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高中奥林匹克物理竞赛解题方法之二隔离法


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例 1:两个质量相同的物体 1 和 2 紧靠在一起放在光滑水平桌面上,如图 2—1 所示,如果它们分别受到水平 推 力 F1 和 F2 作用,且 F1>F2, 则物体 1 施于物体 2 的作用力的大小为 A.F1 B.F2 C.1/2(F1+F2) D.1/2(F1-F2) ① ( )

解析

:要求物体 1 和 2 之间的作用力,必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研究对象,根据牛顿第二定律:F1-F2=2ma 再以物体 2 为研究对象,有 N-F2=ma 解①、②两式可得 N ②

?

1 ( F1 ? F2 ), 所以应选 C 2


例 2:如图 2—2 在光滑的水平桌面上放一物体 A,A 上再放一物体 B,A、B 间有摩擦。施加一水平力 F 于 B, 使它相对于桌面向右运运,这时物体 A 相对于桌面 ( A.向左动 C.不动 B.向右动 D.运动,但运动方向不能判断

解析:A 的运动有两种可能,可根据隔离法分析设 AB 一起运动,则 a

?

F m A ? mB

AB 之间的最大静摩擦力

f m ? ?mB g

以 A 为研究对象:若 f m

? m A a,即? ?

mA F , AB 一起向右运动. m B (m B ? m A )

若?

?

mA F , 则 A 向右运动,但比 B 要慢,所以应选 B m B (m B ? m A ) g

例 3:如图 2—3 所示,已知物块 A、B 的质量分别为 m1、m2,A、B 间的摩擦因数为μ 1,A 与地面之间的摩擦因数为μ 2,在水 平力 F 的推动下,要使 A、B 一起运动而 B 不至下滑,力 F 至少为多大? 解析: B 受到 A 向前的压力 N,要想 B 不下滑,需满足的临界条件是:μ 1N=m2g.设 B 不下滑时,A、B 的加速度为 a,以 B 为 研究对象,用隔离法分析,B 受到重力,A 对 B 的摩擦力、A 对 B 向前的压力 N,如图 2—3 甲所示,要想 B 不下滑,需满足:μ 1N ≥m2g,即:μ 1m2a≥m2g,所以加速度至少为 a=g/μ
1

再用整体法研究 A、B,根据牛顿第二定律,有:F—μ 2(m1+m2)g=(m1+m2)g=(m1+m2)a,所以推力至少为

F ? (m1 ? m2 )(

1

?1

? ?2 )g .

例 4:如图 2—4 所示,用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体,沿着倾角为α 的斜面匀速下滑,问 A 与 B 之间 的细绳上有弹力吗? 解析:弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间,现在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行 了,应结合物体的运动情况来分析.隔离 A 和 B,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将各力正交分解,由于两物体匀速下滑, 处于平衡状态,所以有:

m A g sin? ? T ? f A ……①

mB g sin? ? T ? f B ……②

设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 ? A 、 ? B ,则

f A ? ? A N A ? ? A m A g cos? ……③
由以上①②③④可解得: T 若 T=0,应有: ? A 由此可见,当 ? A

f B ? ? B N B ? ? B mB g cos? ……④

? m A g (sin ? ? ? A cos? )和T ? mB g ( ? b cos? ? sin ? )

? tan?

? B ? tan?

? ? B 时,绳子上的弹力 T 为零.
1

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若 ?A

? ? B ,绳子上一定有弹力吗?

我们知道绳子只能产生拉力.当弹力存在时,应有:T>0 即 所以只有当 ? A 例5

? A ? tan? , ? B ? tan?

? ? B 时绳子上才有弹力

如图 2—5 所示,物体系由 A、B、C 三个物体构成,质量分别为 mA、mB、mC.用一水平力 F 作用在小车 C 上,小车 C 在

F 的作用下运动时能使物体 A 和 B 相对于小车 C 处于静止状态.求连接 A 和 B 的不可伸长的线的张力 T 和力 F 的大小. (一切摩擦和绳、 滑轮的质量都不计) 解析 在水平力 F 作用下,若 A 和 B 能相对于 C 静止,则它们对地必有相同的水平加速度.而 A 在绳的张力作用 下只能产生水平向右的加速度,这就决定了 F 只能水平向右,可用整体法来求,而求张力必须用隔离法. 取物体系为研究对象,以地为参考系,受重力(mA+mB+mC)g,推力 F 和地面的弹力 N,如图 2—5 甲所示,设 对地的加速度为 a,则有:

