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高三数学第一轮复习单元测试


高三数学第一轮复习单元测试(—) 一、选择题(共 60 分) 1.若复数 z A. i 2.设集合 ( )

a ? i 2007 ? (a ? 2 ) ? 3i为纯虚数,则 1 ? ai
B. 1 C.-1

的值为 D. - i





M ? {(x, y) y ? x ? 1, x ? R} , N ? { y y ? x 2 ? 1, x ? R} , 则 M ? N 中 元 素 的 个 数 是
A.0 B. 1 C. 2 D.1 或 2

3.平面α与球 O 相交于周长为 2π的⊙O′,A、B 为⊙O′上两点,若∠AOB=

? ,且 A、B 的球面距为 4
C.π ( )

2 则 OO′ ?, 4

的长度为(

)A.1

B.

2

D.2

4.图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 A. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

B. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

?x ? 0 ? C . ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
5.在下列命题中,真命题是

?x ? 0 ? D. ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( ,则 m // n )

m, n 都平行于平面 ? A.直线
B.设 C.若直线

m, n 在平面 ? 内的射影依次是一个点和一条直线,且 m ? n ,则 n ? ? 或 n // ? m, n 是异面直线,若 m // 平面 ? ,则 n 与 ? 相交 D.设
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 2 2 (?c, 0) 和 (c, 0) .若 c 是 a, m b n 6. 已知椭圆 a 与双曲线 m 有相同的焦点
的等比中项, n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是
2
2

? ? l ? ? 是直二面角,若直线 m ? l ,则 m ? ?

2





1 A. 2
7.曲线 y=2sin(x + 等于( )

1 B. 4

2 2 C.

3 D. 3

π π 1 )cos(x - )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3,?,则|P2P4| 4 4 2

A .π

B .2π

C. 3π

D .4π

8 .设可导函 数 ( 9.设 0 ?

f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 且 当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集是
B. [?1,0) ? (0,1] C. [ ?1,1] D. (?? ,?1] ? {0} ? [1,?? ) )

)A. (?? ,?1] ? [1,?? )

a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a x ? log 1 (2? x ) ,则函数 f ?1 ( x) ? 1 的 x 的取值范围是(
a

A. (0, 2)

B. (2, ??)

C. (0, ??)

D. (loga

(2?a )

, ??)

10.某人获悉一个岛上三处藏有宝物.由于年代久远,有的数据缺失,记载如下:岛上有一棵椰子树,由叶子树向东走 3 米为藏宝处 A,继续向东走 b 米,到达 B 处然后向东偏北 60°走 a 米为藏宝处 C(其中 a,b 为缺少数据) ,由 B

向南走

1 BC 为藏宝处 E,三个藏宝处在以 B 为焦点,椰子树的南北方向所在直线为相应的准线的双曲线上.寻 3
) C.28;8 D.14; 8 ( ④ ) B.14;4

宝的关键是推出 a,b 的值,a,b 的准确值为( A.28;4 11.锐角三角形 ABC 中,若

A ? 2 B ,则下列叙述正确的是 3B c ? ? tan ? 1 ③ ? B ? ① sin 3B ? sin 2c ② tan 2 2 6 4
A.①② A.32 对 B.②③ B.72 对 C.③④ C.174 对

a ? ( 2, 3] b

D.④① D.189 对 3

12. (理)过正方体任意两个顶点的直线共 28 条,其中异面直线有 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案直接写在横线上 13.某计算机执行以下程序:(1)初始值 x = 3,s = 0;(2)x = x + 2;(3)s = s + x;(4)若 s≥2003,则 进行(5),否则从(2)继续执行;(5)打印 x;(6)stop。那么由语句(5)打印出的数值为__________________. 14.设 (3 为
3

x ? 1)n 的展开式中各项系数之和为


A,各项的二项式系数之和为 B,如 A+B=272,则展开式中 x 的系数

15.在△ABC 中,B(-2,0) 、C(2,0) 、A(x,y) ,给出△ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的轨迹方程,下面给 出了一些条件及方程,请你用线把左边△ABC 满足的条件及相应的右边 A 点的轨迹方程连起来.(错一条连线得 0 分) ① ② ③ △ABC 周长为 10 △ABC 面积为 10 △ABC 中,∠A=90°

