的夹角为 . → (2)已知 A(1,3) ,B(4,-1) ,则与向量AB共线的 单位向量为 .

[答案] (1)120°

?3 4? ? 3 4? (2)? ,- ?或?- , ? 5? ? 5 5? ?5

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

[ 解析 ] (1) 求两向量的夹角要求两向量的起点是同一 点,因此 a,b 的夹角为 120° . → → → (2)由已知得AB=(3,-4),所以|AB|=5,因此与AB共 1 → ?3 4? 1 → ? 3 4? 线的单位向量为 AB=? ,- ?或- AB=?- , ?. 5 5? 5 ?5 ? 5 5?

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

?

通性通法

6. 向量相等的常见两种形式:用基底表示的向量相等; 用坐标表示的向量相等. (1)已知向量 a,b 不共线,若 λ1a+b=-a+μ1b,则 λ1 = ,μ1= . (2)已知向量 a=(1,2) ,b=(2,3) ,c=(3,4) , 若 c=λa+μb,则 2λ+μ= .

[答案] (1)-1 1

(2)0

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第24讲
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平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)根据平面向量基本定理,用一组基底表示一 个向量,基底的系数是唯一的,则有 λ1=-1,μ1=1. (2)由 c=λa+μb, 得(3, 4)=λ(1, 2)+μ(2, 3)=(λ+2μ, 2λ+3μ),
? ? ?λ+2μ=3, ?λ=-1, ∴? 解得? 故 ? ? ?2λ+3μ=4, ?μ=2.

2λ+μ=0.

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点一

平面向量的基本定理

课 堂 考 点 探 究

如图 4241 所示,在平行四边形 ABCD 中, → → M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM=c,AN=d,试 → → 用 c,d 表示AB,AD.

例1

图 4241
→ → [思路点拨] 设AB=a,AD=b,利用向量运算的三角形法 则寻找向量 a,b 与向量 c,d 的关系.
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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

→ → 解:方法一:设AB=a,AD=b, ? 1 ? → → 则 a=AN+NB=d+?-2b?,① ? ? ? 1 ? → → b=AM+MD=c+?- a?.② ? 2 ? ? 1?? ? 1 ?? 将②代入①,得 a=d+?-2??c+ ?-2a??, ? ?? ? ?? 4 2 2 ∴a= d- c= (2d-c).③ 3 3 3 ? 1? 2 2 ? ? 将③代入②,得 b=c+ -2 × (2d-c)=3(2c-d). 3 ? ? → 2 → 2 ∴AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ → 方法二:设AB=a,AD=b. → 1 → 因为 M, N 分别为 CD, BC 的中点, 所以 BN=2b, DM
课 堂 考 点 探 究

1 = a, 2 1 2 ? ? ?c=b+2a, ?a=3(2d-c), 因而? ?? ?d=a+1b ?b=2(2c-d), 2 3 ? ? → 2 → 2 即AB=3(2d-c),AD=3(2c-d).

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)用一组基底表示平面上的其他向 量,其做法是:先选择一组基底,通过向量的加、减、 数乘运算,把其他相关的向量用这一组基底表示出来, 有时还利用向量相等建立方程组,解出某些相关的值. (2)要熟练运用平面几何的一些性质定理.

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

如图 4242 所示,在梯形 ABCD 中, 1 AD∥BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 的 3 → → → 中点.设BA=a,BC=b,试用 a,b 为基底表示向量EF, → → DF,CD.

变式题

图 4242

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

1 1 1 → → → → 解:EF=EA+AB+BF=- b-a+ b= b-a, 6 2 3 ?1 ? 1 1 → → → DF=DE+EF=- b+? b-a?= b-a, 6 ?3 ? 6 ?1 ? 1 2 → → → CD=CF+FD=-2b-?6b-a?=a-3b. ? ?

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点二

平面向量的坐标运算

课 堂 考 点 探 究

→ 例 2 (1)[2015· 惠州二调]已知向量AB=(3,7) , 1→ → BC=(-2,3) ,则- AC=( ) 2 ? 1 ? ?1 ? A. ?- ,5? B. ? ,5? ? 2 ? ?2 ? ? 1 ? ?1 ? C.?-2,-5? D.?2,-5? ? ? ? ? → (2)已知 A(2,3) ,B(5,4) ,C(7 ,10) ,若 AB → → =mAC+nBC,则 m+n= .

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

[思路点拨] (1)直接利用向量加法的坐标运算法则进行运 → → → 算;(2)先求AB,再将 mAC+nBC表示为坐标形式,利用向量 相等,得到关于 m,n 的方程组.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)C (2)0

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

→ → → [解析] (1)因为AB=(3,7),BC=(-2,3),所以AC= ? 1→ ? 1 → → AB+BC=(1,10),所以-2AC=?-2,-5?. ? ? → → (2)因为AB=(5,4)-(2,3) =(3,1),AC=(7,10)- → (2,3)=(5,7),BC=(7,10)-(5,4)=(2,6), → → 所以 mAC+nBC=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+ 6n). → → → 因为AB=mAC+nBC=(3,1), ? ? ?5m+2n=3, ?m=1, 所以? 所以? 所以 m+n=0. ? ? ?7m+6n=1, ?n=-1,

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思 ] (1)利用向量的坐标运算解题,首先 利用加、减、数乘运算法则进行,然后根据“两个向量 相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,化归为 方程(组)进行求解. ( 2 )向量的坐标表示把点与数联系起来,实际上 是向量的代数表示,即引入平面向量的坐标可以使向量 运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使很多几何 问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1) [2015· 唐山二模]已知平面向量 a= (1, 1 3 1) ,b=(1,-1) ,则向量 a- b 等于( ) 2 2 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 1 (2)已知 A(7,1) ,B(1,4) ,直线 y=2ax 与线 → → 段 AB 交于点 C,且AC=2CB,则实数 a= .
[答案] (1)D (2)2

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

1 ?1 1? 3 ?3 3? 1 3 ? ? ? ? [解析] (1)2a= 2,2 , b= 2,-2 , 故 2a-2b=(-1, 2 ? ? ? ? 2).
课 堂 考 点 探 究

→ → (2)设 C(x,y) ,则 AC=(x-7 ,y-1), CB =(1-x,4 -y), ? ? ?x-7=2(1-x), ?x=3, → → 因为AC=2CB,所以? 解得? ? ? ?y-1=2(4-y), ?y=3, 1 所以 C(3,3).又因为点 C 在直线 y= ax 上,所以 3 2 1 =2a· 3,所以 a=2.

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点三

平面向量共线的坐标表示

课 堂 考 点 探 究

例 3 (1)[2015· 万州模拟]已知平面向量 a=(1, 2) ,b=(-2,m) ,且 a∥b,则 2a+3b= . π (2)设 0<θ<2,向量 a=(sin2θ,cosθ) ,b=(cosθ, 1) ,若 a∥b,则 tanθ= .
[思路点拨] (1)由 a∥b 求出 m 的值,再求 2a+3b;(2) 根据 a∥b 得出关于 θ 的三角函数式,再求值.
[答案] (1)(-4,-8) 1 (2)2
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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)由 a=(1, 2), b=(-2, m), 且 a∥b, 得 1× m =2× (-2),即 m=-4.从而 b=(-2,-4), 那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). (2) 因为向量 a∥b ,所以 sin2θ - cosθ· cosθ = 0 ,又 1 cosθ ≠0,所以 2sinθ=cosθ,故 tanθ=2.

