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第一章集合与函数概念 单元检测(人教A版必修1)


第一章集合与函数概念 单元检测(人教 A 版必修 1) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U=R,下列集合运算结果为 R 的是( ) A.Z∪?UN B.N∩?UN C.?U(?U?) D.?U{0} 2.函数 f(x)= x-3+ 7-x的定义域是( ) A.[3,7] B.(-∞,3]∪[7,+∞) C.[7,+

∞) D.(-∞,3] 3.设全集 U 是实数集 R,M={x|x<-2 或 x>2},N={x|x2-4x+3<0},则图 11 中的阴 影部分所表示的集合是( )

图 11 A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y= f(x)的图象可能是( )

A

B

C
? ?x<2?, ?x-2 5.函数 f(x)=? 则 f(2)=( ?f?x-1? ?x≥2?, ?

D )

A.-1 B.0 C.1 D.2 6.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=-4x+1 1 7.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+ ,则 f(-1)=( ) x A.2 B.1 C.0 D.-2 8.偶函数 f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递 增,则不等式 xf(x)<0 的解集为( ) A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-∞,-4)∪(-1,0)

D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4) 9.设 f(x)是 R 上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=( ) A.-1 B.1 C.-0.5 D.0.5 10.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图 12,设小矩 形的长、宽分别为 x、y,剪去部分的面积为 20,若 2≤x≤10,则 y=f(x)的图象是( )

图 12

A

B

C D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.已知函数 f(x)= x-1,若 f(a)=3,则实数 a=__________. 12.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=x2-x,则当 x≥0 时,f(x) 的解析式为____________. 13.已知集合 A={x|x2+5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,则实数 m 的值组 成的集合为____________. 1 - ,2?,对于系数 a,b,c,则有如下结论: 14.不等式 ax2+bx+c>0 的解集为? ? 3 ? ① a<0 ;② b > 0 ;③ c > 0 ;④ a + b + c > 0 ;⑤ a - b + c > 0. 其中正确的结论的序号是 ____________. 三、解答题(共 80 分) 15.(12 分)已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}. 分别求?R(A∩B),(?RB)∪A.

16.(12 分)已知 f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且 a<g(x)<b.求证:f[g(x)]在(a,b)上也 是增函数.

17.(14 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x. (1)画出 f(x)的图象; (2)求 f(x)的解析式.

18.(14 分)设 f(x)=ax2+bx+3a+b 的图象关于 y 轴对称,定义域为[a-1,2a],求 f(x) 的值域.

4x-a 19.(14 分)对于定义域为 R 的函数 f(x)= 2 (a 为常数),回答下列问题: x +1 1 (1)若 f(1)= ,求 a 的值; 2 (2)当 a 取由(1)所确定的值时,求 y=f(x)的值域.

2 7 20.(14 分)已知函数 f(x)=xm- ,且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

检测部分 第一章自主检测 1.A 解析:∵全集 U=R,∴Z∪?UN=R,N∩?UN=?,?U(?U?)=?,?U{0}={x∈ R|x≠0}. ? ?x-3≥0, 2.A 解析:由? 解得 3≤x≤7.故选 A. ?7-x≥0 ? 3.C 4.B 解析:依定义知,C 中图象不是函数图象,A 中定义域不是 M={x|-2≤x≤2}, D 中值域不是 N={y|0≤y≤2}.故选 B. 5.A 解析:f(2)=f(2-1)=f(1)=-1.故选 A. 6.B 7.D 解析:f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 8.D 解析:由已知条件通过 f(x)(x∈R)的草图得知:函数 f(x)(x∈R)的值在(-∞,- 4),(-1,1),(4,+∞)上都为正,在(-4,-1),(1,4)上为负,故不等式 xf(x)<0 的解集为(- ∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4). 9.C 解析:方法一:f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 方法二:f(7.5)=-f(-7.5)=f(-5.5)=-f(-3.5)=f(-1.5)=-f(0.5)=-0.5.故选 C. 10 10.A 解析:∵2xy=20,∴y= ,x∈[2,10].故选 A. x 11.10 12.f(x)=-x2-x 解析:令 x≥0,则-x≤0, f(-x)=x2+x.因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x) =- f(-x)=-x2-x. 1 1? ? 13.?0,2,3? 解析:根据题意,可知:A={-2,-3}.由 A∪B=A,得 B?A,故分 ? ? 1 1? ? B={-2}或{-3}或?三种情况讨论,解得 m=?0,2,3?. ? ? 1 ? 2 14.①②③④ 解析:不等式 ax +bx+c>0 的解集为? ?-3,2?,a<0; 1 ∵- ,2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, 3 1 b ∴- +2=- >0,∴b>0.f(0)=c>0,f(-1)=a-b+c<0,f(1)=a+b+c>0. 3 a 故正确答案为 ①②③④. 15.解:∵A∩B={x|3≤x<6}, ∴?R(A∩B)={x|x<3 或 x≥6}. ∵?RB={x|x≤2 或 x≥9}, ∴(?RB)∪A={x|x≤2 或 3≤x<6 或 x≥9}. 16.证明:设 a<x1<x2<b, ∵g(x)在(a,b)上是增函数, ∴g(x1)<g(x2),且 a<g(x1)<g(x2)<b. 又∵f(x)在(a,b)上是增函数, ∴f[g(x1)]<f[g(x2)]. ∴f[g(x)]在(a,b)上也是增函数. 17.解:(1)如图 D34.

图 D34

(2)当 x<0 时,f(x)=-f(-x) =-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. ?x2-2x ?x≥0?, ? ∴f(x)=? 2 ?-x -2x ?x<0?. ? 18.解:f(x)=ax2+bx+3a+b 的图象关于 y 轴对称, 则 f(x)是偶函数,即 b=0. 1 又因为定义域关于原点对称,则 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 2 所以 f(x)= x +1. 3 2 2? ? 31? 当 x∈? ?-3,3?时,f(x)∈?1,27?. 31? 所以函数 y=f(x)的值域是? ?1,27?. 4-a 1 1 19.解:(1)由 f(1)= ,得 = ,∴a=3. 2 1+1 2 4x-3 (2)当 a=3 时,所给函数变为 y= 2 ,定义域为 R. x +1 由解析式,得 yx2-4x+(y+3)=0. 3 当 y=0 时,x= ∈R,∴y=0 属于函数的值域. 4 当 y≠0 时,若方程有实数解,则 Δ=16-4y2-12y≥0, 解得-4≤y≤1(y≠0). 4x-3 故函数 y= 2 的值域为{y|-4≤y≤1}. x +1 7 2 7 20.解:(1)因为 f(4)= ,所以 4m- = ,解得 m=1. 2 4 2 (2)因为 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 2? 2 又 f(-x)=(-x)- =-? ?x-x?=-f(x), -x 所以 f(x)是奇函数. (3)f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.证明如下: 2? ? 2? 2 ? ? 设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=? ?x1-x1?-?x2-x2?=(x1-x2)?1+x1x2?. 2 因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+ >0. x1x2 所以 f(x1)>f(x2). 因此,f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.


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