C1 :
C2 : C3 :

y2=25 x2+y2=4(y≠0)

x2 y2 + =1(y≠0) 9 5

16.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
? ? b ? (? , 2) 2 f ( x ) ? ? 4cos x ? 4 3 a sin x cos x f ( x ) 4 17.(本小题满分 12 分)已知 ,将 的图象按向量 平移后,图 ? x? 12 象关于直线 对称. f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (1)求实数 a 的值,并求



(2)求

f ( x) 的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字 1,三张标有数字 2,二张标有数字 3, 第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之 和为 ? . (1) ? 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)求随机变量 ? 的期望 E? .

19. (本题满分 12 分) 、如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP⊥底面 ABC. (1)若 k=1,试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小. (2)当 k 取何值时,二面角 O-PC-B 大小为

? ? 3
P

D

A

O B

C

2 20. (本题共 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? t , a2 ? t (t ? 0) ,且 an ?1 ? (t ? 1)an ? tan ?1 (n ? 2) .

(1)若 t ? 1 ,求证:数列 {an ?1 ? an } 是等比数列. (2)求数列 {an } 的通项公式. (3)若
2 an 1 1 与 2n ? t ? 2, bn ? (n ? N ? ) ,试比较 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 1 ? an bn b1 b2 b3

? 2?

n 2



21. (本题满分 12 分)已知抛物线 y = 2px ( p?0)的焦点为 F,直线 l 过定点 A(1,0)且与抛物线交于 P、Q 两
2

点. (1)若以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O,求 P 的值; (2)在(1)的条件下,若

FP + FQ = FR ,求动点 R 的轨迹方程.

22. (本小题满分 14 分)已知数列{ an }中, an

? 2?

1 (n≥2, n ? N ? ) , an ?1

(1)若 a1

?

3 1 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( n ? N? ) ,求证数列{ bn }是等差数列; 5 an ? 1

(2)若 a1

?

3 ,求数列{ an }中的最大项与最小项,并说明理由; 5

(3)若 1 ?

a1 ? 2 ,试证明: 1 ? an?1 ? an ? 2 .

参考答案

1. D

a? 2

a ? i 2007 2 ? i ( 2 ? i)(1 ? 2i) ? 3i 。 ? ? ? 1 ? ai 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 3
2 ? i 2007 1 ? 2i
化简求值。 其思想是分母实数化——分子分母同乘以 1 ?

点评: 据 “纯虚数” 概念, 求出 a, 再对

2i

的 共 轭 复 数 1?

2i , 这 种 思 想 与 分 母 ( 分 子 ) 实 数 化 的 思 想 是 一 致 的 。 此 题 的 另 一 个 技 巧 处 理 是 :

a ? i 2007 (a ? i 2007 )i ai ? i 2008 ai ? 1 1 ? ? ? ? ? ?i 1 ? ai (1 ? ai)i (1 ? ai)i (1 ? ai)i i
2.A.集合 M 是有序实数对,是二维的,而集合 N 是函数的值域,是一维的,因此 M

? N ? ? ,故选 A.

点评:本题关键是正确理解集合 M、N 各自的意义,否则,容易误以为是直线与抛物线的交点. 3.A ⊙O′的半径为 1,球 O 的半径为

2 ,所以 OO′的长度为 ( 2) 2 ? 1 ? 1

点析: “球面距”是球中很重要的一个概念。此题最终目的是对球中一个重要直角三角形(小圆半径、球半径、 球心到小圆面的距离构成的一个直角三角形)的考查,这也是高考的常考点。 4.C. 通过读图形,显然可以得到 x

? 0 , y ? ?1 ,将原点坐标代入 2 x ? y ? 2 ? 0 知成立.