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两 种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的 充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb. ( 2 )利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量 平行,也可以由平行求参数 . 当两向量的坐标均为非零 实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1) [2015· 唐山一中月考]已知梯形 ABCD, 其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2) ,B(2, 1) ,C(4,2) ,则点 D 的坐标为 . (2)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 p=(a+c,b) ,q=(b-a,c-a) ,且 p∥q, 则 C= .
[答案] (1)(2,4) (2)60°

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ [解析] (1)因为在梯形 ABCD 中, DC=2AB, 所以DC= → 2AB. → 设点 D 的坐标为(x,y),则 DC=(4,2)-(x,y)=(4- x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1), 所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2, -2), ? ? ?4-x=2, ?x=2, 所以? 解得? 故点 D 的坐标为(2, 4). ? ? ?2-y=-2, ?y=4, (2)因为 p∥q,则(a+c)(c-a) -b(b-a)=0,所以 a2 2 2 2 a + b - c 1 2 2 +b -c =ab,所以 cosC= =2.又 0° <C<180° , 2ab 所以 C=60° .

课 堂 考 点 探 究

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

创新应用

3.向量坐标化在解题中的应用

【典例】如图 4243 所示,将 45° 的直角三角板 ADC 和 30° 的 直 角三 角板 ABC 拼在 一 起组 成平面 四 边 形 ABCD,其中 45° 的直角三 角板的斜边 AC 与 30° 的直角三角板的 30° 所对的直角 → → → 边重合,若DB=xDA+yDC,则 x,y 分别等于( ) A. 3,1 C.2, 3 B. 3+1, 3 D. 3, 3+1 图 4243
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学 科 能 力

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

思路 因为 AD⊥CD, 所以可以以 D 为原点, 分别以 DA, DC 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,将向量用坐 标表示,通过向量的坐标运算得出结果.
解析 D 以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系如图 4244 所示,不妨令 AD=2,则 D(0,0) ,A(2,0) ,C(0,2) ,

学 科 能 力

图 4244
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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ → 所以DA=(2,0) ,DC=(0,2) , 在△ABC 中,AC=2 2,AB=4 2,BC= AB2-AC2 =2 6, 过点 B 作 BE⊥y 轴, 交 y 轴于点 E, 则 CE=BE=2 3, → 即 B(2 3,2+2 3) ,所以DB=(2 3,2+2 3). → → → 由DB=xDA+yDC,得
学 科 能 力

(2 3,2+2 3 )=x(2, 0)+ y(0, 2)=(2 x, 2y) ,
? ? ?2 3=2x, ?x= 3, 所以? 解得? ? ? ?2+2 3=2y, ?y=1+ 3.
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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

[解题模板] 根据图形特征,利用相互垂直的两 边所在直线建立平面直角坐标系,根据已知条件求出 相应点的坐标,这样就可以根据已知条件把相关向量 用坐标表示出来.

数 学 学 思 科 想 能 方 力

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

数 学 学 思 科 想 能 方 力

【跟踪练习】 (1)[2015· 九江三模]已知 A,B,C 是圆 → → 2 2 x +y =1 上不同的三点,且OA· OB=0(O 为坐标原点) , → → → 若存在实数 λ,μ 满足OC=λOA+μOB,则实数 λ,μ 的关 系满足( ) 1 1 A. + =1 B.λ2+μ2=1 λ μ C.λμ=1 D.λ+μ=1 (2) 已知直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ADC=90° , → → AD=2,BC=1,P 是 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小 值为 .

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

[答案] (1)B

(2)5

课 堂 考 点 探 究 学 科 能 力

[解析] (1)不妨设 A(1,0),B(0,1),C(x,y),则(x, y)=λ(1,0)+μ(0,1),即 x=λ,y=μ,由于点 C 在圆 x2 +y2=1 上,所以 λ2+μ2=1. (2)以 D 为坐标原点, DA, DC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 DC=m, P 点坐标为 → → (0,y),则 A(2,0),B(1,m),PA=(2,-y),PB=(1,m → → -y), 所以PA+3PB=(2, -y)+3(1, m-y)=(5, 3m-4y), 3 → → 2 2 故|PA+3PB|= 5 +(3m-4y) ≥5, 当且仅当 y= m 时 4 → → 取等号,故|PA+3 PB|的最小值为 5.

第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

—— 教师备用例题 —— [备选理由]例1是平面向量基本定理的应用问题, 例2是向量坐标运算的应用问题,通过这两个题目的练 习能够对提高学生的综合应用能力起到积极作用.
例 1 【配例 1 使用】如图,G 是△OAB 的重心,P, Q 分别是边 OA,OB 上的动点,且 P,G,Q 三点共线. → → → → → (1)设PG=λPQ,将OG用 λ,OP,OQ表示; 1 1 → → → → (2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明: + 是定值. x y

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ → → → → → → → 解:(1)OG=OP+PG=OP+λ PQ=OP+λ(OQ-OP ) → → =(1-λ)OP+λOQ. → → → → (2)证明: 由(1)得OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+ → → 2→ 2 1 λyOB, ① 因为 G 是△OAB 的重心, 所以OG= OM= × 3 3 2 → → 1→ 1→ → → (OA+OB)=3OA+3OB.② 而OA, OB不共线, 所以由①② 1 ? ?1 ?(1-λ)x=3, ? x=3-3λ, 1 1 得? 解得? 所以 + =3(定值). x y 1 1 ?λy= . ? =3λ, 3 ? ?y

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ 例 2 【配例 2 使用】 给定两个长度为 1 的平面向量OA 2π → 和OB,它们的夹角为 3 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的 ︵ → → → 圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,求 x +y 的最大值.

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第24讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:以 O 为坐标原点,OA 所在的直线为 x 轴建立平面直 ? 1 ? 3 角坐标系,如图所示,则 A(1,0),B?- , ?,设∠AOC ? 2 2? ? ? 2π?? → → → =α?α∈?0, ??,则 C(cosα,sinα),由OC=xOA+yOB,得 3 ?? ? ? ? 1 ? 1 3 3 ? ? (cosα,sinα)=x(1,0)+y - , ,即 x- y=cosα,且 2 2 ? 2 2? 3 2 3 y= sinα,所以 x=cosα+ sinα,y= sinα,所以 x+y= 3 3 ? π? cosα + 3 sinα = 2sin ?α+6? . 又 ? ? ? 2π? π ? ? α∈ 0, 3 ,所以当 α=3时,x+y 取得 ? ? 最大值 2.
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第25讲 平面向量的数量积与 平面向量应用举例

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考试说明
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积 的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际 问题.

