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成都市实验外国语学校高2013级(高一上)12月月考数学试题


成都市实验外国语学校高 2013 级(高一上)12 月月考数学试题
(时间 120 分钟,总分 150 分) 命题人: 成都市实验外国语学校 赵光明 一、选择题:(本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1、 sin 2025 ? (
?

B

)

A

2 2

B -

2 2

C

3 2

D

-

3 2

2、下列四个函数中,在 (0, ? ?) 上是增函数的是( A ) (A) f ( x) ? ?

1 2 (B) f ( x) ? x ? 3x x ?1

(C) f ( x) ? 3 ? x (D) f ( x ) ? ? x )

3、终边与坐标轴重合的角的集合是 ( D (A) ?? | ? ? 2k? , k ? Z ? (C) ?? | ? ? 4、函数 y ? a

(B) ?? | ? ? k? , k ? Z ? (D) ?? | ? ?

? ?

?

? ? k? , k ? Z ? 2 ?

? ?

1 ? k? , k ? Z ? ; 2 ?

x ? 2013

? log a ( x ? 2012 ) ? 2014 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像过定点 P ,则点 P

的坐标为( C ) (A) (2013, 0)
?

(B) (2014 ,0)
? ?

(C) (2013 ,2015 )
?

(D) (2014 ,2015 )

5、 tan10 ? tan170 ? sin1866 ? sin(?606 ) ? ( D ) A

tan ? 3
x

B

cos?
?x

C

sin ? 2

D

sin ?

6、若函数 f ( x) ? ka ? a

(a ? 0且a ? 1) 在 (??, ? ?) 上既是奇函数又是增函数,则函数

g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图像是( C )

(A)

(B)

(C)

(D)

7、已知函数 y ? f (x) 是(-∞,+∞)上的奇函数,且 y ? f (x) 的图象关于 x =1 对称,当

x ∈[0,1]时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f (2013)+ f (2014)的值为( D )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

8、已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f (
A.

2013 2
3

2013 ) 的值是( D 2 2015 B.1 C. 2

) D.0

9 、 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 f (lg(lg 2)) ? ( C ) B. ?1
2 2
2

A. ?5

C. 3

D. 4

10、函数 f ( x) ? log 1 ( x ? x) ? x ? x ? 1 。则满足 f ( x) ? 0 的解集为( A ) 2

? 1? 3 ? ? 1? 3 ? ? 2 ,0 ? ? ?1, 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ? ? ?
(A) ?

? ? 1? 3 ? ? 1? 3 ??? ? ? ? 2 , ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1? 3 ? (D) ? 1, ? ? 2 ? ? ?
(B) ? ??,

二、填空题(把正确的答案填在横线上。每小题 5 分,共 25 分) 11、 在平面直角坐标系 xOy 中,若角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,终边在射线 y=- 3x(x>0) 上,则 sin 5? =___ 12、函数 f ( x) ? e
x ?1

3 __. 2

(其中 e ? 2.718 ... )的单调递增区间是 ?1,?? ?

13、 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1? ? x, 若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有三个不同的实数解, 设 则实数 k 的 取值范围是

?1 ? k ?

5 4
?1( x ? 0) ? 2 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰 ?lg x ( x ? 0) ?
2 2 2

14、设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?

有 3 个不同的实数解 x1 , x 2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? 200 15、已知下列 4 个结论中其中正确的序号是
1 3

.

1,3, 4,
1 3

(1)已知 cos ? = ,cos( ? ? ? )=1 则 cos(2 ? ? ? )的值为

(2)已知 2a ? 3b ? k (k ? 1) 且 2a ? b ? ab ,则实数 k 的值为 36,

? x2 ? 1, x ? 0 2 (3)已知函数 f ( x) ? ? ,则满足不等式 f (2 ? x ) > f (3 x ) 的 x 的取值范围是 ? ?1, x ? 0
? -3+ 17 ? ? - 2, ? ? 2 ? ? ?