点析:线性规划是高中的新增的知识点,一般在选择、填空题中出现. A 错,当直线 m、n 都平行于平面α时,这两条直线平行、相交、异面皆有可能。B 错,因为没有点明直线的位 置。C 正确。D 错,此时的直线 n 可能与平面α相交,也可能在α内。故选 C。 点析:本题主要考查了立体几何的关系的判断,是一道多选题。此类题的思维容量大,考查的知识覆盖面广,也 是高考考查的一类热点问题。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. A 由已知椭圆与双曲线有相同的焦点可知 a –b = m +n ,又 c = am,2n = 2m +c , 解得 a = 16m ,b =12m , 5.C

1?

∴椭圆的离心率为 e= 点析:本题以椭圆与双曲线共焦点为背景,将等差中项、等比中项的基本运算融合进来,对计算及解方程的能力 要求较高,这也正体现了 2007 年最新的《考试大纲》中对运算能力的考查要求。 点析:此题虽然是关于双曲线的一个基本计算题,但它不仅考查了双曲线的基本概念及基本性质,还将离心率的 计算与等边三角形中的线段的计算相结合,使得题目的内涵增大,考查功能增强,解决此类题目要求考生有较强 的运算能力和较强的分析问题、解决问题的能力。 7.A 曲线 y=2sin(x + π π π )cos(x - )=2 sin( 4 4 4 π π - x ) cos( -x)= sin(2 -2x)=2COS2x,由此做出函数图象, 4 4

b2 1 ? a 2 2 。选 A。

再分析 P1,P2,P3,?的具体位置,求出|P2P4|=π 点析:本题主要体现了三角函数的二倍角公式,以及余弦函数的图象特征,由此解决问题,解决问题时时画出图 象,帮助分析更加直观。 8 . D .由

f ( x) 是 R 上的奇函数可知, f (0) ? 0 ,即 x=0 是原不等式的解,则正确答案是 C 、 D 中之一;∵

?x ? 0 ?x ? 0 + 或? ,又当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ,且 f (1) ? 0 ,可以推出 f ( x ) 是 R 上为 xf ( x) ? 0 ? ? f ( x ) ? 0 f ( x ) ? 0 ? ?
增函数,∴ x ?[1,??) 时,

f ( x) ? 0 , x ?[1,??) 是原不等式的解.故选 D.

点析:首先要根据题意掌握函数 这类问题. 9. C

f ( x) 的特性(最好画出其草图) ,其次利用特殊值法或解不等式组都能解决

f ( x) 在 (0, 2) 上是减函数,所以 x ? f (1) ? 0 。
点析:此题本质是考查函数 取值范围,势必比较麻烦。

y ? log a x 及其复合函数的单调性。如果按常规思路,先求出 f ?1 ( x) ,再求出 x 的
1 a ? e ? 3 ,? 4b ? a ? 12 ,然后特值验证,选 A; a 3?b 3?b ? 2 a

10.建立坐标系,由第二定义得,

点析:利用圆锥曲线的几何量解决应用问题,这本身就是学习数学的出发点和归宿. 对于选择题常常选择支验证, 如本题由第二定义得到二元一次方程时应验证选择支求解. 11.B

2B ?

?
2

?B?

?
4

, A ? B ? 2 B ? B ? 3B ?

?
2

?

?
6

?B?

?
4

sin( A ? B) ? sin C ? sin 3B ? sin C
tan( A? B ? ?C C 3B C ) ? tan( ) ? cot ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 a sin A sin 2 B ? ? ? 2 cos B ? ( 2, 3) 。 b sin B sin B
点析:三角形中的三角函数有关问题是历来考查的一个重点。此题中对于

?

6 ? ? ? ? ? a ? B ? ,而认为 ? B ? 是错误的。殊不知 2 B ? A ? ,此外对 6 3 6 4 2 b
法一:1 正方体八个顶点共面有 12 种情况,且每个面内涉及 C 4
2

?B?