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考情分析
平面向量的数量积是高考的重点内容, 常以小题的形 式出现.主要考点及考查方向如下表: 考点 向量数 量积运 算 向量的 模与夹 角 向量的 垂直 考查方向 考例 考查热 度

求两个向 2015· 全国卷Ⅱ4,2014· 新 量的数量 ★★☆ 课标全国卷Ⅱ4 积 求向量的 2013· 新课标全国卷Ⅰ13, ★★☆ 模与夹角 2012· 新课标全国卷 15 向量垂直 的应用 ★☆☆
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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅱ] 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则 (2a+b)· a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [解析] C 2 a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以 (2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1.

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2.[2013· 新课标全国卷Ⅰ]已知两个单位向量 a, b 的夹 角为 60° ,c=ta+(1-t)b,若 b· c=0,则 t=________. [答案] 2 1 2 [解析] b· c=b· [ta+(1-t)b]=ta· b+(1-t)b = t+(1-t) 2 1 =1- t=0,即 t=2. 2

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3.[2012· 新课标全国卷]已知向量 a,b 夹角为 45° ,且 |a | =1,|2a-b |= 10,则|b |=________. [答案] 3 2 [解析] 因为 |2a-b |= 10,平方得 4a2-4a· b+b2=10, 2 得 4-4×|b |× +|b |2=10,解得 |b |=3 2. 2

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——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边 → → → → 形 ABCD 是平行四边形, AB=(1, -2), AD=(2, 1), 则 AD· AC =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 → [解析] A 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AC= → → → → AB+AD=(1,-2)+(2 ,1)=(3,-1),所以 AD· AC=2× 3+ 1× (-1)=5,故选 A.

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2.[2015· 湖南卷] 已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运 → → → 动,且 AB⊥BC,若点 P 的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC| 的最大值为( ) A.6B.7C.8D.9 [ 解析 ] B 方法一:因为 A ,B ,C 均在单位圆上,且 → → → AB⊥BC,所以 A,C 为直径的端点,故PA+PC=2PO=(-4, → → → → → → → → → 0), |PA+PB+PC|= |2 PO+PB |≤2|PO|+|PB|,又 |PB|≤|PO |+1 → → → =3,所以|PA+PB+ PC|≤4+3=7,故最大值为 7,选 B.

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方法二:因为 A,B,C 均在单位圆上,且 AB⊥BC,所 以 A,C 为直径的端点,令 A(cosx,sinx),B(cos(x+α),sin(x → → → + α)) , C( - cosx,- sinx) , 0<α<π,则 PA + PB + PC = (cos(x +α)-6,sin(x+α)), → → → |PA+PB+PC|= [cos( x+α)-6]2+sin2(x+α)= 37-12cos(x+α) ≤7,故选 B.

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第25讲
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 知识聚焦 ——
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a|· |b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a· b,即 |b|cosθ .规定,零向量与任一向量的数量积为 0 , a· b= |a|· a=0 . 即 0· 2.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ. b=b· a (1)交换律: a· ; b) = (2)数乘结合律:(λa)· b= λ(a· a· (λb) (λ∈R); c+b· c . (3)分配律:(a+b)· c= a·
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第25讲
课 前 双 基 巩 固

平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.平面向量数量积的性质 设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是 a与e的夹角. (1)e· a=a· e= |a|cosθ ; b=0 ; (2)a⊥b? a· ( 3 )当 a与 b 同向时, a· b= |a||b| ;当 a 与b 反向时, 2 | a | - | a || b | a . a· b= .特别地,a· a= 或|a|= a·
a· b (4)cosθ= |a||b| ; ≤ (5)|a· b| |a||b|. 4.平面向量数量积的有关结论 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

向量表示 向量 a 的模 a,b 的数量积 a 与 b 垂直 a,b 的夹角 |a |= a2 a· b=|a ||b |cosθ a⊥b?a· b=0 a· b cosθ= |a ||b |

坐标表示 |a |= x12+y12 a· b=x1x2+y1y2 a⊥b?x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 cosθ= x12+y12 x22+y22

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 正本清源 —— ? 链接教材
→ → 1.[ 教材改编] 在△ABC 中,AB· BC>0,则△ABC 是 三角形.

[答案]钝角
→ → [解析] 由向量夹角的定义可知,AB与BC的夹角为 π ? → → → ? ?→? -B,则AB· BC=|AB|· ?BC?cos(π-B)>0, ? ? 得 cos(π-B)>0, ∴cosB<0, 即角 B 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形.
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.[教材改编]在?ABCD 中, AB=4, BC=2, ∠ABC=60° , → → 则AB· AD= .

[答案] -4

→ → [解析] 在平行四边形 ABCD 中, AD=BC, ∠BAD=180° -∠ABC=120° , ?? ? → → → → ? ? → ?? → ? ∴AB· AD =AB· BC = ? ?? ? cos∠BAD = 4× 2cos120° = ?AB? ?BC? -4.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.[教材改编]已知a=(2,0),b=(-3,3),则向 量a与b的夹角为 .
3 [答案] 4π
a· b [ 解 析 ] 记 a , b 的 夹 角 为 θ , 满 足 cosθ = ? ?? ? = ?a ??b? 2× (-3)+0× 3 2 3π =- 2 ,所以 θ= 4 . 2× 3 2

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

4.[教材改编]已知力 F1 和 F2 的合力为 12N,F1 为 24N, 力 F2 与合力 F 的夹角为 90° ,则力 F1 与 F2 的夹角的大小 为 .

[答案] 150°

图 4251

[解析] 由向量加法的平行四边形法则知 α=β=90° ,|F| =12N,|F1 |=24N,所以 θ=60° ,所以 β+θ=150° .

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

易错问题

5.与平面向量的数量积有关的易错点:投影;向量夹 角;运算律. 下列说法正确的有 个. (1)向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量. (2)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0, 则 a 和 b 的夹角为钝角. (3) (a· b)· c=a· (b· c). (4)若 a· b=0,则 a=0 或 b=0.

[答案] 0
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] (1)向量 b 在 a 方向上的投影是数量,为|b |cosθ, 它可以为正,可以为负,也可以为 0. (2)a· b>0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价, a· b>0 还包含 a 和 b 同向的情形.同样 a· b<0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝 角,还包含 a 和 b 反向的情形. (3)由于(a· b)· c 表示一个与 c 共线的向量,a· ( b· c)表示一 个与 a 共线的向量, 而 a 与 c 不一定共线, 因此(a· b)· c 与 a· ( b· c) 不一定相等, 故数量积运算不适合结合律, 即( a · b)· c≠a· (b· c). (4)a· b=0?|a ||b |cosθ=0?|a |=0 或 |b |=0 或 cosθ =0,因此, 若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

通性通法
6.平面向量数量积的常用结论 (1) 对任意向量 a 和 b, (a+b) · (a-b) = (2)对任意向量 a 和 b, (a+b)2= (3) 若两个向量 a 与 b 的夹角为锐角, 则有 a· b (4) 若两个向量 a 与 b 的夹角为钝角, 则有 a· b

. . 0. 0.

