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用不等式处理几何中的简单问题(进修讲)


期中复习1

1.二元一次方程2m+3n=11

(

)

A.任何一对有理数都是它的解.
B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解.

2.若点P(x-y,3x+y)与点Q(-1,-5)关于X轴对 称,则x+y=______.
3.已知|2x+3y+5|+(3x+2Y-25)2=0, 则x-y=______.
4.若两个多边形的边数之比是2:3,两个多

边形的内角和是1980°,求这两个多边形 的边数.

5.方程组

?2 x ? 3 y ? k ? 3x ? 5 y ? k ? 2 中,x与y的和为 ?

12,求k的值.

6.解下列不等式和不等式组


{

4x-2<8x+10 2x+3≥-1



{

x+2>0 x-4>0 x-6<0



{

1 (5x-1)<3+2x ─ 2 1 3x+ ─ <- 2 2



x ?1 x ? 4 ? ?1 6 4

? 不等式(组)是初中代数的重要内容, 涉及方面十分广泛。在前几章中就已经 利用不等式解决部分题目。现将这部分 题目收集整理,便于知识的整合。 三角形 有理数

含字母的方程 与不等式
平面直角坐标系

一.三角形的三边关系
? 1.三角形两边的和大于第三边,两边的差 小于第三边. ? 如果三角形已知两边分别为a,b,第三边为 c, ? (1)则第三边满足 |a-b|<c<a+b ? (2)若a>b,则周长l 满足2a< l <2(a+b)

? 2.(1)如果一个三角形的三边各为3,5,x,则x 的范围是________ ? (2)一个三角形两边长为2,9,第三边为偶 数,则这个三角形的周长为________ ? 3.判断:等腰三角形一腰的长至少要大于 底边长的一半. ? 4.三角形ABC的三边长分别为a,b,c,化简 |a+b-c|-|b-a-c| ? 5.若三角形ABC的三边长分别为正整数, 周长为11,且有一边长为4,则这个三角形 可能的最大边长是_____

? P为三角形ABC内的一点,求证:AB+AC>BP+PC A ? 分析:构造三角形,添加 辅助线. 证:延长BP交AC于点D. D P 在三角形ABD中, AB+AD>BD,BD=BP+PD即 AB+AD>BP+PD B C 在三角形CDP中,CD+PD>PC 所以AB+AD+CD+PD>BP+PC+PD 所以AB+AD+CD>BP+PC 即AB+AC>BP+PC

已知AC ? BD于O, 且OA ? OC , OB ? OD, 试 比较BC ? AD与AB ? CD的大小。
B

C O D A

二.多边形中的锐角,钝角
? 锐角的大小为a度,则0<a<90 ? 钝角的大小为b度,则90<b<180

多边形中至多有几个内角是锐角?
? 解:设多边形中至多有m个内角是锐角,那 么至多有m个外角是钝角. 钝角 ? 90m<360 大于90度 ? m<4 ? 答:多边形中至多有3个内角是锐角.

? 如果一个多边形恰有 ? 解:设满足题意的多边形有n 三个内角是钝角,那么 条边. 这个多边形的边数至 ? 180(n-2) <3×180+(n-3)×90 多是多少? ? 2(n-2)<6+n-3 ? n<7

C A

B

关键:根据钝 角、锐角的 范围,将内角 和适当放大

? n 边形的n个内角与一 ? 解:设这个多边形有n 个外角的总和是1240 条边,外角是x度. 度,则这个n边形的边 数是多少? ? 180(n-2)+x=1240 ? 0<x<180 ? 分析:增加的外角的范 ? n=8 围是0度~180度 ? x=160

练习
? 一个同学在计算多边形内角和时,漏掉 了一个内角,得出一个错误答案3290度, 你知道漏掉的那个角多大吗?这个多边 形是几边形?

? 答案:二十一边形,130度。

有理数的相关概念
? 若m>3,则(2-m)(m-3)____0 ? 若a<b<0,则

| a | __ | b |, a ___ b , a ___ b
2 2 2

2

2

3

3

1 1 ab ___ b , am ___ bm , ___ a b

(1)若x, y满足 | x ? 5 | ?( y ? 2) 2 ? 0, 则5 x ? 2 y ? b ? 1中的b的值是多少? ?| x ? 5 |? 0, ( y ? 2) 2 ? 0 ? 0 ?| x ? 5 | ? ( y ? 2) ? 0
2

?| x ? 5 |? 0且( y ? 2) 2 ? 0 ?x ? 5 ?? ? b ? 28 ?y ? 2

利用不等式 的性质可以 严格证明 “等于零”

? 练习:
2

(2)若x, y满足 | x ? y ? 5 | ?(2 x ? y ? 2) ? 0, 则5 x ? 2 y ? b ? 1中的b的值是多少?
2

(3)若x, y满足 | x ? 5 | ?( y ? 2) ? 0,
2

则2x ? 5 y ? b ? 1中的b的非负整数值是多少? 求点A( x, y )在x轴的负半轴上时点A的坐标 和m的值。

(4)若x, y满足 | x ? y ? 5 | ?(2 x ? y ? m) ? 0,

数轴上的不等式
? ? ? ?

数形结 合

在数轴上,点A表示的数是-1, 1.到A的距离是3的点表示的数是——— 2.到A的距离是a的点表示的数是——— 3.到A的距离不大于3的点表示的数x的范 围是——— ? 4.到A的距离小于a的点表示的数x的范围 是——— ? 5.到A的距离大于3的点表示的数x的范围 是———

解含绝对值的不等式
? 利用绝对值定义解决。 ? 考察了分类讨论的能 力。 ? 体现数形结合的思想。

(1) | x ? 2 |? 5 (2) | 3 x ? 1|? 5

含字母的一元一次方程和不等式
? 解方程mx=n
分类讨论

n 当m ? 0时,x ? m 当m ? 0, 且n ? 0时,此方程无解 当m ? 0, 且n=0时,此方程有无数解

? 解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3 分析:由于x是未知数,所以应把a看作已 知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应 用同解原理时,要区别情况,进行分类讨论。 解:移项,得3(a+1)x-2ax≥3-3a 合并同类项: (a+3)x≥3-3a (1)当a+3>0,即a>-3时,x≥ 3a ? 3, a?3 ? (2)当a+3=0,即a=-3时,0x≥12,不等式无 解。 3a ? 3 (3)当a+3<0,即a<-3时,x≤ 。
a?3

? m为何整数时,方程组的 解是非 负数? ? 分析:本题综合性较强,注意审题,理 解方程组解为非负数概念,即。 ? 先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运 用“转化思想”,依据方程组的解集为 非负数的条件列出不等式组寻求m的取 值范围,最后切勿忘记确定m的整数值。

在平面直角坐标系中
? (1)点A(2x-6,4)在第二象限,求x的取 值范围 ? (2)点B(|x|+3,8+2x)可能在第四象限吗, 为什么?不可能在哪些象限,说明理由。请 你自己编一道类似的题目。

在平面直角坐标系中
? ? ? ? A(1,-m),B(3x+y,x-2y), 若A,B关于x轴对称 (1)求x,y的值 (2)若x>y,求m的取值范围

练习: 解不等式组,并把它的解集在数轴上表示
① ②

x+3 ≤ 6 x+5< x+3 2 3

5x -2> 3(x+1)

① ②

1 3 x ?1 ? 7 ? x 2 2

九年级(3)班学生到学校阅览室上 课外阅读课,? 长问老师要分成几个 班 小组,老师风趣地说:假如我把43本 书分给各小组,若每组8本,还有剩 余;若每组分9本,却不够,你知道 该分几个组吗?


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