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高中数学函数的单调性、最值和极值


函数的单调性、最值和极值
函数的单调性、最(极)值是高考的热点,新课程中函数的单调性、最(极)值的要求 提高了,可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中,函数的单调性、极(最)值往往 是以某个初等函数为载体出现,综合题往往与不等式、数列等联系起来,处理方法除了定义 法之外,一般采用导数法.难度值控制在 0.3~0.6 之间. 考试要求:①了解函数单调性的概念,掌握判

断简单函数的单调性的方法;②了解函数 单调性与导数的关系;③能求函数的最大(小)值;④掌握用导数研究函数的单调性. 题型一 已知函数的单调性、最(极)值,求参变量的值. 例1 设函数 f ( x) ? 6 x 3 ? 3(a ? 2) x 2 ? 2ax .

(1)若 f (x) 的两个极值点为 x1 , x 2 且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f (x) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由. 点拨 因为是三次函数,所以只要①利用“极值点 ? f ?( x) ? 0 的根”,转化为一元二次方

程根的问题;②利用 f (x) 在 (??, ??) 上单调 ? f ?(x) >0(<0) ,转化为判断一元二次函数 图像能否在 x 轴上方的问题. 解

f ?( x) ? 18x2 ? 6(a ? 2) x ? 2a
2a 18

(1)由已知有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,从而 x1 x2 ?

? 1 ,所以 a ? 9 ;

2 2 (2)由 ? ? 36(a ? 2) ? 4 ?18 ? 2a ? 36(a ? 4) ? 0 ,得 f ?( x ) ? 0 总有两个不等的实根,

f ( x) 不恒大于零,所以不存在实数 a ,使得 f ( x) 是 R 上的单调函数.
易错点 ①三次函数的极值点 x1 , x2 与原函数 f (x) 的导数关系不清; ②含参变量 a 的问题是逆向思维,学生易出现错误; ③学生不会将 f (x) 在 (??, ??) 上是单调函数的问题转化为 f ?( x) ? 0(? 0) 恒成立问题. 变式与引申 1:(2011 年高考江西卷理) 设 f ( x) ? ?

(1)若 f ( x ) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (2)当 ? ? a ? ? 时, f ( x ) 在 [?, ?] 上的最小值为 ?

? ?

? ? ? ? x ? x ? ?ax ? ?

?? ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. ?

题型二:已知最(极)值或其所在区域,通过单调性分析参变量的范围. 例 2 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b(a,b ?R) .
3 2

(1)若函数 f ( x ) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值;

(2)若函数 f ( x ) 在区间( ? 1,1)上至少有一个极值点,求 a 的取值范围. ........ 点拔:第(1)问利用已知条件可得 f ? 0? ? 0, f ?(0)=0 ,求出 a,b 的值.第(2)问利用“极 值点 ? f ?( x) ? 0 ”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析: (1)由函数 f ( x ) 的图像过原点,得 b ? 0 , 又 f ?( x) ? 3x2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) , f ( x ) 在原点处的切线斜率是 ?3 , 则 ?a(a ? 2) ? ?3 ,所以 a ? ?3 ,或 a ? 1 . (2)法一:由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? a,x2 ? ?

a?2 .又 f ( x ) 在 (?1,1) 上至少有一个极值点, 3

a?2 ? ? 1, ??1 ? a ? 1, ??5 ? a ? 1, ??1 ? a ? 1, ??1 ? ? ? ? ? ? 3 即? 解得 ? 1 或? 1 a?2 或? ?a ? ? 2 , ?a ? ? 2 . ?a ? ? 3 , ? a ? ? a ? 2 . ? ? ? ? 3 ?
所以 a 的取值范围是 ? ?5, ?

? ?

1? ? 1 ? 1? ? ??? , . 2? ? 2 ?

