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必修5第三章《不等式》全章教案


§3.1 不等式与不等关系
第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组) 的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习

惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组) 对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】

1.课题导入
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边 之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来 描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课
1)用不等式表示不等关系 引例 1:限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式 就是:

v ? 40
引例 2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%, 写成不等式组就是——用不等式组来表示

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%
问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d ?| AB | 。 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售 量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ? 仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么不等关系“销售的总收入 0.1

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不 能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ;

1

(2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:

?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本 P82 的练习 1、2

4.课时小结
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 【板书设计】

【授后记】

授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b ? a ? c ? b ? c (可加性) (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (可乘性)

2

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (可乘性)

2.讲授新课
1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证明:

1)∵(a+c)-(b+c) =a-b>0, ∴a+c>b+c
2)

(a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 , ∴a ?c ? b?c.

实际上,我们还有 a ? b, b ? c ? a ? c ,(证明:∵a>b,b>c,

∴a-b>0,b-c>0. 根据两个正数的和仍是正数,得 (a-b)+(b-c)>0, 即 a-c>0, ∴a>c. 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ( 传递性) (可加性) (可乘性) c 的符号 (可乘性)

2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;(同向可加性) (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (同向可乘性)
3

(3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? an ? bn ; n a ? n b 。 (可乘方性与可开方性) 证明: 1)∵a>b, ∴a+c>b+c. ∵c>d, ∴b+c>b+d. 由①、②得 a+c>b+d. ② ①

2)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?
n

3)反证法)假设 n a ? n b , 则:若

a ? a ?

n n

b ?a?b b ?a?b

n

这都与 a ? b 矛盾,

∴n a ? n b.
[范例讲解]: 例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证

c c ? 。 a b 1 ?0。 证明:以为 a ? b ? 0 ,所以 ab>0, ab 1 1 1 1 a? ? b? 于是 ,即 ? ab ab b a c c 由 c<0 ,得 ? a b
3.随堂练习 1
1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)( 3 + 2 )2 (2) ( 3 - 2 )2 (3) 6+2 6 ; ( 6 -1)2;

1 5?2

1 ; 6? 5

4

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

答案:(1)<

(2)<

(3)<

(4)<

[补充例题] 例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小。 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之 后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)。根据实数运算的符号 法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解:由题意可知: (a+3) (a-5)-(a+2) (a-4) 2 2 =(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0 ∴(a+3) (a-5)<(a+2) (a-4)

随堂练习 2
1、 比较大小: 2 (1) (x+5) (x+7)与(x+6) (2) x ? 5x ? 6与2 x ? 5x ? 9
2 2

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比较两个实数(代 数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题 【板书设计】 【授后记】

5

§3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的 方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式 与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系 的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】

1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: x ? 5 x ? 0 …………………………(1)
2

2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义
象 x ? 5 x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式
2

2)探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集
怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提出的问题。
2

3)探究一般的一元二次不等式的解法
6

任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式: ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0) 一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点:
2 2 (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程 ax ? bx ? c =0 的根的情况 2 (2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号

总结讨论结果:
2 ( l )抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a> 0 )与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程

ax2 ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b 2 ? 4ac 三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来确定.因此,要分二种情况讨论
(2)a<0 可以转化为 a>0 分 Δ>O,Δ=0,Δ<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集
2 2

一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不等式的解
2

的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
[范例讲解]

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

7

例2

(课本第 87 页)求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2
2

解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 所以,原不等式的解集是 ? x x ?

1 . 2

? ?

1? ? 2?

例3

(课本第 88 页)解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2 2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 . 因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? .

3.随堂练习
课本第 89 的练习 1(1) 、 (3) 、 (5) 、 (7)

4.课时小结
解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c >0(或<0) (a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

大于取两边,小于取中间 ...........

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ? ③ 写出解集.

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ??.

5.评价设计
课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 【板书设计】

【授后记】

8

§3.2 一元二次不等式及其解法 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;进一步熟练解一元二次不等式的 解法; 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同 一事物思想 【教学重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】

1.课题导入
1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2.一元二次不等式的解法步骤——课本第 86 页的表格

2.讲授新课
[范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s?