[答案] (1)a2-b2 (2)a2+2a· b+b2 (3)> (4)<

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

7.平面向量的数量积公式的主要作用:求数量积;求向量 的夹角. (1)[2014· 重庆卷]已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且 a= (-2,-6) ,|b |= 10,则 a· b= 量 a 与 b 的夹角等于
[答案] (1)10 (2)45°

.

(2)若向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=2, (a-b)⊥a,则向 .

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] (1)∵|a |= (-2)2+(-6)2=2 10,∴a· b 1 =|a ||b |cos60° =2 10× 10× 2=10. (2) 由 (a - b)⊥a ,得 (a - b)· a = 0 ,即 a2 - a· b= 2 - |a ||b |· cos〈a,b 〉=2-2 2cos〈a,b〉=0,即 cos〈a,b〉 2 =2, 所以向量 a 与 b 的夹角等于 45° .

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点一

平面向量的数量积的运算

例 1 (1)[2015· 陕西卷]对任意平面向量 a,b,下列关 系式中不恒成立 的是( ) ....
课 堂 考 点 探 究

A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 (2) [2015· 天津卷]在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB∥DC, AB=2, BC=1, ∠ABC=60° .点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC → 2→ → 1 → → → 上,且BE= BC,DF= DC,则AE· AF的值为 . 3 6

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思路点拨] (1)由向量的数量积公式和cos〈a,b〉 的值域进行判断; (2)根据向量的线性运算和数量积公 式计算.
课 堂 考 点 探 究

29 [答案] (1)B (2)18

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)根据数量积的定义知 a· b=|a||b|cos〈a, b〉 , 所以|a· b|=||a||b|cos〈a,b〉|≤|a||b|,选项 A 中的关系式一 定成立; 如果选项 B 中的关系式成立, 则|a-b|2≤||a|-|b||2, 可得 a·b≥|a||b|,此式只可能在 a,b 共线且同向时成立;根 据向量的运算法则可知,选项 C, D 中的关系式是恒成立 的. → → → → → → → 2 (2)根据题意, AE· AF=(AB+BE)· (AD+DF)=( AB+ 3 → → 1→ → → 1→ → 2 → → 1→ → BC)· (AD+ 6 DC) =AB · AD+ 6 AB· DC+ 3 BC· AD+ 9 BC · DC 1 1 1 29 =1+3+3-18=18.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

[总结反思 ] (1)当已知向量的模和夹角时,可利 用定义法求解,即a· b=|a||b|cos〈a,b〉. ( 2 )当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解, 即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题 (1)[2015· 汕头一模]已知向量 a,b 的夹角为 120° ,且 a=(-2,-4) , |b |= 5,则 a· b=(
课 堂 考 点 探 究



A.-3 B.-1 C.-4 D.-5 (2)[2015· 江淮名校联考]如图 4252 所 → → 示,在圆 C 中,点 A,B 在圆上,AB· AC的值 ( ) A.只与圆 C 的半径有关 B.只与弦 AB 的长度有关 图 4252 C.既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案]

(1)D (2)B

课 堂 考 点 探 究

[ 解 析 ] (1)a· b = |a ||b |cos120° = (-2)2+(-4)2 ? 1? ?- ?=-5. × 5× ? 2? → |AB| → → → → (2)AB· AC=|AB||AC|cos∠CAB,因为 cos∠CAB= 2 →2 |AB| → → → → → ÷ |AC|,所以AB· AC=|AB||AC|cos∠CAB= .故选 B. 2

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点二 向量的夹角与向量的模 考向1 平面向量的模
例 2 [2015· 浙江卷]已知 e1, e2 是平面单位向量, 且 e1· e2

1 课 = .若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b |= 2 堂
考 点 探 究

.

[思路点拨]设定b=xe1+ye2,利用向量的数量积得 到b用e1,e2表示的形式,进而确定b的模.
2 3 [答案] 3

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

[解析] 令 b=xe1+ye2(x,y∈R),b· e1=xe1· e1+ye2· e1 1 1 2 =x+ y=1, b· e2=xe1· e2+ye2· e2= x+y=1, 解得 x=y= , 2 2 3 2 4 2 4 2 4 2 2 则 b= (e1+e2), 所以 b = (e1+e2) = (e1+2e1· e2+e2)= , 3 9 9 3 2 3 故|b |= . 3 [总结反思] 利用数量积求解长度问题常用的公式:

(1)a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a; (2)|a± b|= (a± b)2= a2± 2a· b+b2; (3)若 a=(x,y) ,则|a|= x2+y2.
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1) [2015· 西北工业大学附中二模]已知向量 a, 1 b 满足|a |=|b |=1,a· b=- ,则 |a+2b |=( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 (2)[2015· 郑州一模]已知平面向量 a,b,满足 a=(1, 3) ,|b |=3,a⊥(a-2b) ,则 |a-b |=( ) A.3 B.4 C.5 D.6

[答案] (1)B (2)A

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平面向量的数量积与平面向量应用举例
? 1? ?- ?+4= =1+4× ? 2?

[解析] (1)|a+2b | =a +4a· b+4b 3,所以|a+2 b |= 3.
课 堂 考 点 探 究

2

2

2

(2)由题意知|a |= 1+3=2,因为 a⊥(a-2b),所以 a· (a-2b)=0,即 a2-2a· b=0,所以 a· b=2,由向量模 的定义可知, |a-b |= a2-2a· b+b2= 4-2× 2+9=3.

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考向2

平面向量的夹角

课 堂 考 点 探 究

例 3 (1)[2015· 湖南怀化质检]已知 a=(λ,2) ,b= (-3, 5) , 且 a 与 b 的夹角为锐角, 则 λ 的取值范围为 ( ) 10 10 A.λ< 3 B.λ≥ 3 10 6 10 6 C.λ< 3 且 λ ≠- 5 D.λ≤ 3 且 λ ≠-5 (2)[2014· 江西卷]已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α, 1 且 cosα= 3.若向量 a=3e1-2e2,则|a |= .

[思路点拨] (1)利用向量的夹角公式得到关于λ的不 等式,解不等式即得;(2)利用向量夹角公式求向量a的 模.
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] (1)C (2)3
[解析] (1)因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cos〈a ,b〉 (λ,2)· (-3,5) 10-3λ a· b =? ? ? ?= = , 2 2 a b ? ?· ? ? 4+λ × 34 4+λ × 34 因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 0<cos〈 a,b 〉<1,即 10-3λ 10 6 0< <1,解得 λ< 3 且 λ ≠- 5. 2 4+λ × 34 1 (2) 因为 |a | = 9|e1 | - 12e1· e2 + 4|e2| = 9× 1 - 12× 1× 1× + 3 4× 1=9,所以 |a |=3.
2 2 2

课 堂 考 点 探 究

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)利用向量夹角公式时,不一定非得算 出|a|,|b|和 a· b 的值,只要能得出它们的关系也可以求出比 值. (2)求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π],若题 目给出向量的坐标表示,可直接套用公式 cos 〈 a , b 〉= x1x2+y1y2 2 2 2 2求解. x1 +y1 x2 +y2

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题 [2015· 银川一中期末]已知 |a |=1, |b |= 2,|a+ b|= 5,则向量 a,b 的夹角为( ) π π π π A. 6 B.3 C. 4 D.2
课 堂 考 点 探 究

[解析] C 设向量 a,b 的夹角为 α,因为|a |=1 ,|b | = 2 , |a +b |= 5 ,所以 a2 +2a· b +b2 = 5 ,即 1 +2+ 2 π 2× 1× 2cosα=5,解得 cosα= .因为 0≤α≤π,所以 α= . 2 4

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平面向量的数量积与平面向量应用举例

考向3

平面向量的垂直

课 堂 考 点 探 究

例 4 (1)[2015· 福建卷]设 a=(1,2) ,b=(1,1) , c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于( ) 3 5 5 3 A.- 2 B.-3 C.3 D.2 (2)[2015· 唐山一模]已知 a=(-1,3) ,b=( 1,t) , 若(a-2b)⊥a,则 |b |= .

