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不等式恒成立、恰成立问题分析和解法


不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值:

f ? x ?min ? A ? f ( x) (1) 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 , 的
下界大于 A

f ? x ?max ? B f ( x) (2) 若不等式

f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 , 的上界
小于 A 例 1、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? ]时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。

例 2、已知

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , 1,???, f ?x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围; x 对任意 x ? ?

例 3 、 R 上 的 函 数 f ?x ? 既 是 奇 函 数 , 又 是 减 函 数 , 且 当

? ?? ? ? ? 0, ? ?

2? 时,有

f cos2 ? ? 2m sin ? ? f ?? 2m ? 2? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?



例 4、已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a 、b 为常
4 4

数.(1)试确定 a 、 b 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

2、主参换位法 例 5、若不等式 ax ? 1 ? 0 对

x ??1, 2?

恒成立,求实数 a 的取值范围

例 6、若对于任意

a ?1

,不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围
2

f ( x) ?
例 7、 已知函数

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 2 ? 3 2 , 其中 a 为实数. 若不等式 f ( x)>x ? x ? a ? 1

? ?) 都成立,求实数 x 的取值范围. 对任意 a ? (0,



3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为 (2) 求

g ?? ? ? f ? x?

(或

g ?? ? ? f ? x?

)恒成立的形式;

f ? x?

在 x ? D 上的最大(或最小)值;

(3) 解不等式

g ? ? ? ? f ( x)max

(或

g ? ? ? ? f ? x ?min

) ,得 ? 的取值范围。

适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 例 8、当 x ? (1, 2) 时,不等式 x
2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是

.

1 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 3 例 9、已知函数 ,其中 a ? 0 (1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取
得极值?(2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

4、数形结合 例 10 、若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________



例 11、当 x ? (1,2)时,不等式 ( x ? 1) <
2

loga x 恒成立,求 a 的取值范围。

二、不等式能成立问题的处理方法

f ? x ?max ? A 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 ; f ? x ?min ? B 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 .
例 12、已知不等式 ______

x?4 ? x?3 ?a

在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围

例 13、 若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是
2



1 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? 2 x 2 例 14、已知函数 ( a ? 0 )存在单调递减区间,求 a 的取值范围



三、不等式恰好成立问题的处理方法

1? ? ? x | ?1 ? x ? ? 3 ? 则 a ? b ? ___________ 例 15、不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ?
2

例 16、已知

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , x 当 x ? ?1,???, f ?x ? 的值域是 ?0,??? ,试求实数 a 的值.

例 17、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中 k 为实数。 (1)对任意 x ? [-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (2)存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (3)对任意 x1、x2 ? [-3,3],都有 f(x1)≤g(x2),求 k 的取值范围。



不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式 (m ? 1) x ? (m ?1) x ? 3(m ?1) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 取值范围
2

kx 2 ? kx ? 6 ?2 2 2、已知不等式 x ? x ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围

f ( x) ? x 3 ?
3、设函数

9 2 x ? 6x ? a ? 2 .对于任意实数 x , f ( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值。

4、对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。
2

5、已知不等式

x2 ? 2x ? a ? 0对任意实数x ??2, 3?

恒成立。求实数 a 的取值范围。

6、对任意的

a ?? ?2, 2?

,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总是正数,求 x 的取值范围
2

? 1? 0, ? x ? logm x ? 0 在 ? ? 2 ? 内恒成立,则实数 m 的取值范围 7、 若不等式
2





8、不等式

ax ? x(4 ? x) 在 x ? [0,3] 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

9、不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。
2

10、对于不等式

x ? 2 ? x ?1 ? a

,存在实数 x ,使此不等式成立的实数 a 的集合是 M;对于

5] ,使此不等式恒成立的实数 a 的集合为 N,求集合 M ,N . 任意 x ? [0,

11、①对一切实数 x,不等式 ②若不等式 ③若方程

x ?3 ? x ? 2 ? a

恒成立,求实数 a 的范围。

x ?3 ? x ? 2 ? a

有解,求实数 a 的范围。

x ?3 ? x ? 2 ? a

有解,求实数 a 的范围。

12、 ①若 x,y 满足方程 x ? ( y ?1) ? 1 ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,求实数 c 的范围。
2 2