1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m ,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到 0.01km/h) 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

显然

? 0 ,方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根,即

x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 。所以不等式的解集为 ?x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94?
在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的 价值 y(元)之间有如下的关系:

y ? ?2x2 ? 220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆 摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到

?2 x2 ? 220 x ? 6000
移项整理,得

9

x2 ? 110 x ? 3000 ? 0
2 因为 ? 100 ? 0 ,所以方程 x ? 110 x ? 3000 ? 0 有两个实数根

x1 ? 50, x2 ? 60
由二次函数的图象,得不等式的解为:50<x<60 因为 x 只能取正整数, 所以, 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51—59 辆之间时, 这家工厂能够获得 6000 元以上的收益。

3.随堂练习 1
课本第 89 页练习 2 [补充例题] ▲ 应用一(一元二次不等式与一元二次方程的关系)
2 例:设不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1 ,求 a b ? 3}

▲ 应用二(一元二次不等式与二次函数的关系) 例:设 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围. 改:设 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.
2

改:若方程 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.
2

随堂练习 2
1 1、已知二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 1 ,求关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解 3 或x ? 2}
2 2

集. 2、若关于 m 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

改 1:解集非空 改 2:解集为一切实数

4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系

5.评价设计
课本第 89 页的习题 3.2[A]组第 3、5 题 【板书设计】

【授后记】

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§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力; 3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣。 【教学重点】 用二元一次不等式(组)表示平面区域; 【教学难点】 【教学过程】

1.课题导入
1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型 课本第 91 页的“银行信贷资金分配问题” 教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上,通过交流形成共识:

2.讲授新课
1.建立二元一次不等式模型 把实际问题

转化 数学问题:

设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元。 (把文字语言

转化 符号语言)
(1) 即

(资金总数为 25 000 000 元) ? x ? y ? 25000000

(预计企业贷款创收 12%,个人贷款创收 10%,共创收 30 000 元以上) ? (12%)x+(10%)y ? 30000

12 x ? 10 y ? 3000000
(用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值) ? x ? 0, y ? 0 将(1) (2) (3)合在一起,得到分配资金应满足的条件:

(2) (3)

? x ? y ? 25000000 ? ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? x ? 0, y ? 0 ?
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

11

(3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序实数对(x,y) , 所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可以 看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (1)回忆、思考 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形。 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。 设点是直线 x-y=6 上的点,选取点,使它的坐标满足不等式 x-y<6,请同学们完成课本 第 93 页的表格, 横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2 并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 根据此说说, 直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y<6 有什么关系? 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 学生思考、讨论、交流,达成共识: 在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上方;反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6。 因此,在平面直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6 左上方的平面区域;如图。 类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况: (3)结论: 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. (虚线表示区域不包括边界直线) 4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到实数的符 号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示 直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)
【应用举例】

-3

-2

-1

0

1

2

3

例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。

12

解:先画直线 x ? 4 y ? 4 (画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4,∵0+4×0-4=-4<0, ∴原点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域内,不等式 x ? 4 y ? 4 表示的区域如图: 归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。特殊地,当 C ? 0 时, 常把原点作为此特殊点。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域。

例 2 用平面区域表示.不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集。 ?x ? 2 y

分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分。 解:不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12 右下方的区域, x ? 2 y 表示直线 x ? 2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 归纳:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式 所表示的平面区域的公共部分。

? 0 表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4)
变式 2、由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)用不等式可 表示为 。

3.随堂练习
1、课本第 97 页的练习 1、2、3

4.课时小结
1.二元一次不等式表示的平面区域. 2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法. 3.二元一次不等式组表示的平面区域.

5.评价设计
课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 1 题 【板书设计】

【授后记】

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周第

课时

授课时间:20





日(星期 )

课题: §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际问题中的已知条 件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来; 【教学难点】 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 【教学过程】

1.课题导入
[复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. (虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到 实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C >0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 。

随堂练习 1
1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ?x ? 3 ?
2.讲授新课
【应用举例】

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班 级为单位) : 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间,所以有

20 ? x ? y ? 30
考虑到所投资金的限制,得到 26 x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 y ? 1200 即

x ? 2 y ? 40

14

另外,开设的班数不能为负,则 x ? 0, y ? 0 把上面的四个不等式合在一起,得到:

?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t;生产 1 车皮乙 种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产两种混合 肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ,又用 ? y 代 y ,不 等式仍成立,区域关于 x 轴对称。 解:(1) ?