[思路点拨] (1)用坐标表示相关的向量,根据向量 垂直的坐标公式列出等式,解方程得k的值;(2)利用向 量垂直得到关于 t 的方程,求得 t 的值,再运用模的公 式.
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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[答案] (1)A (2) 5

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)c=(1, 2)+k(1, 1)=(1+k, 2+k), 因为 b⊥c, 3 所以 b· c=1× (1+k)+1× (2+k)=3+2k=0,所以 k=- . 2 (2)因为 a=(-1,3),b=(1,t),所以 a-2b=(-3,3 -2t).因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)· a=0,即(-1)× (-3) +3(3-2t)=0, 解得 t=2, 所以 b=(1, 2), 所以|b |= 12+22 = 5.

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[总结反思] (1) 设 a, b 为两个非零向量, 则 a⊥b?a· b =0,所以解决向量垂直问题还是依赖向量的数量积公式. ( 2) 向量垂直问题主要表现为利用垂直关系求问题中的 参量.
课 堂 考 点 探 究

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题 [2015· 南京调研]已知向量 a=(2,1) ,b=(0, -1).若(a+λb)⊥a,则实数 λ= .
课 堂 考 点 探 究

[答案] 5

[解析] 因为(a+λb)⊥a,所以 a2+λa· b=0,即 5-λ =0,所以 λ=5.

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点三

平面向量与三角函数的综合

例 5 [2015· 苏北四市一模]已知向量 a= (1, 2sinθ ) ,
课 堂 考 点 探 究
? ? π? ? b=?sin ?θ+3?,1?,θ∈R. ? ? ? ?

(1)若 a⊥b,求 tanθ 的值; ? π? (2)若 a∥b,且 θ∈?0, 2?,求 θ 的值. ? ?

[ 思路点拨 ] 利用平面向量的垂直和平行分别得到 关于θ的三角函数关系式,再按照三角函数知识求解.

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
? π? 2sinθ+ sin?θ+3?= ? ?

解: (1)因为 a⊥b, 所以 a· b=0, 所以

课 堂 考 点 探 究

5 3 3 0,即 sinθ+ cosθ=0.因为 cosθ ≠0,所以 tanθ=- . 2 2 5 ? π? π 2 ? ? (2) 由 a∥b , 得 2sinθ sin θ+3 = 1 , 即 2sin θcos 3 + ? ? π 1 3 2sinθcosθ sin 3 = 1 , 即 2 (1 - cos2θ) + 2 sin2θ = 1 ,整 理 得 ? π? 1 sin?2θ- ?= , 6? 2 ? ? π? π ? π 5π? 又 θ∈?0, 2?,所以 2θ-6∈?- 6, 6 ?, ? ? ? ? π π π 所以 2θ- = ,即 θ= . 6 6 6
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

课 堂 考 点 探 究

[总结反思 ]平面向量与三角函数的综合问题的解题 思路:( 1 )题目条件给出向量的坐标中含有三角函数 的形式,运用向量共线或垂直等,得到三角函数的关系 式,然后求解. ( 2 )题目条件给出用三角函数表示的向量坐标, 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路 是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性, 求得值域等.

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题 [2015· 吉安模拟]已知向量 =(cosx,-1).

? 3? a=?sinx, 4?,b ? ?

(1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin2x 的值;
课 堂 考 点 探 究

(2)设函数 f(x)=2(a+b )· b,已知在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b=2,
? 6 π?? ? π?? sinB= ,求 y=f(x)+4cos?2A+ ??x∈?0, ??的取值 3 6?? ? 3?? ?

范围.
3 解:(1)因为 a∥b,所以 cosx+ sinx=0.易知 cosx≠0, 4 3 所以 tanx=- 4,
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2 cos x-2sinxcosx 1-2tanx 8 2 cos x- sin2x= = 2 2 2 = . cos x+ sin x 1+tan x 5

(2)f(x)=2(a+b)· b=
课 堂 考 点 探 究

? π? 3 2sin?2x+ 4?+2, ? ?

a b 2 由正弦定理 = ,可得 sinA= ,因为 b>a,所 2 sinA sinB ? ? π π? π? 1 以 A= ,所以 y=f(x)+4cos?2A+ ?= 2sin?2x+ ?- . 4 6? 4? 2 ? ? ? π? π ?π 11π? 因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?, 3? 4 ?4 12 ? ? 3 1 所 以 2 - 1≤y≤ 2 - 2 , 即 y 的 取 值 范 围 是 ? 3 ? 1 ? ?. - 1 , 2 - ? 2 2?
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

创新应用

4.平面向量中的创新题

【典例】设 a,b 为非零向量,|b |=2|a |,两组向量 x1, x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成, 若 x1· y1 +x2· y2 +x3· y3 +x4· y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( ) 2π π π A. 3 B.3 C. 6 D.0 思路 本题应从两组向量均由 2 个 a和2 个 b排列而 成寻找突破口,比如先分析其中一种情形,这两组向 量排列均为a,a,b,b,则x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4的 取值为2a2+2b2,再分析其他情况,从而找到解决问题 的办法.
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学 科 能 力

第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

解析 B 令 S=x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4,则可能的 取值有 3 种情况:S1=2a2+2b2,S2=a2+b2+2a· b,S3= 4a· b.又因为|b |=2|a |, 所以 S1-S3=2a2+2b2-4a· b=2??a-b?? 2>0,S -S =a2+b2-2a· 2 b =( a - b ) >0,S2-S3=(a- 1 2 b)2>0,所以 S3<S2<S1,故 Smin=S3=4a· b.设 a,b 的夹角 1 2 2 为 θ, 则 Smin=4a· b=8|a | cosθ=4|a | , 所以 cosθ= .又 θ∈[0, 2 π π],所以 θ=3. [ 方法解读 ] 解决创新型问题,首先需要分析创新 的形式或新定义的特点,把所叙述的问题的本质弄清 楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解创新 型信息题难点的关键所在.
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? ?

