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2013-2014学年高二数学基础达标:4.2.1+2 几个幂函数的导数 一些初等函数的导数表(湘教版选修2-2)]


.

4.2
4.2.1 4.2.2

导数的运算
几个幂函数的导数

一些初等函数的导数表
基础达标 ?限时20分钟? ( ).

1.曲线 y=x3 在点 P 处的切线的斜率为 3,则 P 点的坐标为 A.(-2,-8) C.(2,8) 解析 B.(-1,-1),(1

,1) 1? ? 1 D.?-2,-8? ? ?

y′=3x2,由 3x2=3,得 x=1 或 x=-1,

∴P 点坐标为(1,1)或(-1,-1). 答案 B

π 1 ? π? 2.下列结论:①(cos x)′=sin x;②?sin3?′=cos3;③若 y=x2,则 y′|x=3 ? ? 2 =-27;④(e3)′=e3.其中正确的个数为 A.0 个 C.2 个 解析 B.1 个 D.3 个 ( ).

π 3 ? 3? 2 ?1? (cos x)′=-sin x,①错,sin3= 2 ,? ?′=0.②错,?x2?′=-x3, ? ? ?2?

2 ∴y′|x=3=-27,③正确,e3 为常数,(e3)′=0,④错. 答案 B

3.(2011· 山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ( A.-9 C.9 解析 B.-3 D.15 y′=3x2,则 y′|x=1=3,所以曲线在 P 点处的切线方程为 y-12= ).

3(x-1). 即 y=3x+9,它在 y 轴上的截距为 9. 答案 C

4.已知 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 f(x)=x2 上的两点,则平行于直线 PQ 的曲线 y=x2 的切线方程是________________. 解析 y=x2 的导数为 y′=2x,设切点为 M(x0,y0), 4-1 =1, 2+1

则 y′|x=x0=2x0,又 kPQ=

1 又切线平行于 PQ,∴k=y′| x=x0=2x0=1,∴x0=2. ?1 1? ∴切点 M?2,4?, ? ? 1 1 ∴切线方程为 y-4=x-2,即 4x-4y-1=0. 答案 4x-4y-1=0

?π 3? 5.曲线 y=sin x 在点 A? , ?处的切线方程为________. ?3 2 ? 解析 1 3 1 y′=cos x,y′|x=π=2,所以曲线在 A 点处的切线方程为 y- 2 =2 3

π ? π? ?x-3?.即 x-2y+ 3- =0. 3 ? ? 答案 π x-2y+ 3-3=0

6.已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的切线,求 k. 解 1 设切点为 P(x0,y0),又 y′=(ln x)′=x .
0

1 ∴点 P 处的切线斜率为x , 1? 1 1 ?1 ∴k=x ,x0=k,∴P? k,ln k?. ? ? 0 1 1 又点 P 在直线 y=kx 上,∴ln k=k· k =1. 1 1 ∴ k=e,即 k= e.

综合提高 ?限时25分钟?
7.(2011· 江西)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线的斜率为 A.1 B.2 ( ).

C.e 解析 答案

1 D.e y′=ex,y′|x=0=1.所以,所求切线的斜率为 1. A

8.设 f0(x)=cos x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈ N,则 f2 011(x)等于 A.sin x C.cos x 解析 B.-sin x D.-cos x ( ).

f0(x)=cos x,f1(x)=-sin x,f2(x)=-cos x,

f3(x)=sin x,f4(x)=cos x,…, 由此看出,四个一循环,具有周期性,T=4.∵2 011=4×502+3,∴f2 011(x) =f3(x)=sin x. 答案 A

1 9.曲线 y=log2x 的一条切线的斜率为ln 2,则切点坐标为________. 解析 答案 1 1 1 y′=xln 2,由xln 2=ln 2,得 x=1.所以切点坐标为(1,0). (1,0)

x? x? 10.函数 y=-2sin2?1-2cos24?的导数为________. ? ? 解析 答案 x? x? y=-2sin 2?-cos 2?=sin x,故 y′=cos x. ? ? cos x

11.求过曲线 y=ex 上的点 P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程. 解 y′=ex,∴曲线在点 P 处的切线的斜率为 e1=e.

1 ∴过 P 点与曲线在点 P 处的切线垂直的直线的斜率为-e . 1 ∴所求方程为 y-e=- e(x-1),即 x+ey-e2-1=0. 12.(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线 y=x3 相切的直线方程. 解
3 设切点坐标为(x0,x0 ),则由于 y′=3x2,所以切线斜率为 3x2 0,切线方

2 程为 y-x3 0=3x0(x-x0),它过点(2,0), 3 ∴0-x0 =3x2 0(2-x0)

∴x0=0 或 x0=3. 若 x0=0,则切点坐标为(0,0),切线方程为 y=0. 若 x0=3,则切点坐标为(3,27),切线方程为 y-27=3×32(x-3),即 27x-y -54=0. 所以,所求直线方程为 y=0 或 27x-y-54=0.


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