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椭圆与双曲线常见题型归纳[1]


椭圆与双曲线常见题型归纳
一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型 例 1.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3),(0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点。
(Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )若 OA

? OB ,求 k 的值。

例 1. 解:(Ⅰ )设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ )设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

1 . 2

例 2.设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围 例 2.解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3

所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4

因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1 解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?
2

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则
2 2

?

PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2

?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ? ? 2?

?

?

?

?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
∴ x1 ? x2 ? ?

4k k2 ?
? ?

1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ?A0B ? 90 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0
0 0

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
2 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ?

3k 2 k2 ? 1 4

?

?8 k 2 ?k 2 ? 1 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4



3 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ?2 ? k ? ?

3 3 或 ?k?2 2 2

例 3.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。 例 3.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0). 由已知得

a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3 2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 6 2k ?9 xA ? xB ? , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2
?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 于是 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ② 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 3 3 ? k 2 ? 1. 由①、②得 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). 3 3 3 ? (k 2 ? 1)

x2 y2 6 【变式题 1】 .已知椭圆 2 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a, a b 3
0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存 在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y 2 ? 1 .???????4 分 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
????????????????8 分 而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则



y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 .????????????????10 分 ∴

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ? 2. “中点弦型”

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.?????????13 分 6

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3 两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。 y ?y 1 例 4.解:设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ? 2 1 ? ? , x2 ? x1 4

例 4.已知椭圆

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则
m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? ?m? 4 3 13 13

例 5.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 3 ,焦距为 2 3 (I)求该双曲线方程. (II)是否定存在过点 P (1 ,1 )的直线 l 与该双曲线交于 A , B 两点,且点 P 是 线段 AB 的中点?若存在,请求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. y2 ?1 例 5.(1) x 2 ? 2 y2 ? 1得 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,直线: y ? kx ? 1 ? k ,代入方程 x 2 ? 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0 ( 2 ? k 2 ? 0 ) x ? x2 k (1 ? k ) ? ? 1 ,解得 k ? 2 ,此时方程为 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , ? ? 0 则 1 2 2?k2 方程没有实数根。所以直线 l 不存在。
【变式题 2】已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1 (0, ? 2 2 ) ,F2(0, 2 2 ) ,且离心率

e?

2 2 。 3
(I)求椭圆的方程; (II)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐

标为 ?

1 ,求直线 l 倾斜角的取值范围。 2

y2 x2 c 2 2 解: (I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1,由已知c ? 2 2 ,又 ? a 3 a b
解得 a=3,所以 b=1,故所求方程为

y2 ? x 2 ? 1 ??????????4 分 9

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b( k≠ 0) 代入椭圆方程整理得

( k 2 ? 9) x 2 ? 2 kbx ? b 2 ? 9 ? 0 ?????????? 5 分
?? ? (2 kb) 2 ? 4( k 2 ? 9)(b 2 ? 9) ? 0 ? 由题意得 ? 2 kb ? ?1 ? x1 ? x 2 ? ? 2 k ?9 ?
解得

??????????7 分

k ? 3或k ? ? 3

又直线 l 与坐标轴不平行 ?????????

故直线 l 倾斜角的取值范围是

? ? ? 2? ( , ) ?( , ) 3 2 2 3

??????????12 分

3. “弦长型” 例 6.直线 y=kx+b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S. 4

(I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 例 6(I)解:设点 A 的坐标为( ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,

y

x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 由 4
B

A

O

x

所以 S ?

1 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2

当且仅当 b ?

2 时, .S 取到最大值 1. 2

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? ?4

(4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 ? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)
|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2



16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
? 2S ?1 | AB |
所以 b 2 ? k 2 ? 1



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b| 1? k
2



③代入②并整理,得 4k 4 ? 4k 2 ? 1 ? 0
2 解得, k ?

1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0 2 2

故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

【变式题 3】已知向量 m1 =(0,x) , n1 =(1,1) , m 2 =(x,0) , n2 =(y2,1) (其中 x, y 是实数) ,又设向量 m = m1 + 2 n2 , n = m 2 - 2 n1 ,且 m // n ,点 P(x,y)的轨迹 为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|= 例 10 解: (I)由已知, m

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

? (0, x) ? ( 2 y2 , 2), ? ( 2 y2 , x ? 2),

n ? ( x , 0? )

4分 ( 2 , ?2 x )? ( ? 2 ,????????????? 2 ).

m / /n ? , 2 y2 (? 2 )? x( ?

2x ) (?

2? ) 0 ?????????????? 5分

即所求曲线的方程是: x ? y 2 ? 1. ???????????7 分
2

2

? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).??????9 分 1 ? 2k 2 4k 4 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 | 2 3 1 ? 2k

解得 x1=0, x2=

解得 : k ? ?1. ????????????????????11 分

所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.??????????12 分
二. “基本性质型” 例 7.设双曲线 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双 a 2 b2

曲线 C1 上的任一点,引 QB ? PB, QA ? PA ,AQ 与 BQ 相交于点 Q。 (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2 , C1 、 C2 的离心率分别为 e1 、 e2 ,当 e1 ? 2 时,求 e2 的 取值范围。 例 7. 解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q( x, y) ∵ A(?a,0), B(a,0), QB ? PB, QA ? PA

y ? y0 ? x ? a x ? a ? ?1 x0 2 y0 2 y0 2 b2 y2 y2 ? 0 ? ? 1 ∴? ,∵ ,∴ , ? ? 20 2 2 ? 1 2 2 2 2 2 2 a b y x ? a a y x ? a x ? a 0 0 0 ? ? ?1 ? ? x0 ? a x ? a


y2 a2 ? ,化简得: a2 x2 ? b2 y 2 ? a4 , x 2 ? a 2 b2
2 2 2 2 4

经检验,点 (?a,0), (a,0) 不合题意,∴点 Q 的轨迹方程为 a x ? b y ? a , ( y ? 0)

x2 y 2 (2) 由(1)得 C2 的方程为 2 ? 4 ? 1 , a a b2

e2 2 ?

a2 ?

a4 2 2 1 b2 ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1? 2 , 2 2 2 2 a b c ?a e1 ? 1
2

∵ e1 ? 2 ,∴ e2 ? 1 ?

1 ? 2 ,∴1 ? e2 ? 2 。 ( 2)2 ? 1

2 2 例 8.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积;

(2)求 P 点的坐标. 例 8.[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82 ②,由①2-②得 t1t 2 ? 12



? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2 (2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 1 2 2
y?? 3 3 4

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3 ? y ? ? 3 3 ,将
4
4

代入椭圆方程解得 x ? ? 5 13 , ? P( 5 13 , 3 3 ) 或 P( 5 13 ,? 3 3 ) 或 P(? 5 13 , 3 3 ) 或
4
4 4
4 4

4

4

5 13 3 3 P( ? ,? ) 4 4

x2 y2 4 ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 【变式题 4】已知双曲线与椭圆 ? 3 49 24
[解析]:由椭圆

x2 y2 ? ?1? c ? 5. 49 24
4 ?b x2 y2 ?? ? 2 ? 1 ,则 ? a 3 2 ? a b 2 ? 2
2 ? ?a ? 9 故所求双曲线方程为 x 2 y 2 ?? 2 ? ?1 9 16 ? b ? 16 ? ?a ? b ? 25

设双曲线方程为

例 9. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线.
2 2 例 9 .解:当 k ? 0 时,曲线 y ? x ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线;

4

?

8 k

当 k ? 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;
2 2 当 0 ? k ? 2 时,曲线 x ? y ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆;

8 k

4

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k


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