?
4

同学们会误认为

的处理(利用正弦定理,将

其转化成角的关系)也是需要积累的。 12. C

? 6 条直线。2

以正方体的 8 个顶点为顶

点的等边三角形共有 8 个,且每个等边三角形涉及 3 条直线。故所有异面直线的对数为
2 2 2 C28 ? (12C6 ? 8C3 ) ? 174。

法二:以正方体的 8 个顶点为顶点的三棱锥有 C8 为 58 ? 3 ? 174 。所以正确答案为 C。

4

? 12 ? 58个,任意一个三棱锥中有 3 对异面直线的对数

点析:此题沿袭 2005 全国Ⅰ(理)12 题,考查的难度比较大,需要认真仔细分析找到解题路径。最后多总结, 把本题的解法总结成一种思路。 13.89 由题意可知,数列{an}是以 5 为首项,2 为公差的等差数列,Sn 是等差数列{xn}的前 n 项和。由 Sn = 5n +

n(n ? 1) 2 ≥2003,可解得 n≥43. ∴ x43=5+(43-1)×2=89.∴由语句(5)打印出的数值为 89.
点析: 本题以计算机程序语言为背景考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 迁移与转化能力是解决这一类问 题的关键。 14. 赋值法得 A= 4 ,B= 2 ,所以 4
n n

n

3 ? 2n ? 272 ? n ? 4 ,所以含 x 项为 C4 (3 3 x ) ? 108x ,所以正确答案

3

应该填 108。 15.①→ C3 , ② 由 ②→ C1 , ③→ C2 .① 由|AB|+|AC|=6,得

x2 y2 + =1(y≠0) ; 9 5

1 2 2 2 2 2 2 |BC||y|=10,得 y =25;③ 由|AB| +|AC| =|BC| ,得 x +y =4(y≠0) . 2

点析:本题的设计是比较新颖的,是一道配对型的选择性的填空题.显然是一道活题,是考知识、考能力的好 题. 16. 5. 按各放2张,你可以算出正确的答案是5.各放 x 张呢,答案应当是一样的呀! 点析:考试大纲中要求,考查学生的实践能力,动手操作能力.本题将数学与日常的游戏结合起来,显示了淡化 知识,重视能力的命题新格局.
? ? b ? (? , 2) f ( x ) ? 2 3 a sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 f ( x ) 4 17 . ( 1 ) ,将 的图象按向量 平移后的解析式为

g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 ? 2sin 2 x ? 2 3a cos 2 x .??????????3 分 4

?

? g ( x) 的图象关于直线
?

x?

?
12 对称,
????????5 分 ???????????6 分

g (0) ? g ( ) 6 ,即 2 3a ? 3 ? 3a ,解得 a ? 1 . ?有
则 当

f ( x) ? 2 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 ? 4sin(2 x ? ) ? 2 6 . 2x ?

?

?
6

? 2k? ?

?
2 ,即

x ? k? ?

?
3 时, f ( x) 取得最大值 2.???????7 分

f ( x) 取得最大值时 x 的集合是 因此,

{x | x ? k? ?

?
3

, k ? Z}
.????????8 分

2k? ?
(2)由

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2 ,解得

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3.

f ( x) 的单调递增区间是 因此,

[ k? ?

?

, k? ? ] 6 3 (k ? Z ) .????????12 分

?

点析:本题是一个常规性考查三角函数的题目,第一问要先化简解析式,然后利用向量的平移公式求出平移后的 函数解析式,再利用对称性确定出 a 的值后,用整体法求单调区间。 18. (1)依题意,随机变量 ? 的取值是 2、3、4、5、6. (2 分)

因为 P( ? =2)=

32 9 2 ? 3 2 18 ? ? ? ; P ( =3 ) = , 64 8 2 64 82

2 ? 3 ? 2 12 3 2 ? 2 ? 3 ? 2 21 ? ? P( ? =4)= ;P( ? =5)= ; 2 64 82 64 8
P( ? =6)=

22 4 ? ; 2 64 8
21 最大. 64

(7 分)

所以,当 ? =4 时,其发生的概率 P( ? =4)=

(6分)

(2)E ? = 2 ?