F ? (m A ? mB ? mC )a …………①
隔离 B,以地为参考系,受重力 mBg、张力 T、C 对 B 的弹力 NB,应满足:

N B ? mB a, 绳子的张力T ? mB g …………②
隔离 A,以地为参考系,受重力 mAg,绳的张力 T,C 的弹力 NA,应满足; NA=mAg…………③T=mAa…………④ 当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时,由②、④两式解出加速度 a

?

mB g mA

代入①式可得: F

?

m B ( m A ? m B ? mC ) g mA

例6

如图 2—6 所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为 m0 的平盘,盘中有一物体质量为 m,当盘静止时,弹簧的长度

比其自然长度伸长了 L,今向下拉盘,使弹簧再伸长△L 后停止.然后松手放开,设弹簧总处在弹性限度以内,则刚松开手时盘对物体 的支持力等于( ) B. (1 ? ?L / L)( m ? m0 ) g D. ?L / L(m ? m0 ) g

A. (1 ? ?L / L)mg C. ?Lmg

解析 确定物体 m 的加速度可用整体法,确定盘对物体的支持力需用隔离法.选整体为研究对象,在没有向下拉盘时有 KL=(m+m0)g…………① 在向下拉伸△L 又放手时有 K△L=(m+m0)a……② 再选 m 为研究对象 解得: FN FN-mg=ma……③

? (1 ?

?L )mg L

应选 A.此题也可用假设法、极限法求解. 例7 如图 2—7 所示,AO 是质量为 m 的均匀细杆,可绕 O 轴在竖直平面内自动转动.细杆上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体

接触,圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡,已知杆的倾角为θ ,AP 长度是杆长的 1/4,各处的摩擦都不计,则挡板对圆柱体的作用 力等于 解析 。 求圆柱体对杆的支持力可用隔离法,用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力

可隔离圆柱体,用共点力的平衡来解. 以杆为研究对象,受力如图 2—7 甲所示,根据力矩平衡条件:

2

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l 3 2 mg cos? ? F l , 解得F ? mg cos? . 2 4 3
根据牛顿第三定律,杆对圆柱体的作用力与 F 大小相等,方向相反,再以圆柱体为研究对象,将力 F 正交分解,如图 2—7—乙, 在水平方向有

?

2 1 mg sin? cos? ? mg sin 2? 3 3

即挡板对圆柱体的作用力为

1 mg sin 2? . 3

例8

如图 2—8 所示,质量为 m 的小球被两个劲度系数皆为 k 的相同弹簧固定在一个质量为 M 的盒中,盒从

h 高处(自桌面量起)开始下落,在盒开始下落的瞬间,两弹簧未发生形变,小球相对盒静止,问下落的高度 h 为多 少时,盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来.、 解析 盒下落过程可用整体法研究,下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究,盒起跳时可隔离盒研究。 在盒与桌面发生碰撞之前,小球仅受重力作用,着地时速度为: v

? 2 gh .

碰撞后盒静止,球先压缩下面的弹簧,同时拉上面的弹簧,当小球向下的速度减为零后,接着又向上运动,在弹簧原长位置上方 x 处,小球的速度又减为 0,则在此过程中,对小球有:

1 2 1 mv ? mgx ? 2 ? kx2 2 2
把盒隔离出来,为使盒能跳起来,需满足: 2kx ? 例9

Mg代入上式可解得 : h ?

Mg M (1 ? ). 2k 2m

如图 2—9 所示,四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接,置于光滑水平面上,三根绳子形成半个正六边形

保持静止。今有一冲量作用在质点 A,并使这个质点速度变为 u,方向沿绳向外,试求此瞬间质点 D 的速度. 解析 要想求此瞬间质点 D 的速度,由已知条件可知得用动量定理,由于 A、B、C、D 相关联,所以用隔离法,对 B、C、D 分别应用动量定理,即可求解.以 B、C、D 分别为研究对象,根据动量定理: 对 B 有:IA—IBcos60°=mBu…………① 对 C 有:IB—ID cos60°=mCu1……③ 对 D 有:ID=mDu2……⑤ IA cos60°—IB=mBu1…………② IBcos60°—ID=mcu2…………④ 由①~⑤式解得 D 的速度 u 2

?