②若 x,y 满足方程 x ? ( y ?1) ? 1 , x ? y ? c ? 0 ,求实数 c 的范围。
2 2



a ???2, 2? 13、设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b( x ? R) ,其中 a, b ? R .若对于任意的 ,不
4 3 2

, ??11 ? 上恒成立,求 b 的取值范围. 等式 f ( x) ? 1 在

f ( x) ?
14、 设函数

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a 3 , 其中常数 a ? 1 , 若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒

成立,求 a 的取值范围。

2 15、已知向量 a =( x ,x+1), b = (1-x,t)。若函数 f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上是增函

数,求 t 的取值范围。



不等式恒成立、能成立、恰成立问题 例 1、解:a 的取值范围为[-3,1] 例 2、 解: 等价于 ? ?x? ? x ? 2 x ? a ? 0 对任意 x ? ?1,??? 恒
2

参考答案

成立,又等价于 x ? 1 时, ? ?x ? 的最小值 ? 0 成立. 由于 ? ?x? ? ?x ? 1? ? a ? 1 在 ?1,??? 上为增函数,
2

t=m g(t)

则 ? min ?x ? ? ? ?1? ? a ? 3 ,所以 a ? 3 ? 0, 例 3、解:由 f cos

a ? ?3
o · 1 t 图1

?

2

? ? 2m sin ? ? ? f ?? 2m ? 2? ? 0 得到:

f cos ? ? 2m sin ? ? ? f ?? 2m ? 2? 因为 f ?x ? 为奇函数,
2

?

?

故有 f cos

?

2

? ? 2m sin ? ? ? f ?2m ? 2? 恒成立,
g(t) t=m t o · 1 图2

2 又因为 f ?x ? 为 R 减函数,从而有 cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 对

? ?? ? ? ? 0, ? ?

2 ? 恒成立

2 设 sin ? ? t ,则 t ? 2m t ? 2m ? 1 ? 0 对于 t ? ?0,1? 恒成立,

在设函数 g ?t ? ? t ? 2mt ? 2m ? 1 ,对称轴为 t ? m .
2

①当 t ? m ? 0 时, g ?0? ? 2m ? 1 ? 0 ,

g(t)

t=m

m??


1 1 ? ?m?0 2 ,又 m ? 0 ∴ 2 (如图 1)

②当 t ? m ? ?0,1? ,即 0 ? m ? 1 时,

? ? 4m 2 ? 4m?2m ? 1? ? 0 ,即 m 2 ? 2m ? 1 ? 0 ,
∴ 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2 ,又 m ? ?0,1? ,∴ 0 ? m ? 1 (如图 2)

o

· 1

t

图3

③当 t ? m ? 1 时, g ?1? ? 1 ? 2m ? 2m ? 1 ? 2 ? 0 恒成立.∴ m ? 1 (如图 3)

m??
故由①②③可知:

1 2.

例 4、解: (1) (2)略(3)由(2)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小
2 2 值也是最小值.要使 f ( x) ? ?2c ( x ? 0) 恒成立,只需 ? 3 ? c ? ?2c .即 2c ? c ? 3 ? 0 ,

2



从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 . 解得

c?

3 3 ( ?? ,?1] ? [ ,?? ) 2 或 c ? ?1 . ? c 的取值范围为 2 .

a?
例 5、解:

1 2

例 6、解: x ? (??,1) ? (3, ??)

2 2 ? ?) 都 成 立 , 即 例 7 、 解 析 : 由 题 设 知 “ ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对 ? a ? (0,

? ?) 都成立。设 g (a) ? ( x2 ? 2)a ? x2 ? 2x ( a ? R ) a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对 ? a ? (0, ,
则 g (a ) 是一个以 a 为自变量的一次函数。

x 2 ? 2 ? 0 恒成立,则对 ? x ? R , g (a) 为 R 上

? ?) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 , 的单调递增函数。 所以对 ? a ? (0, ? x 2 ? 2 x ? 0 ,? ?2 ? x ? 0 ,于是 x 的取值范围是 {x | ?2 ? x ? 0} 。
例 8、解析: 当 x ? (1, 2) 时,由 x ? mx ? 4 ? 0 得
2

m??

x2 ? 4 x2 ? 4 4 f ( x) ? ? x? x .令 x x, (? x2 ? 4 )m n i ??5 x

f ( x)max ? f (1) ? 5 ,则 则易知 f ( x ) 在 (1, 2) 上是减函数, 所以 x ? [1, 2] 时
∴ m ? ?5 .

a ? b2(2)f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增 ? f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 例 9、 解析: (1)
2

上恒成立 ?

b??