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形区域内(含边界) 。 ? 0 ? x ? y ? 1或 ? x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 1 ? ? ?x ? y ? 0 点 ( x, y ) 在一条形区域内(边界);当 y ? 0 ,由 ?2 x ? y ? 0

(2) 由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ;当 y ? 0 时,有 ? 对称性得出。

指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

15

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 2、利用区域求不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的整数解 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?
分析:不等式组的实数解集为三条直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 ,l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围 成的三角形区域内部(不含边界)。设 l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B , l 2 ? l3 ? C ,求得区域内点横坐标范围, 取出 x 的所有整数值,再代回原不等式组转化为 y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解 : 设 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 , l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B ,

l 2 ? l3 ? C ,∴ A(

15 3 75 12 75 , ) , B(0,?3) , C ( ,? ) 。于是看出区域内点的横坐标在 (0, ) 内,取 x =1, 19 8 4 19 19

? ? y ? ?1 ? 12 4 ? ? y ? ?1 ,得 y =-2,∴区域内有整点(1,-2)。 2,3,当 x =1 时,代入原不等式组有 ? y ? ?? 5 3 ? 12 ? y?? ? 5 ?
同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),(3,-1)。 指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有 两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的,先确定区域内点的横坐标的 范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有整数值, 即先固定 x ,再用 x 制约 y 。

3.随堂练习 2
1. (1) y ? x ? 1 ; (2) . x ? y ; (3) .x? y

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 2.画出不等式组 ? 表示的平面区域 ?y ? 3 ? ?x ? 5
3.课本第 97 页的练习 4

4.课时小结
进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。

5.评价设计
1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题
16

【板书设计】

【授后记】



周第

课时

授课时间:20 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 3 课时





日(星期 )

授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、 可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生 “建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】

1.课题导入
[复习提问] 1、二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课
在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一 件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计 算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

17

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ? x?0 ? ? ? y?0

……………………………………………………………….(1)

(2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化为: 当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少? 把 z=2x+3y 变形为 y ? ?

2 z 2 z x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化时,可以 3 3 3 3

得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点, (例如(1,2) ) ,

2 8 z x? ) ,这说明,截距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到, 3 3 3 2 z z 直线 y ? ? x ? 与不等式组(1)的区域的交点满足不等式组(1) ,而且当截距 最大时,z 取得最大值。 3 3 3 2 z 因此, 问题可以转化为当直线 y ? ? x ? 与不等式组 (1) 确定的平面区域有公共点时, 3 3 z 在区域内找一个点 P,使直线经过点 P 时截距 最大。 3
就能确定一条直线( y ? ? (5)获得结果: 由上图可以看出,当实现 y ? ? 值最大,最大值为

2 z z x ? 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M(4,2)时,截距 的 3 3 3

14 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 3

14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 3、 变换条件,加深理解 探究:课本第 100 页的探究活动 (1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,有应当如何安排

18

生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?

3.随堂练习
1.请同学们结合课本 P103 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
y

? y ? x, ? (1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 l 0 :2x+y=0 上. 作一组与直线 l 0 平行的直线

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 (2,-1) A C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

l :2x+y=t,t∈R.
可知, 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中, 以经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件
y

?5 x ? 3 y ? 15, ? ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
解:不等式组所表示的平面区域如图所示: 从图示可知, 直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点 时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的 t 最小,以经过点( 所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

9 17 , )的直线所对应的 t 最大. 8 8

zmax=3×

9 17 +5× =14 8 8

4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

5.评价设计
课本第 105 页习题[A]组的第 2 题. 【板书设计】

【授后记】

19



周第

课时

授课时间:20 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 4 课时





日(星期 )

授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合 的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束 条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】

1.课题导入
[复习引入]: 1、 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解:

2.讲授新课
线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下, 如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资 金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: [范例讲解] 例5 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳 水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家 指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多 少 kg?

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问 题之一.

20

例6

在上一节例 3 中, 若根据有关部门的规定, 初中每人每年可收取学费 1 600 元,高中每人每年可收取学费 2 700 元。那么开设初中班和高中班各多少 个,每年收取的学费总额最高多?