( 4 ) 已 知 函 数 f (x) 对 任 意 x,y 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 , 且 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? 1 ,若关于 x 的不等式 f ( x 2 ? ax ? b) ? 1 的解集为 {x ? 3 ? x ? 2} ,则 a ? b ? -7
三、解答题(解答应写必要的文字说明,证明过程或演算步骤.共 6 小题满分 75 分) 16、 (12 分) (Ⅰ)计算: 0.064
? 1 3 5 1 ? (? )0 ? 7log7 2 ? 0.25 2 ? 0.5?4 ; 8

(Ⅱ)化简

sin(180 ? ? ? ) sin(270 ? ? ? ) tan(180 ? ? ? ) sin(90 ? ? ? ) tan(180 ? ? ? ) tan(360 ? ? ? )

解: (Ⅰ)原式 ? (Ⅱ)原式=

10 1 1 5 1 ? 1 ? 2 ? ( )5 ? ( )?4 ? ? 1 ? ? 4 . 4 2 2 2 2

sin ? (? cos? )( ? tan ? ) ? ? cos? cos? tan ? (? tan ? )

17、 (12 分) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元 的部分不必纳税, 超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额。 此项税款按下表分段累计计算:

全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 超过 1500 元至不超过 4500 元的部分 超过 4500 元至不超过 9000 元的部分

税率(%) 3 10 20

(1)试建立当月纳税款 y 与当月工资、薪金 x( x ? ?0,12500 ? 所得的函数关系式; (2)已知某人 11 月份应缴纳税款为 295 元,那么他当月的工资、薪金是多少元? 解:(1)设当月工资、薪金为 x 元,纳税款为 y 元,

?0(0 ? x ? 3500 ) ?( x ? 3500 ) ? 3%(3500 ? x ? 5000 ) ? 则y?? ?45 ? ( x ? 5000 ) ? 10 %(5000 ? x ? 8000 ) ?345 ? ( x ? 8000 ) ? 20 %(8000 ? x ? 12500 ) ? ?0(0 ? x ? 3500 ) ?0.03 x ? 105 (3500 ? x ? 5000 ) ? 即 y= ? ?0.1x ? 455 (5000 ? x ? 8000 ) ?0.2 x ? 1255 (8000 ? x ? 12500 ) ?
(2)由(1)知:295= 0.1x ? 455 解得:x=7500(元) 所以该负责人当月工资、薪金所得是 7500 元。

18、 (12 分)设函数 f ( x) ? x ? a 1 ? x (a ? R ) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 对 x ? [?8, ?3] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (I) a ? 1 时 f ( x) ? x ? 1 ? x ,令 t ? 1 ? x ? 0 则 x ? 1 ? t 2 ,

5? ? 1? 5 ? 则 y ? f ( x) ? ?1 ? t ? ? t ? ? ? t ? ? ? (t ? 0) ,故 y ? ? ??, ? 4? ? 2? 4 ?
2

2

(II)令 t ? 1 ? x , y ? f ( x) ? ?t ? at ? 1 ,
2

则 不 等 式 f ( x) ? 2 对 x ? [?8, ?3] 恒 成 立 ? ?t 2 ? at ? 1 ? 2 对 t ? [2,3] 恒 成 立

1 ? a ? t ? 对 t ? [2,3] 恒成立, t 1 5 令 g (t ) ? t ? , t ? [2,3] ,由函数图象性质知 g (t ) min ? g (2) ? , t 2
所以 a ? g (t ) min ?

5 5? ? 即 a 的取值范围为 ? ??, ? 2 2? ?

19、 (12 分)已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 a, b ?[?1,1] ,且

a ? b ? 0 时,

f (a) ? f (b) ? 0. a?b

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的单调性,并给予证明; (Ⅱ)若 f (1) ? 1, f ( x) ? m ? 2bm ? 1 对所有 x ? [?1,1], b ?[?1,1] 恒成立,求
2

实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)证明:对任意的 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则

f ( x1 ) ? f ( ? x2 ) ?0. x1 ? x2

∵ x1 ? x2 ? 0 , f ( x) 是奇函数,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∵ x1 ? x2 ,∴ f ( x) 是增函数. (Ⅱ)∵ f ( x) 是增函数, 则 f ( x) ? m ? 2bm ? 1 对所有 x ? [?1,1], b ?[?1,1] 恒成立,
2