1 u 13

例 10 有一个两端开口、粗细均匀的 U 形玻璃细管,放置在竖直平面内,处在压强为 p0 的大气中,两 个竖直支管的高度均为 h,水平管的长度为 2h,玻璃细管的半径为 r,r<<h..今将水平管内灌满密度为ρ 的水银, 如图 2—10 所示. 1.如将 U 形管两个竖直支管的开口分别密封起来,使其管内空气压强均等于大气压强,问当 U 形管向右做匀加 速移动时,加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为(5/3)h? 2. 如将其中一个竖直支管的开口密封起来, 使其管内气体压强为 1 个大气压.问当 U 形管绕以另一个竖直支管 (开 口的)为轴做匀速转动时,转数 n 应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为(5/3)h(U 形管做以上运动时,均不 考虑管内水银液面的倾斜) 解析 如图 2—10—甲所示,U 形管右加速运动时,管内水银柱也要以同样加速度运动,所以 A 管内气体体积减 小、压强增大,B 管内气体体积增大、压强减小,水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度.若 U 形管以 A 管为轴匀速转动时,水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度. 1.当 U 形管以加速度 a 向右运动时,对水平管中水银柱有 F1—F2=ma 即 ( pA

h 5 ? ?g ) S ? p B S ? hS? ? a ……① 3 3 h 3 对A中气体有 : p0 hs ? p A (h ? ) S , 解得p A ? p0 ……② 3 2 h 3 对B中气体有 : p0 hs ? p B (h ? )S , 解得p B ? p0 ……③ 3 4
? 9 p0 ? 4 ?gh 20 h?

将②、③式代入①式可得 a

2.如图 2—10—乙,若 U 形管以 A 管为轴匀速转动时,对水平管中水银

3

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柱有 F2—F1=ma.若转轴为 n,则有:

h 7 ( p ? ? ?g ) S ? p0 S ? m ? (2?n) 2 h ……① B 3 6 h 3 对 B 中气体有 p0 hS ? p ? (h ? ) ? S , 解得: p ? ? p0 ……② B B 3 2
将②式代入①式可解得转速 n

?

1 9 p 0 ? 6 ?gh ?h 140 ?

例 11 如图 2—11 所示,一个上下都与大气相通的竖直圆筒,内部横截面的面积 S=0.01m2,中间用两个活塞 A 与 B 封住一定质 量的理想气体,A、B 都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动,但不漏气,A 的质量可不计,B 的质量为 M,并与一倔强系数 k=5× 103N/m 的较长的弹簧相连.已知大气压强 p0=1× 105Pa,平衡时,两活塞间的距离 l0=0.6m.现用力压 A 使之缓慢向下移动一定距离后,保持平 衡,此时,用于压 A 的力 F=5×102N.求活塞 A 向下移动的距离.(假定气体温度保持不变.) 解析 活塞 A 下移的距离应为 B 下降的距离与气体长度的减小量之和,B 下降的距离可用整体法求解.气体长度的变化可隔离气 体来求解. 选 A、B 活塞及气体为研究对象,设用力 F 向下压 A 时,活塞 B 下降的距离为 x,则有:F=kx…………① 选气体为研究对象,据玻意耳定律有 解①②两式可得 x=0.1m 例 12

p0 l 0 S ? ( p0 ?

F )l ? S …………② S

l=0.4m 则活塞 A 下移的距离为:左=0.1+0.6—0.4=0.3m

一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等的左右两室,气缸壁与活塞是不导热的,它们之间没有摩擦,两

室中气体的温度相等,如图 2—12 所示,现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间,达到平衡后,左室的 体积变为原来体积的 3/4,气体的温度 T1=300K.求右室中气体的温度. 解析 可隔离出 A、B 两部分气体,用理想气体状态方程求解. 设原来两室中气体的压强都为 p,温度都为 T,体积都为 V,

对左边气体有

3 p? V pV ? 4 T T1

……①对右边气体有

5 p? V pV ? 4 T T2



两式相比,可得右室中气体温度 T2 例 13

5 ? T1 ? 500 K 3

如图 2—13 所示, 封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着, 气缸内密封一定质量的气体, 当温度为 27℃