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题 提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

3.随堂练习
课本第 103 页练习 2

4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数。然后,用图解法求得数 学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解,最后,要根据实际意义将数学模 型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解。

5.评价设计
课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 3 题 【板书设计】

【授后记】



周第

课时

授课时间:20 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 5 课时





日(星期 )

授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;

21

2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合 的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束 条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】

1.课题导入
[复习引入]: 1、 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:

2.讲授新课
1.线性规划在实际中的应用: 例7 在上一节例 4 中,若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 10 000 元;生产 1 车皮乙种肥料,产 生的利润为 5 000 元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?

2.课本第 104 页的“阅读与思考”——错在哪里? 若实数 x , y 满足

?1 ? x ? y ? 3 ? ??1 ? x ? y ? 1

求 4 x +2 y 的取值范围.

错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 x ≤4 即 由②得 0≤4 x ≤8 ③ ④ —1≤ y — x ≤1

将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析.

(2)[辨析]通过讨论,上述解法中,确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的,但用 x 的最大(小)值及 y 的最 大(小)值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的. X 取得最大 (小) 值时, y 并不能同时取得最大 (小) 值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解: 因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
22

且由已有条件有:

3 ? 3( x ? y) ? 9 ?1 ? x ? y ? 1

(5) (6)

将(5) (6)两式相加得 所以

2 ? 4 x ? 2 y ? 3( x ? y) ? ( x ? y) ? 10 2 ? 4 x ? 2 y ? 10

3.随堂练习 1

?x ? y ? 2 ? 1、求 z ? x ? y 的最大值、最小值,使 x 、 y 满足条件 ? x ? 0 ?y ? 0 ?
2、设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x 、 y 满足

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

4.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个.

5.评价设计
课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 4 题 【板书设计】

【授后记】



周第

课时

授课时间:20 课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 1 课时





日(星期 )

a?b 2

授课类型:新授课 【教学目标】 1. 知识与技能: 学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号 “≥”
23

取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 【教学难点】 基本不等式 ab ? 【教学过程】

a?b 的证明过程; 2

a?b 等号成立条件 2

1.课题导入
基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边 长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。 这样, 4 个直角三角形的面积的和是 2ab, 正方形的面积为 a ? b 。
2 2

由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。
2 2

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a ? b ? 2ab 。
2 2

2.得到结论:一般的,如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)
2 2

3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为

a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2


a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0,
所以, (a ? b) ? 0 ,即 (a ? b ) ? 2ab.
2 2 2

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ?

a?b 2

特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ?

a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2
24

用分析法证明: 要证 只要证 要证(2) ,只要证 要证(3) ,只要证

a?b ? ab 2
a+b ? a+b( -

(1)

?0

2

(2) (3) (4)

显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。

3)理解基本不等式 ab ?

a?b 的几何意义 2

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 即CD= ab . 这个圆的半径为
2

a?b 的几 2

a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等比中项,那么该定理可以 2
a?b 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数.本节定理还可叙述 2

叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称

为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例 1 已知 x、y 都是正数,求证: (1)

y x ? ≥2; x y
2 2 3 3 3 3

(2)(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y . 分析:在运用定理: 成立的条件),进行变形. 解:∵x,y 都是正数 ∴

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质 2
y x 2 2 3 3 >0, >0,x >0,y >0,x >0,y >0 x y

(1)

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x
25

(2)x+y≥2 xy >0
2 2 3 3

x2+y2≥2 x 2 y 2 >0

x3+y3≥2 x 3 y 3 >0

∴(x+y) (x +y ) (x +y )≥2 xy ·2 即(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y .
2 2 3 3 3 3

x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

3.随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc
分析:对于此类题目,选择定理: 解:∵a,b,c 都是正数 ∴a+b≥2 ab >0

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 2

b+c≥2 bc >0 c+a≥2 ac >0
∴(a+b) (b+c) (c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc 即(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.