9 18 21 12 4 15 ? 3? ? 4? ? 5? ? 6? ? . 64 64 64 64 64 4

(12 分)

点析:概率解答试题理科多是高三的概率与统计内容,而文科则多出现在高二的概率知识里.这点应当引起 我们在复课时的注意. 点析:概率知识的复习应当紧扣课本,紧扣高考真题.在课本上的基本概念、基础知识的熟练掌握和深刻理解的 前提下,适度提升复习的门槛,这也许是有效学习,高效速练的好办法. 19 . 法 一 : ( 1 ) 设 AB = a, 由 点 O 、 D 分 别 是 AC 、 PC 的 中 点 知 : ?ODB 为 所 求 异 面 直 线 PA 与 BD 所 成 角. PA ? a,?OD ? 1 a, 在等腰Rt ABC中,AB=BC=a,从而知OB= 2 a
2 2

又 OP⊥底面 ABC,

OP ? PA2 ? OA2 ?

3 a,? PB ? PC ? PA ? PO 2 ? OA2 ? a 2
3 a .从而 2

由PA=PB ? BC ? BD=

1 2 3 2 1 2 a ? a- a OD 2 ? BD 2-OB2 4 4 2 ? 3. cos ?ODB ? = 2OD ? BD 3 1 3 2? a ? a 2 2 3 即异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小为 . 3 (2)过 O 作 OE ? PC 交 PC 于 E, 从而 有、 ?BEO 为所求二面角 OB ? 平面POC,OE为BE在平面POC上的射影, ? BE ? PC。
-B 的平面角.设 AB=a,PO=h.

O- PC

2 2 a ah PO ? OC 2 2 2 在Rt?OBE中? OE ? ? ? OB ? a 1 PC 2 2 2 2 2 h ? a h2 ? ( a) 2 2 z 1 h2 ? a2 P 2 OB 1 2 h ? a ? tan?BEO ? ? ? 3 ,解得 2 h OE 2 D 1 2 1 2 3 3 2 2 .? PA ? AO ? PO ? a ? a ? a?k ? 2 4 2 2 x A O C ? 3 B 故当 k= 时,二面角 O-PC-B 大小为 y 3 2 h?
法二: (向量法) 易证 OP⊥平面 ABC,又 OA=OC,AB=BC, 从而 OA⊥OB,OA⊥OB,OB⊥OP 以 O 为原点,射线 OP 为非负 x 轴, 建
A(

立 空 间

直 角 坐

标 系

O-xyz

, (

1 )



AB=a,



PA ? a, PO ?

2 a 2



2 2 2 2 2 2 , a,0,0), B(0, a,0), C(? a,0,0), P(0,0, a), 则D(? a,0, a) 2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 a, 0, ? a), BD ? (- a, - a, a), 2 2 4 2 4 1 1 - a 2- a 2 PA ? BD 4 ? ? 3. ? cos ? PA, BD ?? ? 4 3 | PA || BD | 3 2 a 2 PA ? (
即异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小为

3 . 3
OPC 的一个法向量.不妨设平面

(3)设 AB=a, OP ? h,

2 为平面 OB ? 平面POC, ? OB =(0, a,0) 2
一 个 法 向 量 为

PBC



n ? ( x, y, z)



A(

2 2 2 a,0,0), B(0, a,0), C(? a,0,0), P(0,0, h),? 2 2 2

BC ? (?

2 2 2 a, ? a,0), PC ? (- a,0, ?h), . 2 2 2

?x ? y ? 0 2a 2a ? ? 由 ?n ? BC ? 0 ? ? 2 , 不妨令x=1,则y=-1,z=,即n ? (1, ?1, ) ? ax ? hz ? 0 2h 2h ?n ? PC ? 0 ? ? 2

由cos

?
3

? | |= |OB || n | 2 a2 a ? 2+ 2 2 2h

OB n

2 a 2

1 a2 1 = ? 2+ 2 =4 ? h= a 2 2 2h

? PA ? AO2 ? PO2 ?

