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高中数学必修4第二章平面向量教案完整版


第 1 课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB

|. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量 就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥ b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 .. 向线段的起点无关. ........ a
A(起点) B (终点)

7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量, 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 ...... (与有向线段的 起点无关). ..... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量 可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

第 2 课时 §2.2.1
二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定: a a a C a A + a b b b a+b b B b a+b a + 0-= 0 + a

向量的加法运算及其几何意义

探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、a 、b 同向, 且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |, 则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;若 | a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 b a a B a b A b

O

n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

第 3 课时 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a+b=0

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a a b b B a?b O a

作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a, 则 BA = a ? b 即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1? AB 表示 a ? b.强调:差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. B’ a O b B 4. 探究: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b ? a. a O b a b O a?b A ?b ? B B O a?b A a?b B A B’ O B a?b A b

AB = b

?b
a

B b A

a+ (?b)

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第 4 课时 §2.3.1 平面向量基本定理
复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

?

(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ

?

?

?

?

?

?

? a =0
2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理

?

?

?

?

?

? ?

?

?

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

?

?

? ? b =λ a .
平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 . 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量

?

?

?

第 5 课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为 基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得

?

?

?

1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) ????○ 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向 量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y ) . . .......... 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置 由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也 就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为 i 、j , ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , ?a ? (?x, ?y) 则 即

第 6 课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面 向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 二、讲解新课:

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

?

?

其中 b ? a .

?

?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 一个不为 0 (2)充要条件不能写成

?

∴x2, y2 中至少有

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

§2.4 平面向量的数量积 第 7 课时 一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、复习引入: 1. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

?

?

? ? b =λ a .
2.平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向 量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

?

?

?a ? (?x, ?y) .
若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 5. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使

?

?

?

P1 P = λ

PP2 , λ 叫 做 点 P 分 P1 P2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :

λ >0(内分) 7. 定比分点坐标公式:

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

若 点 P 1 (x1 , y1) , P 2 (x2 , y2), λ 为实数, 且 P P = λ PP2 ,则 点 P 的坐标 为 1 (

x1 ? ?x2 y1 ? ?y 2 ) ,我们称 λ 为点 P 分 P1 P2 所成的比. , 1? ? 1? ?

8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ>0时, P P 与 PP2 同向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的内分点. 1 ②当 λ<0( ? ? ?1 )时, P P 与 PP2 反向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的外分点. 1 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP =a, OP2 =b, 1 可得 OP =

a ? ?b 1 ? ? a? b. 1? ? 1? ? 1? ?

10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?

C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两

个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共 线. 3. “投影”的概念:作图 a=c

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a?b 当 a?b

a ?a

4? cos? =

a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b|

第 8 课时 二、平面向量数量积的运算律
一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图 C

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a?b 当 a?b

a ?a

4?cos? =

a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b)

证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的 投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:(a + b)?c = a?c +

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b b?c 说明: (1)一般地,(a· )с≠a(b· b с) (2)a· b· с= с,с≠0

a=b
2 2

(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с+d)=a· a· +b· b· с+ d с+ d (a+b) =a +2a· +b b
2 2 2

第 9 课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. C 4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或

| a |? a ? a

4? cos? =

a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

5.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课: ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y 2 j 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )( x2 i ? y 2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y 2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y 2 j
2 2

又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式 一、 设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |?
2 2 2

x2 ? y2 .

(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
二、 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 三、 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2


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