4.课时小结
本节课, 我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab; 两正数 a、 b 的算术平均数 ( 及它们的关系(
2 2

a?b ) , 几何平均数 ( ab ) 2

a?b ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是 2
a?b 2 a 2 ? b2 ,ab≤( ). 2 2

正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们 还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤

5.评价设计
课本第 113 页习题[A]组的第 1 题 【板书设计】

【授后记】



周第

课时

授课时间:20





日(星期 )

26

课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ? 简单的实际问题

a?b 2

a?b ;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些 2 a?b ,并会用此定理求某些函数的 2

2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合 的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式 ab ? 【教学难点】 利用基本不等式 ab ? 【教学过程】

a?b 的应用 2 a?b 求最大值、最小值。 2

1.课题导入
1.重要不等式: 如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) 2.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 ??我们称

a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数? 2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

a 2 ? b 2 ? 2ab和
数。

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正

2.讲授新课
例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m。由 可得
2

x? y ? xy , 2

x ? y ? 2 100 ,

2( x ? y) ? 40 。等号当且仅当 x=y 时成立,此时 x=y=10.

因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是 40m.

27

(2)解法一:设矩形菜园的宽为 x

m,则长为(36-2x)m,其中 0<x<

1 ,其面积 S=x(36- 2

2x)=

1 1 2 x ? 36 ? 2 x 2 362 ) ? ·2x(36-2x)≤ ( 2 2 2 8

当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大,即菜园长 9m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2

解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 。由

2

xy ?

x ? y 18 ? ? 9 ,可得 2 2

xy ? 81

当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面积是 81m


2

归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b∈R ,且 a+b=M,M 为定值,则 ab ≤

M2 ,等号当且仅当 a=b 时成立. 4
2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b∈R ,且 ab=P,P 为定值,则 a+b


≥2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立. 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到 了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

l ? 240000 ? 720 ( x ?

1600 ) x

? 240000? 720? 2 x ?

1600 x ? 240000? 720? 2 ? 40 ? 297600
1600 , 即x ? 40时, l有最小值 2976000 . x

当x ?

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性 质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

28

(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

3.随堂练习
1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x + 2.课本第 113 页的练习 1、2、3、4
2

81 的值最小?最小值是多少? x2

4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值 不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列三个条件:(1)函数的解 析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析 式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定 三取等。
王新敞
奎屯 新疆

5.评价设计
课本第 113 页习题[A]组的第 2、4 题 【板书设计】

【授后记】



周第

课时

授课时间:20





日(星期 )

a?b 课题: §3.4 基本不等式 ab ? 2
第 3 课时 授课类型:习题课 【教学目标】 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ? 数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:通过例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b ;会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函 2 a?b ,并会用此定理求某些函数的最大、 2

最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合 的科学态度和科学道德。 【教学重点】

29

掌握基本不等式 ab ?

a?b ,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值 2

【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】

1.课题导入
1.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 2.用基本不等式 ab ?

a?b 求最大(小)值的步骤。 2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

2.讲授新课
1)利用基本不等式证明不等式

24 ? 6m ? 24 。 m 24 [思维切入]因为 m>0,所以可把 和 6 m 分别看作基本不等式中的 a 和 b, 直接利用基本不等式。 m
例 1 已知 m>0,求证 [证明]因为 m>0,,由基本不等式得

24 24 ? 6m ? 2 ? ? 6m ? 2 24 ? 6 ? 2 ?12 ? 24 m m
当且仅当

24 = 6 m ,即 m=2 时,取等号。 m 24 ? 6m =144 为定值的前提条件。 m

规律技巧总结 注意:m>0 这一前提条件和

3.随堂练习 1
[思维拓展 1] 已知 a,b,c,d 都是正数,求证 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd .

[思维拓展 2] 求证 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .
2 2 2 2 2

例 2 求证: [ 思维切入 ]

4 ?a ?7. a ?3
由于不等式左边含有字母 a, 右边无字母 , 直接使用基本不等式 , 无法约掉字母 a, 而左边

4 4 ?a ? ? (a ? 3) ? 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. a ?3 a ?3
[证明]

4 4 4 ?3? ? (a ? 3) ? 3 ? 2 (a ? 3) ? 3 ? 2 4 ? 3 ? 7 a ?3 a ?3 a ?3
4 =a-3 即 a=5 时,等号成立. a?3