法二: f ?( x) ? 3x2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) ,由题意 ① f ( x) ? 0 必有一根在(-1,1)上,
'

故 f (-1) ? f (1) ? 0 ,即 (5 ? 4a ? a )(1 ? a ) ? 0 ,解得 ?5 ? a ? ?1 ;
' ' 2 2 ' 或 f (-1)=0 ,则 a ? ?1 ,当 a ? 1, f (1) ? 0 (舍去) ,当 a ? ?1 时,经检验符合题意;

同理 f (1)=0 ,则 a ? 1或5 ,经检验,均不符合题意,舍去.
'

② f ( x) ? 0 有两个不同的根在(-1,1)上
'

? f ' (-1) ? 0 ? ' 1 1 故 ? f (1) ? 0 解得: ?1 ? a ? ? 或 ? ? a ? 1 2 2 ?? ? 0 ?
所以,a 的取值范围 ? ?5, ?

? ?

1? ? 1 ? 1? ? ??? , . 2? ? 2 ?

易错点:①解不等式 f ?( x) ? 0 出错;②第(2)问的解法一,不易分析.;③第(2)问的解法 二,分类讨论,不易讨论完整.

变式与引申 2:将(2)中改为“ f ( x ) 在区间( ? 1,1)上有两个极值点”,或改为“ f ( x ) 存 在极值点,但在区间( ? 1,1)上没有极值点”,如何求 a 的取值范围? 题型三 函数的单调性、最(极)值与不等式结合的问题 例3 设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点.

(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)设 g ( x) ? x3 ? x2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小.
3 2

点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数,分析第(1)问先由极值点转化为 方程的根,再用待定系数法;第(3)问中比较两个函数 f ( x ) 与 g ( x) 的大小,可构造新函数

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,再通过分析函数 F ( x) 的单调性来讨论 F ( x) 与 0 的大小关系.
解 (1)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, 1 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
1 3

x ?1 (2)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e ?1) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) 0) , 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , ? 1) 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的;在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
( 3 ) 由 (
x?

1







f(
1

?x)2

x?

1 x1 e ? 3

3

?x ,

故x

2

2 F ( x ? ) x ? g ( ? x) f x

1 2 ? x ( ? x ) 3x? ? x , e

(

e

)

令 h( x) ? e

x ?1

? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,

因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减. 1? 1? 故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , ,

故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . , 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x ? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . ? 易错点 ①求导数时, ( x2e x?1 )? 易出错;②比较两个函数的大小属于不等式问题,学生容易
2

≥ 0 ,因此 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ≥0 ,

只从不等式的简单知识出发,而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申 3: 将第(3)问改为:设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试证 f ( x) ? g ( x) 恒成立. 3

本节主要考查: (1)用导数研究函数单调性,极值; (2)利用单调性、极值点与导数的关系解 决一些综合问题; (3)方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用; (4)数形结合思想. 点评: (1)讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的 定义域,函数的单调区间是定义域的子集; (2)求函数单调区间的常用方法:定义法、图像法、复合函数法、导数法等; (3)利用求导的方法研究函数的单调性、最(极)值,函数在区间上为单调问题转化为导函 数在区间上的正负问题,从而转化为不等式问题,再而研究函数的最(极)值.需灵活应运用 函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等. 习题 1—3 1. 已知: 函数 f ( x) ? ?

? log3 x

(0 ? x ? 9)


?? x ? 11 ( x ? 9)

b c , a , , 均不相等, f (a) ? f (b) ? f (c) , 若 且

则 a ? b ? c 的取值范围是(

A. (0, 9)

B. (2, 9)

C.

(9, 11)

D. (2, 11)

2. 已知函数 f ( x)与g ( x) 的定义域均为非负实数集,对任意的 x ? 0 ,规定 f ( x) ? g ( x)

? min{f ( x), g ( x)}, 若f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? 2x ? 5, 是f ( x) ? g ( x)的最大值为
3. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1.
3 2

.

(1)设 a ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 f ( x ) 在区间(2,3)上不单调,求 a 的取值范围. 4.已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x, a ? R .

(I)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线 的方程; (II)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x) )存在最小值时,求其最小值 ? (a ) 的解析式;

(III)对(2)中的 ? (a ) ,证明:当 a ? (0, ??) 时, ? (a ) ? 1. 5.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数. (1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2) b ? 0 时,求 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式 ln( n ? 1) ? ln n ?

1 都成立. n2


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