学 科 能 力

第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

【跟踪练习】 (1)对任意两个非零的平面向量 α 和 β, α· β 定义 α?β = . 若两个非 零的 平面向 量 a , b 的 夹角 β· β ?n ? ?π π? θ∈? , ?,且 a?b 和 b?a 都在集合? |n∈ Z?中,则 a?b 等 ?2 ? ? 4 2? 于 .

学 科 能 力

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

(2)[2015· 青岛一模]在实数集 R 中,我们定义的大 小关系“>”为全体实数排了一个“序”, 类似地, 我们在平面 向量集 D={a |a=(x, y) ,x∈R,y∈R}中也可以定义一 个称“序”的关系,记为“?”,定义如下:对于任意两个向 量 a1 =(x1 , y1 ) , a2 =(x2, y2) ,当且仅当“x1>x2”或“x1 =x2 且 y1>y2”时,“a1?a2”.按上述定义的关系“?”,给出如 下三个命题: ①若 e1= (1, 0) , e2= (0, 1) , 0= (0, 0) , 则 e1?e2?0;
学 科 能 力

②对于 a1?a2,则对于任意 a∈D,a1+a?a2+a; ③对于任意向量 a?0 , 0 =( 0 , 0 ) ,若 a1?a2,则 a· a1>a· a2. 其中真命题的序号为 .
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

1 [答案] (1)2 (2)①②
a· b |a ||b |cosθ |a | [ 解析 ] (1) 根据新定义,得 a?b = = = 2 b· b |b | |b | b· a |a ||b |cosθ |b | cosθ,b?a= = = cosθ. a· a |a |2 |a | ?n ? n1 ? ? 因为 a?b 和 b?a 都在集合 2|n∈ Z 中, 设 a?b= 2 , b?a ? ? n2 n1n2 2 = 2 (n1 , n2∈Z) , 那 么 (a?b)· (b?a) = cos θ = 4 . 又 ?π π? θ∈?4,2?,所以 0<n1n2<2(n1,n2∈Z),所以 n1,n2 的值均 ? ? n1 1 为 1.故 a?b= = . 2 2
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学 科 能 力

第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

学 科 能 力

(2)①若 e1=(1, 0), e2=(0, 1), 0=(0, 0), 因为 1>0, 所以 e1?e2 且 e1?0;因为 0=0 且 1>0,所以 e2?0,则 e1?e2?0 成立. ②设 a1=(x1, y1), a2=(x2, y2), a=(x, y), 对于 a1?a2, 则 x1>x2 或 x1=x2 且 y1>y2,则 x1+x>x2+x 或 x1+x=x2+x 且 y1+y>y2+y,即对于任意 a∈D,a1+a?a2+a 成立. ③取 a1=(2,-1),a2=(1,1),a=(0,1),则 a1· a =-1, a2· a=1, 即对于任意向量 a?0, 0=(0, 0), 若 a1?a2, 则 a· a1>a· a2 不恒成立.

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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 教师备用例题 —— [备选理由]例1是涉及平面数量积的综合应用问题, 例 2 是向量的模的问题,例 3 是平面向量与三角函数的 综合问题.三道题都有一定的难度,学生通过练习, 能够加深对平面向量数量积的理解,提高解题能力.

例 1 【配例 1 使用】[2015· 江西师大附中联考]在直角 三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC=2,点 P 是斜边 → → → → AB 上的一个三等分点,则CP· CB+CP· CA=( ) 9 A.0 B. 4 9 C.- D.4 4
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] D 建立如图所示的直角坐标系,则 A(2,0), ?2 4? ?4 2? → ?2 4? → B(0,2),P1?3,3?,P2?3,3?,所以CP1=?3,3?,CP2= ? ? ? ? ? ? ?4 2? → → → → ? , ?,CB=(0,2),CA=(2,0),所以CB+CA=(2, ?3 3? 2). ?2 4? → → → → → → → 故 CP1 · CB + CP1 · CA = CP1 · ( CB + CA ) = ? , ? · (2 , 2) 3 3 ? ? 4 8 =3+3=4, → → → → → → → CP2· CB + CP2 · CA= CP2 · (CB + CA ) ?4 2? 8 4 ? ? = 3, 3 · (2,2)=3+3=4. ? ?
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ → 例 2 【配例 2 使用】△ABC 中,向量AB与BC的夹角 5π → → 为 ,|AC|=2,则 |AB|的取值范围是________. 6

[答案] (0,4] → → → [解析] |AC|= |AB+BC|= 5π →2 →2 → → →2 →2 |AB| + |BC| +2|AB||BC|cos 6 ,所以 |AB| + |BC| -
→ → → 3|AB||BC|=4.将 |BC|看作未知数, 得到一个一元二次方程 → → → → |BC|2 - 3|AB||BC|+(|AB|2 -4)= 0,这个方程的判别式 Δ → → → → =( 3|AB|)2-4· (|AB|2-4)=16- |AB|2≥0,则-4≤ |AB|≤ 4, → 根据实际意义,0<|AB|≤4.
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

例 3 【配例 5 使用】已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cosx, - 3sin2 x),b=(cosx,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, → → f(A)=-1,a= 7,AB· AC=3,求边 b 和 c 的值(b>c). 解: (1) 由题意知, f(x) = 2cos2x- 3sin2x= 1 + cos2 x

? π? 3sin2 x=1+2cos?2x+ ?, 3? ?

所以 f(x)的最小正周期 T=π. 因为 y=cosx 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π π 所以令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得 kπ- ≤x≤kπ+ , 3 6 3 ? π π? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 6 3? ?
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第25讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
? ? π? π? (2)因为 f(A)=1+2cos?2A+3?=-1, 所以 cos?2A+3? ? ? ? ?

π π 7π π π =-1.又 <2A+ < ,所以 2A+ =π,所以 A= . 3 3 3 3 3 → → 因为AB· AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = (b + c)2 - 3bc,即 7 = (b+ c)2 -18,所以 b+c=5.又 b>c,所以 b=3,c=2.

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第26讲 数系的扩充与复数的 引入

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考试说明
1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复 数相加、相减的几何意义.

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考情分析
复数是高考的必考内容. 主要考点及考查方向如下表: 考点 考查方向 考例 考查热度 纯虚数、共 复数的有 轭复数、复 2012· 新课标全国卷 2 ★☆☆ 关概念 数相等 复数的模、 复数的几 2013· 新课标全国卷 复平面上 ★☆☆ 何意义 Ⅱ2 的点 2015· 全国卷Ⅰ3, 2014· 新课标全国卷 复数的加 复数的代 Ⅰ3, 2014· 新课标全国 减乘除运 ★★★ 数运算 卷Ⅱ2, 2013· 新课标全 算 国卷Ⅰ2, 2011· 新课标 全国卷 2
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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅰ] 已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z =( ) A.-2-i B.-2 +i C.2-i D.2+i [解析] C 设复数 z= a+bi(a,b∈ R),代入(z-1)i=1 +i 得(a-1+bi)i=1+i, 即-b+(a-1)i=1+i.根据复数相等 ? ?-b=1, 可得? 得 a=2,b=-1,所以复数 z=2-i. ? ?a-1=1,

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2+ai 2.[2015· 全国卷Ⅱ] 若 a 为实数,且 =3+i,则 a 1+i =( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 2+ai [解析] D 由 =3+i 得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i, 1+i 根据复数相等的意义知 a=4.