时, 弹簧的长度为 30cm, 此时缸内气体的压强为缸外大气压的 1.2 倍, 当气温升到 123℃时, 弹簧的长度为 36cm, 求弹簧的原长. 解析 本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体,气体所处的初态为: T1=300K、 1=SL1、S 为气缸横截面积, 1 为弹簧长度)1=p0+F1/S=1.2P0 末态为 T2=396K、 2=SL2 p2=p0+F2/S V ( L p V (p0 为大气压强,F1、F2 为弹簧的弹力).气体从初态过渡到末态时质量恒定,所以可利用状态方程求解: 将上述各状态参量代入状态方程:

p1V1 p 2V2 ? T1 T2

解得:

p 2 ? 1.1 p1 ? 1.32 p0 由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差,

所以:

K?L1 ? p1 ? p0 ? 0.2 p0 S



K?L2 ? p 2 ? p0 ? 0.32 p0 S
即 : L2 ? L0 ? 1.6( L1 ? L0 )



联立①、②式得: ?l 2

? 1.6?L1

解得弹簧的原长为 L0=20cm 例 14 一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道,其半径为 R,此轨道水平放置,圆心在 O 点,一个金属小珠 P 穿在此轨道上,可 沿轨道无摩擦地滑动,小珠 P 带电荷 Q.已知在轨道平面内 A 点(OA=r<R)放有一电荷 q.若在 OA 连线上某一点 A1 放电荷 q1,则给

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小珠 P 一个初速度,它就沿轨道做匀速圆周运动,求 A1 点的位置及电荷 q1 之值. 解析 小珠 P 虽沿轨道做匀速圆周运动,但受力情况并不清,因此不能从力的角度来解决,可以从电势的角 度来考虑,因为小珠 P 沿轨道做匀速圆周运动,说明小珠只受法向的电场力.由此可知,电场力对小珠 P 做功为零, 根据 W=qU 可知,圆轨道上各点电势相等,根据题意作图如图 2—14,设 A1 点距圆形轨道的圆心 O 为 r1,A 点放 的电荷 q 距圆心为 r 由此得:

kq1 kq ? R ? r r1 ? R

kq1 kq ? R ? r r1 ? R

解①、②两式可得:A1 点的位置距圆心 O 的距离为 r1

?

R2 r

,所带电量 q1

?

R q. r
0.5Ω ,R1=1Ω ,R2=2Ω ,R3=1.8Ω ,求通过

例 15

? 如图 2—15 所示,两个电池组的电动势 1

? ? 2 ? 3V , 每节电池的内阻均为

R1、R2、R3 的电流及两个电池组的端电压各是多少? 解析 解此题时,可采用与力学隔离法相似的解法,即采用电路隔离法. 气体从初态过渡到末态时质量恒定,所以可利用状态方程求解.先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分,则有: UAB=ε 1—I1(R1+2r)……① UAB=I3R3……………………③ UAB=ε 2—I2(R2+2r)………………② I1+I2=I3………………④
2 的端电压

联立①②③④四式解得:I1=0.6A,I2=0.4A,I3=1A,电池组ε 的端电压 U1=2.4V,电池组ε

U2=2.6V.

例 16 如图 2—16 所示,两根相互平行的间距 L=0.4m 的金属导轨水平放在 B=0.2T 的匀强磁场中,磁场垂直于导轨平面,导轨 上的滑杆 ab、cd 所受摩擦力均为 0.2N,两杆电阻均为 0.1Ω ,导轨电阻不计.当 ab 受到恒力 F 作用时,ab 以 v1 做匀速运动,cd 以 v2 做 匀速运动,求通过 ab 杆的电流强度的大小和方向. 解析 要求通过 ab 杆的电流强度,应通过 ab 杆受的安培力求解,这就需要隔离出 ab 杆进行受力分析. 以 ab 杆为研究对象,因右手定则确定电流的方向为 b→a,受力如图 2—6—甲所示.因为 ab 杆匀速运动处于平衡状态,故有 F=f+BIL. 再以滑杆 ab、cd 整体作为研究对象,受力如图 2—16—乙所示,因为 ab、cd 均做匀速运动,受力平衡,故有 F 代入上式,解得通过 ab 杆的电流为 I

? 2 f ? 0.4 N .

?

F? f ? 2.6 A BL

所以通过 ab 杆的电流的大小为 2.5A,方向 b→a.

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