等价于 f ( x) max ? m ? 2bm ? 1 对所有 b ?[?1,1] 恒成立,
2

等价于 f (1) ? m ? 2bm ? 1 对所有 b ?[?1,1] 恒成立,
2

等价于 m ? 2bm ? 0 对所有 b ?[?1,1] 恒成立,
2

??2m ? (?1) ? m2 ? 0 ? 等价于 ? , 2 ??2m ?1 ? m ? 0 ?
等价于 m ? ?2 ,或 m ? 0 ,或 m ? 2 . ∴ m 的取值范围是 (??, 2] ? {0} ? [2, ?) . ? ? 20、 分) (13 已知函数 f ? x ? 的自变量的取值区间为 A, 若其值域区间也为 A, 则称 A 为 f ? x ? 的保值区间。
2 (1)求函数 f ? x ? ? x 形如 ? n, ?? ?? n ? R ? 的保值区间;

(2)请探究:函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? 是否存在形如 ? a, b ? ? a ? b ? 的保值区间?若存在, x

求出实数 a , b 的值,若不存在,请说明理由。
2 解: ? f ( x) ? x ? 0,? n ? 0 , f ( x ) ? x 在 ? 0, ?? ? 是增函数。 f ( n) ? n ,n ? n , (1) 又
2 2
2

n ? 0, n ? 1 。? 函数 f ? x ? ? x 2 形如 ? n, ?? ?? n ? R ? 的保值区间有 ? 0, ?? ? 或 ?1, ?? ? 。
(2)假设存在实数 a,b 使得函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? ,有形如 ? a, b ? ? a ? b ? 的保值区间, x

?1 ? x ? 1, (0,1) ? 则 a >0, g ( x ) ? ? , 1 ?1 ? , ?1, ?? ? ? x ? ?1 ?1 ? b ? g (a) ? b ? a 1 ? 0 1 当实数 a,b ? (0,1) 时, g ( x) ? ? 1, (0,1) 为减函数,故 ? ,? ,? a =b x ? g (b ) ? a ? 1 ? 1 ? a ?b ?
与 a <b 矛盾。

? 1 1? ? a ? g (a ) ? a ? a 1 ? 20 当实数 a ,b ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? 1 ? ,? ?1, ?? ? 为增函数,故 ? ,? , x ? g (b ) ? b ?1 ? 1 ? b ? b ?
得方程 1 ?

1 1 ? x 在 ?1, ?? ? 上有两个不等的实根,而 1 ? ? x ,即 x 2 ? x ? 1 ? 0 无实根。 x x

30 当 a ? (0,1) ,b ? ?1, ?? ? , 1 ? ? a, b ? , g () ? 。 ? 而 1 0 故此时不存在满足条件的实数 a,b。
综上述,不存在实数 a,b 使得函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? ,有形如 ? a, b ? ? a ? b ? 的保值区间, x

21、(14 分)已知函数 f ( x) ? log9 (9 x ? 1) ? kx ( k ?R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; (3)设 h( x) ? log9 a ? 3x ? 4 a ,若函数 y ? f ( x)与y ? h( x) 的图象有且只有一个公共
3
1 2

?

?

点,求实数 a 的取值范围.
21, 解(1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,

所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ?R 恒成立.
x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9x ? 1) ? ? x 恒成立, x

9

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 .
2

(2)由题意知方程 log 9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9 x ? 1) ? x ? b 无解.
2 2

令 g ( x) ? log9 (9 x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1x ? ? ? x

9

?

9 ?
1 2

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9x ? 9x ,从而 1 ? 1 . x x
91 92

于是 log9 ?1 ? 1 ? ? log9 ?1 ? 1 ? ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , ? ? x ? x ?
? 91 ? ? 92 ?

所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1x ? ? 0 . ? ?
9
? 9 ?

所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. (3)由题意知方程 3x ? 1x ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根.
3 3

令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根.
3

若 a =1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去;
4

若 a ? 1,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ;
4 4 2 2

方程(*)的两根异号 ? ?
?

?? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1 ??0

.

综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1, ? ?) .


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