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? 2 ? ? ? 3.[2013· 新课标全国卷Ⅱ]? ?=( 1 + i ? ?

)

A.2 2 B.2 C. 2 D.1 ? 2 ? 2 ? ? [解析] C ? = = 2,故选 C. ? ?1+i? 2

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——2015 年其他省份类似高考真题 z 1. [2015· 山东卷] 若复数 z 满足 =i, 其中 i 为虚数单 1-i 位,则 z=( ) A.1-I B.1+i C.-1-I D.-1+i z [解析] A ∵ =i,∴z=i(1-i)=1+i,即 z=1-i. 1-i

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1-2i 2 . [2015· 天津卷 ] i 是虚数单位,计算 的结果为 2+i ________. [答案] -i 1-2i (1-2i)(2-i) -5i [解析] = = 5 =-i. 2+i (2+i)(2-i) 3.[2015· 重庆卷] 复数(1+2i)i 的实部为________. [答案] -2 [解析]因为(1+2i)i=-2+i,所以该复数的实部为-2.

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第26讲
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数系的扩充与复数的引入

—— 知识聚焦 —— 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别 是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+bi为实数; 若 b≠0 ,则 a + bi 为虚数;若 a=0且b≠0 ,则 a +bi为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di? a=c且b=d (a, b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭? a=c且b=-d (a, b,c,d∈R). (4)复数的模
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第26讲
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数系的扩充与复数的引入

→ 向量OZ的模 r 叫作复数 z=a+bi 的模,记作 2 2 a + b |z| 或 |a+bi| ,即 |z|= |a+bi|= 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi b∈R).
→ OZ __________.

.

复平面内的点 Z(a,b) (a, 平面向量

( 2 )复数 z = a + bi ( a , b∈R )

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) ,则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; ③乘法: z1· z2= (a+bi) · (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i ;
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数系的扩充与复数的引入

+bd bc-ad z1 a+bi (a+bi)(c-di) ac 2 2+ 2 2i ④除法: = = = c +d z2 c+di (c+di)(c-di) c +d

(c+di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2= z2+z1 , (z1+z2)+z3= z1+(z2+z . 3)

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数系的扩充与复数的引入

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1.[教材改编]若复数 z=m+1+(m-1)i 为虚数,则 实数 m 的取值范围是 .

[答案] (-∞,1)∪(1,+∞)
[解析] 当虚部不等于 0,即 m≠1 时,复数 z 为虚数.

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数系的扩充与复数的引入

→ 2.[教材改编]在复平面内,O 是原点,向量OA对应的复 数为 2+i,若点 B 是点 A 关于实轴的对称点,点 C 为点 B 关于虚轴的对称点,则点 C 对应的复数是 .

[答案] -2-i
[解析] 点 C 是点 A 关于原点的对称点,故其对应的复 数是-2-i.

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数系的扩充与复数的引入
? 1 ? 3 1? 3 ??- + ?= i + i 2 2?? 2 2 ?

? 3.[教材改编]? ?

.

[答案] -1

3 3 1 3 [解析] 原式=- 4 i-4-4+ 4 i=-1.

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数系的扩充与复数的引入

5 4.[教材改编] 的共轭复数是 z, 则|z-3i|= i-2

.

[答案] 2 2
5(-i-2) 5 [解析] = =-2-i, 所以 z=-2 i-2 (i-2)(-i-2) +i,所以|z-3i|=|-2-2i|=2 2.

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数系的扩充与复数的引入

?

易错问题

5.复数有关概念的误区:纯虚数;虚部;共轭复数. (1)已知复数 z=m2-1+(m-1)i 是纯虚数,则 实数 m= . (2)复数 3-2i 的虚部为 . (3)复数 2+3i 的共轭复数是 .

[答案] (1)-1 (2)-2 (3)2-3i
[解析] (1)由 m2-1=0 且 m-1≠0,得 m=-1. (2)实部为 3,虚部为-2. (3)复数 2+3i 的共轭复数是 2-3i.
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数系的扩充与复数的引入

?

通性通法

6.掌握复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算 速度. (1) (1± i)=


2

1+i ; = 1-i


1-i ; = 1+i


.

(2)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n +1 +i4n+2+i4n+3= ,n∈N*.
[答案] (1)± 2i i -i (2)0

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

?

探究点一

复数的有关概念

课 堂 考 点 探 究

a-i 例 1 (1) [2015· 乌鲁木齐三诊]已知 a∈R, 复数 z= 1-i 是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a=( ) A.- 2 B.-1 C.1 D. 2 (2)已知 i 是虚数单位,若(m+i)2=3-4i,则实数 m 的值为( ) A.-2 B.± 2 C.± 2 D.2

[思路点拨] (1)利用复数的除法运算法则将复数化 为a+bi(a,b∈R)的形式,再按照纯虚数的概念求解; (2)利用复数相等的充要条件求解.
[答案] (1)B (2)A
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第26讲

数系的扩充与复数的引入

(a-i)(1+i) a+1 a-1 [解析] (1)z= = 2 + 2 i,由题 (1-i)(1+i) a+1 a-1 意,得 2 =0 且 2 ≠0,解得 a=-1.
课 堂 考 点 探 究

(2) (m + i)2 = (m2 - 1) + 2mi = 3 - 4i ,由复数相等得
2 ? m ? -1=3, ? 解得 ? ?2m=-4,

m=-2.

第26讲

数系的扩充与复数的引入

课 堂 考 点 探 究

[总结反思]复数的分类、复数的相等、复数的模, 共轭复数的概念都和复数的实部与虚部有关,所以解答 与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数 形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程 (组)求解.

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1)设 i 是虚数单位,z 表示复数 z 的共轭复 z 数.若 z=1+i,则 +i· z=( ) i A.-2 B.-2i C.2 D.2i (2)[2015· 洛阳联考]设复数 z=-1-i(i 为虚数单位) , z 的共轭复数为 z,则 |(1- z)· z|=( ) A. 10 B.2 C. 2 D.1

[答案] (1)C (2)A
z [解析] (1)因为 z=1+i,所以 +i· z=-i+1+i+1=2. i (2)依题意得(1-z)· z=(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1- z)· z|= |-3+i|= (-3)2+12= 10.
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第26讲

数系的扩充与复数的引入

?