1 2 1 2 3 3 a ? a ? a,? k ? . 2 4 2 2
.

故当 k=

? 3 时,二面角 O-PC-B 大小为 3 2

点析:设计“一题二法”是近几年立体几何综合的基本模式。 考查一题多解。 其实是在考查考生的解三角形知识, 考试结果表明, 一般学生解题中遇到的主要障碍也在于此。 本题给我们的教学启示是——要关注立体几何命题与 三角函数、解三角形知识之间的联系,在教学实践中要指导学生如何运用分析的方法,从复杂的空间图形关系中 抽象出对应的三角形,掌握“化空间问题为平面问题,化复杂问题为简单问题”的化归思想,同时注意掌握求解 折叠问题的解法规律.另外,通过本题要教会学生如何在一般图形中,建立恰当的空间直角坐标系 . 20.⑴由已知得 an?1 ? an

? t (an ? an?1 )(n ? 2) ,∴

an?1 ? an ? t (n ? 2) ,∴ {an?1 ? an } 是首项为 t 2 ? t ,公 an ? an?1

比为 t 的等比数列??????????????3 分(文 5 分) ⑵由⑴得 an?1 ? an ∴ an

? (t 2 ? t )t n?1 (t ? 1) ,即 an?1 ? an ? t n?1 ? t n ,???4 分(文 7 分)

? an?1 ? t n ? t n?1 , an?1 ? an?2 ? t n?1 ? t n?2 ,?, a2 ? a1 ? t 2 ? t , ? a1 ? t n ? t ,∴ an ? t n (t ? 1) ????..6 分(文 9 分)

将上列各等式相加得 an 又t

? 1 时, an?1 ? an ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1 ? 0 ,∴ an ? 1

综上可知 an

? t n (t ? 0) ???????????????????8 分(文科 12 分)


⑶由 bn

?

2an 2t n ? 2 1 ? an 1 ? t 2n

1 1 n 1 ? (t ? n ) ??????????9 分 bn 2 t

∵ (2

n

?

n 1 1 1 n n n n n (2t ) ? 1 ,又 2 ? t ? ,∴ 2 ? t , 2t ? 1 , ) ? ( t ? ) ? (2 ? t ) n n n 2 2 t (2t )

∴ (2t )

n

? 1 ,∴ 2n ?

1 1 ? tn ? n n 2 t

,∴

1 1 n 1 ? (2 ? n ) ??????????10 分 bn 2 2



1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [(2 ? 22 ? ? ?2n ) ? ( ? ? ? ? n )] 2 4 2 b1 b2 bn 2
n
n 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2(2 ? 1) 2 2 ] ? 2n ? 1 (1 ? 2? n ) ? 2n ? 1 ? 2 1 ? 2? n ? 2n ? 2 ? ? [ ? 1 2 2 2 2 ?1 1? 2

12 分

点析: 含有数列递推公式的问题, 一般是对递推公式进行变形, 将其转化为等差数列或等比数列, 再求出通项. 如 本题(1) ;另外在解决问题的过程中,要注意特殊情形的讨论(如 n=1,q=1,d=0 等等) ,如本题(2) ;对大小 比较的问题, 应先根据题意判断大小, 再证明你的结论. 如本题 ( 3) , 在 “

1 1 1 1 ? ? ?? b1 b2 b3 bn

” 和 “2

n

? 2?

n 2



的启发下,容易联想到将

1 bn

放缩成两个等比数列(公比应该为 2 和

1 1 1 n n ) ,最后发现 t ? n ? 2 ? n .这 t 2 2

类问题在近几年的高考试题中经常出现. 21. (1)①若直线为 x = 1,将 x = 1 代入 y = 2px 得 y = 2p 以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O ,所以有 2p = 1∴ P = 1/2 ②若直线 l 不是 x = 1 时,设直线方程为: y = kx – k 将 y = kx – k 代入 y = 2px 得 k x - (2p + 2k )x + k = 0① 设 P(x1,y1) Q(x2,y2)则由韦达定理得: x1 + x2 = (2p + 2k )/ k x 1 x2 =1 故 y1y2 =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 2p
2