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 恒成立 ? , x ? (0,1] 。

1 2 a ( x ? ) ax 1 a 1 a g ( x) ? ? ? g '( x) ? ? ? 2 ? ? 2 2x , 2 2x 2 x2 , 设
令 g '( x) ? 0 得

x?

1 1 x?? a或 a (舍去),

当 a ? 1 时,

0?

1 1 ax 1 x ? (0, ) ?1 g ( x) ? ? ? g '( x ) ? 0 a 时 a 2 2 x 单调增函数; ,当 ,

x?(


1 ax 1 ,1] g ( x) ? ? ? a 时 g '( x) ? 0 , 2 2 x 单调减函数, g( 1 )?? a a 。? b ? ? a 。

? g ( x)max ?

10

1 ax 1 ?1 g ( x) ? ? ? 2 2 x 在区间 当 0 ? a ? 1 时, a ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以
(0,1] 上单调递增,? g ( x)max ?
综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

g (1) ? ?

a ?1 a ?1 b?? 2 ,? 2 。 b?? a ?1 y ?| x | 2 。
y ? ax

y

当 0 ? a ? 1 时,

y ?| x |

例 10、解析:对 ? x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立 则由一次函数性质及图像知 ?1 ? a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 。 例 11、解:1<a ? 2. 例 12、解: a ? 1

y ? ax

x
O

例 13 、 第二个填空是 不等式 能成立的问题 . 设 f ?x? ? x ? ax ? a . 则关 于 x 的不等 式
2

x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集 ? f ?x ? ? ?3 在 ?? ?,??? 上能成立 ? f min ?x ? ? ?3 ,



f min ?x ? ? ?

4a ? a 2 ? ?3, 4 解得 a ? ?6 或 a ? 2
1 2 1 ax2 ? 2 x ? 1 ax ? 2 x h?( x) ? ? ax ? 2 ? ? . 2 x x ,则

b ? 2时, h( x) ? ln x ?
例 14、解: 因为函数

h ? x?

存 在 单 调 递 减 区 间 , 所 以 h ( x) ? 0 有 解 . 由 题 设 可 知 , h?x ? 的 定 义 域 是

?

?0,???

,

? ? 而 h ?x ? ? 0 在 ?0,??? 上有 解 , 就等 价于 h ?x ? ? 0 在区 间 ?0,??? 能成 立 , 即 x ? ?0,???成立, 进而等价于 a ? u min ?x ?成立,其中
2

a?

1 2 ? x2 x ,

u ?x ? ?

1 2 ? x2 x .

1 2 ?1 ? u ? x ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1 x ?x ? x 由 得, u min ?x ? ? ?1 .于是, a ? ?1 ,
由题设 a ? 0 ,所以 a 的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,??? 例 15、解:6

例 16、解:是一个恰成立问题,这相当于

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a ?0 x 的解集是 x ? ?1,??? .

11

当 a ? 0 时,由于 x ? 1 时,

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a a ? x? ?2?3 x x ,与其值域是 ?0,??? 矛盾,

当 a ? 0 时,

f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a a ? x? ?2 1,??? 上的增函数 , 所以 , f ?x ? 的最小值为 x x 是?

f ?1? ,令 f ?1? ? 0 ,即 1 ? a ? 2 ? 0, a ? ?3.
例 17、解析: (1)设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k,问题转化为 x ? [-3,3]时,h(x)≥0 恒成立,故 h min (x)≥0.令 h′ (x)=6x2-6x-12=0,得 x= -1 或 2。 由 h(-1)=7+k, h(2)=-20+k, h(-3)=k-45, h(3)=k-9, 故 h min (x)=-45+k, 由 k-45≥0, 得 k≥45. (2)据题意:存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,即为:h(x)=g(x)-f(x)≥0 在 x ? [-3, 3]有解,故 h max (x)≥0,由(1)知 h max (x)=k+7,于是得 k≥-7。 (3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意 x1,x2 ? [-3,3], 都有 f(x1)≤g(x2)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2 的取值在[-3,3]上 具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是:

2 f max ( x) ? g min ( x)? ,? x ? [?3? ,3] , 由 g′(x)=6x2+10x+4=0 , 得 x=- 3 或 -1 , 易 得

,3] . 故 f max ( x) ? f (3) ? 120 ? k. 令 g min ( x) ? g (?3) ? ?21, 又 f(x)=8(x+1)2-8-k,x ?[?3?
120-k≤-21,得 k≥141。 专项练习:

( ?? ,?
1、解:
'

13 ) 11

2、解: [2,10)
2

3 、解析: f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ,

对 ? x ? R , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 在
' 2

x ? R 上恒成立, ? ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得

m??

3 3 ? 4 ,即 m 的最大值为 4 。

4、解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在[-2,2]上恒大于 0, 故有:
2 ?x ? 3或x ? 1 ?x ? 4x ? 3 ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? 2 ? ? x ? 1或x ? ?1 ∴x<-1 或 x>3. ?x ? 1 ? 0 ? f (2) ? 即 ? 解得: ?

5、解: a ? 0

1 [ ,1) 6、解: x ? (??,0) ? (4,??) 7、解: 16
y ? ax 和 y ? x(4 ? x) 在 x ? [0,3]

y

y ? ax

8、解:画出两个凼数

0

3

x

12

上的图象如图知当 x ? 3 时 y ?

3,

a?

3 3

a?


3 3 a? 3 x ? [0,3] 时总有 ax ? x(4 ? x) 所以 3
2

) 9 、 解 : 不 等 式 kx ? k ? 2 ? 0 有 解 ? k ( x ? 1?
2

2 解 有

?k?

2 x ?1 有 解
2

? 2 ? ?k ?? 2 ? ?2 2) 。 ? x ? 1 ?m a x ,所以 k ? (??,

??2 x ? 1( x ? ?1), ? f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ?3(?1 ≤ x ≤ 2), ?2 x ? 1( x ? 2). ? a ? f ( x)min ? 3 , ? 10、解:由 又 a ? f ( x) 有解
所 以

M ?{ a ?a 3 }

. 令

g ( x)

?x 2 ?

? x , 1 ? x ,, [? 0 5a ]

恒 成 立

? g

x(

)

? a ? g ( x)max ? g (5) ? 9 .所以 N ? {a a ? 9}
11、解:① a ? ?5 ② a ? 5 ③ a ? [?5,5]
3 2

12、解:① c ?
2

2 ? 1 ② c ?[?1 ? 2,?1 ? 2 ]

a ???2, 2? ? 13、解: f ( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) 由条件 可知
? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0恒成立.当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时,

, ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. f ?( x ) ? 0 .因此函数 f ( x) 在 ??11
为使对任意

a ???2, 2?

, ??11 ? 上恒成立,当且仅当 f ( x)max ? 1 , ,不等式 f ( x) ? 1 在

?b ? (?2 ? a)min ? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ? ? ? a ???2, 2? 2? b ? (?2 ? a)min a ?? ?2, f ( ? 1) ? 1 b ? ? 2 ? a ? ? 即 ,即 在 上恒成立.即 ? ,
所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是

? 4? ? ?∞, .

14、解: (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 4 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3 3 ; f (0) ? 24a

则由题意得

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?



?a ? 1, ? 4 ? ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得

1? a ? 6

? a ? (1, 6) 。

13

? 15、解:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t 。则 f ( x) ? ?3x ? 2 x ? t ,
2 3 2 2

? 若 f ( x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ( x) ? 0 恒成立。
2 ? ∴ f ( x) ? 0 ? t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立。

y

考虑函数 g ( x) ? 3x ? 2 x , (如图)
2

x?

由于 g ( x) 的图象是对称轴为

x?

1 3 ,开口向上的抛物线,

1 3

g(x)

2 故要使 t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1) ,即 t ? 5 。

? ? 而当 t ? 5 时, f ( x) 在(-1,1)上满足 f ( x) >0,
即 f ( x) 在(-1,1)上是增函数。故 t 的取值范围是 t ? 5 .

· -1

·· o · 1

x

14


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