探究点二

复数的几何意义

课 堂 考 点 探 究

例 2 (1)[2015· 海口一中月考]设 z=1+i(i 是虚数 2 2 单位) ,则复数 +z 对应的点位于( ) z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2i (2)在复平面内,复数 z 和 表示的点关于虚轴对称, 2-i 则复数 z=( ) 2 4 2 4 A. 5+5i B.5-5i 2 4 2 4 C.- + i D.- - i 5 5 5 5
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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[思路点拨] (1)将复数化为 a+bi(a,b∈R)的形式,再看 2i 它所表示的点所在的象限;(2)把 化为 a+bi(a,b∈R)的 2-i 形式,再找对称点所表示的复数.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)A (2)A

2 2 2 [ 解析 ] (1) + z = + (1 + i)2 = 1 - i+ 1 +2i - 1 =1 z 1+i +i,其对应于复平面中的点(1,1),位于第一象限. ? 2 4? 2i 2 4 (2)由 =- + i 可知该复数对应的点为 ?- , ?, 5 5 ? 5 5? 2-i ?2 4? 2 4 ? ? 其关于虚轴的对称点为 , ,故复数 z= + i. 5 5 ?5 5?
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第26讲

数系的扩充与复数的引入

课 堂 考 点 探 究

→ [总结反思] (1) 复数 z、 复平面上的点 Z 及向量OZ相 互联系,即 z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b) → OZ. (2)根据复数、点、向量之间的一一对应的关系,可 把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结 合的方法,使问题的解决更加直观.

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

课 堂 考 点 探 究

变式题(1)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于原 点对称,z1=2-3i,则 z1z2=( ) A.-5+12i B.5-12i C.5+12i D.-5-12i 2-i (2)[2015· 东北师大附中月考]复数 z= (i 为虚数单 2+i 位) ,z 在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[答案] (1)C (2)D

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[解析] (1)由题意可知 z2=-2+3i,所以 z1z2=(2- 3i)· (-2+3i)=5+12i.
课 堂 考 点 探 究

2-i (2-i)2 3 4 (2)因为 z= = =5-5i,所以复 2+i (2+i)(2-i) 数z
?3 4? 在复平面内所对应的点 ?5,-5?在第四象限. ? ?

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数系的扩充与复数的引入

?

探究点三

复数的代数运算

例 3 (1)[2015· 洛阳联考]i 为虚数单位,若复数 z 1+2i = ,z 的共轭复数为 z,则 z· z=( 2-i 25 25 A.1 B.-1 C. D.- 9 9 (2)[2015· 广东江门调研]i
? 1 ?- + ? 2



课 堂 考 点 探 究

? 是虚数单位,则? ?

3 1? i- ? 2 2?

3? ? =( i 2 ?

) 1 3 B.- 2+ 2 i 1 3 C.2- 2 i 1 3 D.-2- 2 i
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A.1

第26讲

数系的扩充与复数的引入

[思路点拨]第(1)小题先化简z,再得到z,最后计算 z· z;第(2)小题按复数乘法的运算法则进行运算.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)A (2)D

(1+2i)(2+i) [解析] (1)依题意得 z= =i, (2-i)(2+i) z· z=i· (-i)=-i2=1. ? 3 ?? 1 ? 3 3 1 3 1 3 1 3 ? ? ? ? (2) i- - + i =- i- + - i=- - i. 4 4 4 4 2 2 ? 2 2 ?? 2 2 ?

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[总结反思 ]复数的加法、减法、乘法运算可以类比 多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘分母的共轭 复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
课 堂 考 点 探 究

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1) 已知复数 z 满足 (3+4i) z=25, 则 z= ( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 1+2i2015 (2)复数 z= (i 为虚数单位)的共轭复数在复 1-i2015 平面上对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

[答案] (1)D (2)B

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

25(3-4i) 25 [解析] (1)由已知得 z= = = 3+4i (3+4i)(3-4i)
课 堂 考 点 探 究

25(3-4i) =3-4i. 25 1+2i2015 1-2i 1 3i 1 3i (2)z= = =- - ,则 z=- + ,在 2 2 2 2 1-i2015 1+i 复平面内对应的点在第二象限.

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

思想方法

9.处理复数问题的实数化思想

【典例】[2015· 长春调研]已知复数 z=1+ai(a∈R, z 3 4 i 是虚数单位) , =-5+5i,则 a=( ) z A.2 B.-2 1 C.± 2 D.- 2
学 科 能 力

z 思路 将 化为 a+bi 的形式, 用复数相等的充要条件 z 求解.

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数系的扩充与复数的引入

1-ai (1-ai)2 解析 B 由题意可知, = = 1+ai (1+ai)(1-ai) 1-2ai-a2 1-a2 1-a2 2a 3 4 3 = 2 2- 2i =- + i ,因此 2=- , 5 5 5 1+a 1+a 1+a 1+a 2a 化简得 5a -5=3a +3,即 a =4,则 a=± 2,由- 2= 1+a 4 5可知 a<0,仅有 a=-2 满足.
2 2 2

学 科 能 力

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[方法解读] (1)复数问题要把握一点,即复数 问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)复数相等是一个重要概念,它是复数问题实 数化的重要工具,通过复数的代数形式,借助两个复 数相等,可以列出方程(组)来求未知数的值.

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数系的扩充与复数的引入

【跟踪练习】 (1 )[2015· 成都诊断]若(1 + 2ai )i = 1 -bi,其中 a,b∈R,i 是虚数单位,则 |a+bi|=( 1 A. +i 2 5 C. 2 B. 5 5 D. 4 . )

(2)[2015· 北京海淀区期中]已知(1+i) (1-ai)=2 (i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为
学 科 能 力

[答案] (1)C (2)1

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[解析] (1)由已知得-2a+i=1-bi,根据复数相等的 1 充要条件,有 a=-2,b=-1, ? 1?2 5 2 ? ? 所以|a+bi|= - +(-1) = 2 . ? 2? (2)因为(1+i)(1-ai)=1-ai+i-ai2=(1+a)+(1-a)i =2,所以 1+a=2 且 1-a=0,所以 a=1.

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数系的扩充与复数的引入

—— 教师备用例题 —— [备选理由]例1涉及复数的概念和古典概型的概率 的求解,例2是复数的运算和几何意义的综合.
例 1 【配例 1 使用】投掷两颗骰子,其向上的点数分 别为 m 和 n,则复数(m+ni)2 为纯虚数的概率为( ) 1 1 A. B. 3 4 1 1 C.6 D. 12

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第26讲

数系的扩充与复数的引入

[解析] C 因为(m+ni)2=m2-n2+2mni, 所以要使(m +ni)2 为纯虚数,则有 m2-n2=0,即 m=n.投掷两颗骰 子共有 36 种结果,点数相同的共有 6 种结果,所以复 6 1 2 数(m+ni) 为纯虚数的概率为36=6.

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z 例 2 【配例 2、例 3 使用】已知 z 是复数,z+2i , 2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应的 点在第一象限,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (2,6) [解析] 设 z=x+yi(x,y∈R),则 z+2i=x+(y+2)i,
x-2i 1 z 1 由题意得 y=-2.又 = = (x-2i)(2+i)=5(2x+2) 2-i 2-i 5 1 +5(x-4)i.由题意得 x=4,所以 z=4-2i.所以(z+ai)2= (12+4a-a2)+8(a-2)i. 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,所以
2 ? 12 + 4 a - a >0, ? ? 解得 ? ?8(a-2)>0,

数系的扩充与复数的引入

2<a<6.
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第四章:平面向量、数系的扩充与复数的引入

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