又以弦 PQ 为直径的圆恒过原点 O, ∴ P = 1/2 ??????6 分

∴ x1 x2+ y1y2 =0= 1- 2p

又 此时? = 4p + 8pk ? 0 综合①②得 P = 1/2. (2)设动点 R 的坐标为(x,y) ∵ FP + FQ = FR

∴FO + OP + FO + OQ = FO + OR

∴ (-1/4,0) + (x1,y1) + (x2,y2)= (x,y) ∴ x= x1 + x2 - 1/4 且 y =y1 +y2 ①l 方程为 x= 1 时,x= x1 + x2 - 1/4= 7/4 ,y =y1 +y2= 0 ②当 l 方程不是 x= 1 时,x=(2p +2k )/k – 1/4 y= k(x1 + x2) - 2k = 1/k
2 2

即得 :x= 2p y + 7/4 = y + 7/4 所以 y = x –7/4 又因为 点(7/4,0)在 y = x –7/4 上 ∴ 由①②得 R 点的轨迹方程为:y = x –7/4
2 2

2

2

2

??????12 分

点析:本题是一个解析几何与平面向量结合的题目,是近几年高考的一个热点题型,再就是本题主要体现了分类 讨论的思想方法,在两个问法里面都分两种情况。实际主要根据了直线的斜率是否存在来进行,也是涉及直线问 题的一个易错环节。 22. (1)

bn ?

1 ? an ? 1

a 1 ,而 ? n ?1 1 an ?1 ? 1 2? ?1 an ?1

bn ?1 ?

1 an ?1 ? 1





bn ? bn?1 ?

an?1 1 ? ? 1 . (n ? N ? ) an?1 ? 1 an?1 ? 1
? 1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2
5 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3.5 , ∴ 2
(4 分)



{ bn }是首项为 b1

(2)

有 an

?1 ?

1 bn

,而 bn ? ?

an ? 1 ?

1 1 ,在 x .对于函数 y ? n ? 3.5 x ? 3.5
故当 n=4 时,an ? 1 ?

>3.5 时, y>0,y' ? ?

1 在 (3.5,? ? ) 上为减函数. ?0, ( x ? 3.5) 2

1 n ? 3.5

取最大值 3.(6 分)而函数 y ?

1 1 在 x<3.5 时,y<0, y' ? ? ? 0 ,在( ? ? ,3.5)上 x ? 3.5 ( x ? 3.5) 2

也为减函数.故当 n=3 时,取最小值, a3 =-1.(8 分 (3) 用数学归纳法证明 1 ? ① 当n

an ? 2 ,再证明 an?1 ? an
(9 分)

.

? 1 时, 1 ? a1 ? 2 成立;

②假设当 n

? k 时命题成立,即 1 ? ak ? 2 ,

当n

? k ? 1 时,

1 1 ? ? 1 ? ak ?1 ? 2 ? 1 ? (1, 3 ) ? 1 ? ak ?1 ? 2 2 ak ak 2
(11 分)

故当 n

? k ? 1 时也成立,

综合①②有,命题对任意 n ? N ? 时成立,即 1 ? (也可设 故1 ?

an ? 2 .

(12 分)

f ( x) ? 2 ?

f (1) ? a k ?1

1 1 ' (1≤ x ≤2) ,则 f ( x ) ? 2 ? 0 , x x 3 ? f ( a k ) ? f ( 2) ? ? 2 ) . 2

下证: a n ?1

? an

an?1 ? a n ? 2 ? (ak ?

1 1 ) ? 2 ? 2 ak ? ? 0 ? an?1 ? an .(14 分) ak ak

点析:本题对等差数列的证明,数列项的最值的方法(函数单调性的定义法和导数法)以及数学归纳法 证明不等式进行了全面的考查.


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