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课时作业31 数列求和


课时作业(三十一)
A 级

数列求和
)

1.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q 为( A.-1 C.± 1 B .1 D.0

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 1 2.已知数列{an}: , + , + + ,?, + + +?+ ,

?,若 bn= ,那么数列{bn} 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 anan+1 的前 n 项和 Sn 为( n A. n+1 C. 3n n+1 ) B. 4n n+1 5n n+1 )

D.

3. 数列 a1+2, ?, ak+2k, ?, a10+20 共有十项, 且其和为 240, 则 a1+?+ak+?+a10 的值为( A.31 C.130 B.120 D.185 )

2 ? ?n ?当n为奇数时?, ? 4.已知函数 f(n)= 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100 等于( 2 ?-n ?当n为偶数时?, ?

A.0 C.-100

B.100 D. 10 200

5. 等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 前 n 项和 Sn.则“d>|a1|”是“Sn 的最小值为 S1, 且 Sn 无最大值” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 6.在等差数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a2+a8=18-a5,则 S9=________. 3 9 25 65 7.数列 , , , ,?的前 n 项和 Sn 为________. 2 4 8 16 1 8.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 Sn=a1+a2+?+an 的取值范围是________. 4 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的通项 为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 10.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n 1.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

2 11.若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. 3 (1)证明数列{an+1-an}是等差数列; 1 1 1 1 5 (2)求使 + + +?+ > 成立的最小的正整数 n. a1 a2 a3 an 2

B 级 1.(2012· 福建卷)数列{an}的通项公式 an=ncos A.1 006 C.503 nπ ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于( 2 )

B.2 012 D.0

2.设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 ab1 +ab2+?+ab10=________. 3.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a3a5+2a4a6+a3a9=100,又 4 是 a4 与 a6 的等 比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Sn.

详解答案

课时作业(三十一) A 级 1.B 据题意可知,2S2=S1+S3,故 2(a1+a1q)=a1+(a1+a1q+a1q2),即 a1q=a1q2,∵a1≠0,q≠0, ∴q=1.故选 B. 1+2+3+?+n n 2.B an= = , 2 n+1 1 1 1 4 ∴bn= = =4?n-n+1?, ? anan+1 n?n+1? ? 1? ?1 1? ?1- 1 ?? ∴Sn=4?? ?1-2?+?2-3?+?+ n n+1

?

?

??

1 4n =4?1-n+1?= ? ? n+1. 3.C a1+?+ak+?+a10=240-(2+?+2k+?+20) ?2+20?×10 =240- =240-110=130. 2 4.B 由题意,a1+a2+a3+?+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+?+992-1002-1002+1012

=-(1+2)+(3+2)+?-(99+100)+(101+100)=-(1+2+?+99+100)+(2+3+?+100+101)=-1 +101=100.故选 B. d? n d 5.A 因为等差数列{an}中,Sn=na1+ (n-1)d= n2+? ?a1-2?n,若 Sn 的最小值为 S1,且 Sn 无最大 2 2 d a1- 2 值时,必满足 d>0 且- ≤1,即 d≥-2a1,且 d>0,故 d>|a1|可推导条件成立,而条件成立不能推出 d 2× 2 d>|a1|成立,所以选 A. 6.解析: 由等差数列的性质,a2+a8=18-a5, 即 2a5=18-a5,∴a5=6, ?a1+a9?×9 又∵S9= =9a5=54. 2 答案: 54 3 1 9 1 25 1 65 1 7.解析: ∵ =1+ , =2+ , =3+ , =4+ ,? 2 2 4 4 8 8 16 16 1? 3 9 25 65 ∴Sn= + + + +?+? ?n+2n? 2 4 8 16 1 1 1 1? =(1+2+3+?+n)+? ?2+22+23+?+2n? 1?n? 1? 1-? ?2? ? n?n+1? n?n+1? 2? 1 = + = +1- n. 2 1 2 2 1- 2

答案:

n?n+1? 1 +1- n 2 2


8.解析: 因为{an}是等比数列,所以可设 an=a1qn 1. a q=2 ? ? 1 1 因为 a2=2,a5= ,所以? 4 1 4 ? ?a1q =4 a =4 ? ? 1 ,解得? 1 . ? ?q=2

?1?n? 4×? ?1-?2? ? 1?n 所以 Sn=a1+a2+?+an= =8-8×? ?2? . 1 1- 2
1?n 1 因为 0<? ?2? ≤2,所以 4≤Sn<8. 答案: [4,8) 9.解析: ∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 2-2n - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2= +2=2n-2+2=2n. 1-2 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2


答案: 2n 1-2


10.解析: (1)由已知,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+?+(a2-a1)]+a1 =3(22n 1+22n 3+?+2)+2=22(n
- - +1)-1

.


而 a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1. (2)由 bn=nan=n· 22 n
-1

知,


Sn=1· 2+2· 23+3· 25+?+n· 22n 1,① 从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+?+n· 22n 1,②


①-②得,(1-22)Sn=2+23+25+?+22n 1-n· 22n 1,
- +

2?1-4n? 1 + + = -n· 22n 1=- [(3n-1)22n 1+2], 3 1-4 1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9 11.解析: (1)由 3(an+1-2an+an-1)=2 可得: 2 2 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 3 3 4 2 ∴数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. 3 3 4 2 2 (2)由(1)知 an+1-an= + (n-1)= (n+1), 3 3 3

2 1 于是累加求和得:an=a1+ (2+3+?+n)= n(n+1), 3 3 1 1 1 ∴ =3?n-n+1?, an ? ? 1 1 1 1 3 5 ∴ + + +?+ =3- > ,∴n>5. a1 a2 a3 an n+1 2 ∴最小的正整数 n 为 6. B 级 1.A 因 cos nπ 呈周期性出现,则观察此数列求和规律,列项如下: 2

a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4, 此 4 项的和为 2. a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8, 此 4 项的和为 2. 依次类推,得 S2 012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+?+(a2 009+a2 010+a2 011+a2 012) = 2 012 ×2=1 006.故选 A. 4


2.解析: an=n+1,bn=2n 1, ∴ab1+ab2+?+ab10=a1+a2+a22+a23+?+a29 =1+1+2+1+22+1+23+1+?+29+1 =10+(1+2+22+?+29) 1-210 =10+ =10+210-1=1 033. 1-2 答案: 1 033 3.解析: (1)∵a3a5+2a4a6+a3a9=100,
2 2 ∴a2 4+2a4a6+a6=100,∴(a4+a6) =100,

又 an>0,∴a4+a6=10, ∵4 是 a4 与 a6 的等比中项,∴a4a6=16, 而 q∈(0,1),∴a4>a6,∴a4=8,a6=2, 1 ?1?n-1=27-n. ∴q= ,a1=64,∴an=64· ?2? 2 (2)bn=log2an=7-n, 则数列{bn}的前 n 项和为 Tn= n?13-n? , 2

n?13-n? ∴当 1≤n≤7 时,bn≥0,∴Sn= . 2 当 n≥8 时,bn<0,

∴Sn=b1+b2+?+b7-(b8+b9+?+bn) =-(b1+b2+?+bn)+2(b1+b2+?+b7), n?13-n? 7×6 n2-13n+84 =- +2× = , 2 2 2

? ∴S =? n -13n+84 ? 2
n 2

13n-n2 2

?1≤n≤7且n∈N*?, ?n≥8且n∈N*?.


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