当且仅当

规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

30

2)利用不等式求最值

9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x ) ? 4 x ? 的最大值. x 9 [思维切入]本题(1)x>0 和 4 x ? =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用-x>0 来转化. x
例 3 (1) 若 x>0,求 f ( x ) ? 4 x ? 解?1) 因为 x>0 由基本不等式得

f ( x) ? 4 x ?
(2)因为

9 3 9 9 9 ? 2 4 x ? ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 4 x ? 即 x= 时, f ( x) ? 4 x ? 取最小值 12. x 2 x x x

x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) ? ?(4 x ? ) ? (?4 x) ? (? ) ? 2 (?4 x) ? (? ) ? 2 36 ? 12 , x x x
所以

f ( x) ? 12 .
9 3 9 即 x=- 时, f ( x ) ? 4 x ? 取得最大-12. 2 x x

当且仅当 ?4 x ? ?

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习 2
[思维拓展 1] 求 f ( x ) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x?5

[思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

4.课时小结
用基本不等式 ab ?

a?b 证明不等式和求函数的最大、最小值。 2

5.评价设计
1.证明: a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

2.若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ?

1 有最小值,最小值为几? x ?1

【板书设计】

31

【授后记】



周第

课时

授课时间:20





日(星期 )

课题: 《不等式》复习小结 授课类型:复习课 【教学目标】 1.会用不等式(组)表示不等关系; 2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性质求解“范围问题” ,会用作差法比较大小; 3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系; 4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线性规划问题; 5.明确均值不等式及其成立条件,会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 【教学重点】 不等式性质的应用,一元二次不等式的解法,用二元一次不等式(组)表示平面区域,求线性目标函数在 线性约束条件下的最优解,基本不等式的应用。 【教学难点】 利用不等式加法法则及乘法法则解题,求目标函数的最优解,基本不等式的应用。 【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理
(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? a b
32

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小; 作差法 3、应用不等式性质证明 (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不等式的解
2

的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. (虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到实数的符 号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示 直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:

33

①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a,b 是正数,那么 2 a?b 2、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦” 2
(四)基本不等式 ab ?

3.典型例题
1、用不等式表示不等关系 例 1、某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装软件,根据需 要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等关系的不等式。

例 2、咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g;乙种饮料用奶粉、咖啡、 糖,分别为 4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g,咖啡 2000g,糖 3000g。写出配制两种饮料杯数说 所满足的所有不等关系的不等式。

2、 比较大小 例 3 (1)( 3 + 2 ) (2) ( 3 - 2 )2 (3)
2

6+2 6 ; ( 6 -1)2;

1 5?2

1 ; 6? 5

34

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

(5) (a+3)(a-5) (6) ( x2 ? 1)2

(a+2)(a-4)

x4 ? x2 ? 1

3、 利用不等式的性质求取值范围 例 4 如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 (1) x ? y 的取值范围是 (3) xy 的取值范围是 , (2) x ? 2 y 的取值范围是 ,

, (4)

x 的取值范围是 y

例 5 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? c ,满足 ?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5 ,那么 f (3) 的取值范围是 .

[思维拓展]已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围。 ([-2,0])

4、 解一元二次不等式 例 6 解不等式: (1) 2 x ? 7 x ? 4 ? 0 ; (2) ? x ? 8 x ? 3 ? 0
2 2

例 7 已知关于 x 的方程(k-1)x +(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根,求实数 k 的取值范围

2

5、 二元一次方程(组)与平面区域

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 例 8 画出不等式组 ? 表示的平面区域。 y ? 3 ? ? ?x ? 5

35

6、 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

?x ? 2 y ? 2 ? 例 9 已知 x、y 满足不等式 ?2 x ? y ? 1 ,求 z=3x+y 的最小值。 ? x ? 0, y ? 0 ?

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? [思维拓展] 已知 x、y 满足不等式组 ? ,试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标,及相 ?x ? 0 ? ?y ? 0
应的 z 的最大值

7、 利用基本不等式证明不等式 例 8 求证 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd )
2 2 2 2 2

8、 利用基本不等式求最值 例 9 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值 x y

[思维拓展] 求 f ( x ) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x?5

4.评价设计
课本第 115 页复习参考题[A]组的第 1、2、3、4、5、6、7、8 题。

36

【板书设计】

【授后记】

37


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