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河北省衡水市第十四中学2013-2014学年高二11月月考 数学(理)试题 Word版含答案


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的) 1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( A. p 或 q 为假 B. q 假 C. q 真 D.不能判断 q 的真假 ) )

2 在等比数列 {a n } 中, a5 ? ?16, a8 ? 8, 则 a11 ? ( A ?4 B ?4 C ?2 D ?2 )

3.设 a ? R ,则 a ? 1 是

1 ? 1 的( a

A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.抛物线 y ? ? A. x ?

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ). C. y ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ? 2

1 32

1 32

D. y ? ?2

?1-i?2 2 2 5.复数? ? =a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则 a -b 的( ? 2?
A.0 B.1 C.2 D.-1

).

6.已知函数 f(x)= x+ln x,则有( ) A.f(2)<f(e)<f(3) B.f(e)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(e)<f(2) D.f(e)<f(3)<f(2) 7.如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是 ( 1 1 A. < a b B. -a< b C.a <b
2 2

). D.|a|>|b|

8.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf'(x)的图象可能是( )

? ?x+2,x≤0, 9.已知函数 f(x)=? ? ?-x+2,x>0.

则不等式 f(x)≥x 的解( D.[-1,2]

2

).

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.[-2,1]

x y 2 10.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲线的离心率等 a b 于( A. 5 ). B.2 C. 3 D. 6

2

2

11.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内的极小值点共有( ).

A.1 个 C.3 个
x

B.2 个 D.4 个 )

12.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则( A.a<-1 B.a>-1 C.a>- 1 e 1 D.a<- e

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案直接填在题中横线上. 13.复数 z ?

1 的共轭复数是_________。 1? i

14.若曲线 f(x)=ax2+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 3 2 15.若函数 y=x -ax +4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. 16.已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ” ,命题 q:“? x∈R,x +4x+a=0” ,若上述两 个命题都是真命题,则实数 a 的取值范围为________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3,
x 2

an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N * ).

(I)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

18(本小题满分 12 分) 已知三点 P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0). (1)求以 F1,F2 为焦点,且过点 P 的椭圆方程; (2)设点 P,F1,F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′,F1′,F2′,求以 F1′,F2′为焦点, 且过点 P′的双曲线方程.

19(本小题满分 12 分) 3 2 设函数 f(x)=6x +3(a+2)x +2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 3 2 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-1 与 x=2 处都取得极值. (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间; 3 2 (2)若对 x∈[-2,3],不等式 f(x)+ c<c 恒成立,求 c 的取值范围. 2

21.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同 2

??? ???? ??? ? ? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2 若 x ? ?1 ,证明: 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

答案 一 BAABD AACAA AA 二.答案:13。 1 ? i 14.(-∞,0)15。[答案] [3,+∞) 18.解:(1)PF1= 11 +2 =5 5,PF2= 1 +2 = 5, 由椭圆定义,得 2a=PF1+PF2=6 5,c=6, 2 2 2 所以 b =a -c =9. 由焦点坐标知,椭圆的焦点在 x 轴上, 所以,椭圆的方程为 + =1. 45 9
2 2 2 2

16。答案:[e,4]

x2

y2

(2)点 P,F1,F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′(2,5),F1′(0,-6),F2′(0,6),由双 曲线定义,得 2a=|PF1-PF2|=4 5,c=6,所以 b =c -a =16. 由焦点坐标知,双曲线的焦点在 y 轴上. 所以,双曲线的方程为 - =1. 20 16
2 2 2

y2

x2

20.答案:解: (Ⅰ) 由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2)2 ? 1 . 2


整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ?
2

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? ? ? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ??, ??? ? ? ? 2 , ?? . 2 ? ? 2 2 ? ? ??? ???? ? (Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 .



0) 1) AB 1) 而 A( 2,,B(0,, ? (? 2, .
所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k 2 2
2

21.解 (1)f′(x)=3x +2ax+b,由题意得

?a=- , ?f′(-1)=0, ?3-2a+b=0, ? ? ? 2 ? 即? 解得? ?f′(2)=0, ?12+4a+b=0, ? ? ?
3

?b=-6.

3 2 3 2 ∴f(x)=x - x -6x+c,f′(x)=3x -3x-6. 2 令 f′(x)<0,解得-1<x<2; 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>2. ∴f(x)的减区间为(-1,2), 增区间为(-∞,-1),(2,+∞). (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增; 在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增. ∴x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为

f(-1)与 f(3)中的较大者. f(-1)= +c,f(3)=- +c.
∴当 x=-1 时,f(x)取得最大值. 3 3 2 2 要使 f(x)+ c<c ,只需 c >f(-1)+ c, 2 2 7 2 9 2

7 2 即 2c >7+5c,解得 c<-1 或 c> . 2

?7 ? ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪? ,+∞?. ?2 ?
22.解:⑴函数 f(x)的定义域为 (?1, ??) . f ?( x) = 由 f ?( x) <0 及 x>-1,得 x>0. ∴ 当 x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,即 f(x)的单调递减区间为(0,+∞) . ⑵证明:由⑴知,当 x∈(-1,0)时, f ?( x) >0,当 x∈(0,+∞)时, f ?( x) <0, 因此,当 x ? ?1 时, f ( x) ≤ f (0) ,即 ln( x ? 1) ? x ≤0∴ ln( x ? 1) ? x .

1 x -1=- . x ?1 x ?1

1 1 x 1 ? = . ? 1 ,则 g ?( x) ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1 ∴ 当 x∈(-1,0)时, g ?( x) <0,当 x∈(0,+∞)时, g ?( x) >0. 1 1 ∴ 当 x ? ?1 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 ln( x ? 1) ? . ? 1 ≥0,∴ ln( x ? 1) ? 1 ? x ?1 x ?1 1 综上可知,当 x ? ?1 时,有 1 ? ? ln( x ? 1) ? x . x ?1
令 g ( x) ? ln( x ? 1) ?


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