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高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义


高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义
一、基础知识【理解去记】
1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在 定直线上

) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程, 若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2

参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?
(a>b>0)。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为:

y2 y2 ? ?1 a2 b2

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆:

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (± c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ? e 称为离心率,且 e ?

a2 a2 ,与右焦点对应的准线为 x ? ;定义中的比 c c

c ,由 c2+b2=a2 知 0<e<1. a
x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一 a2 b2

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.补充知识点: 几个常用结论: 1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为: 2)斜率为 k 的切线方程为 y ? k x ?

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b

a 2 k 2 ? b 2 ;3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

2ab 2 l? 2 。 a ? c 2 cos2 ?
6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

1

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan ?

y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 。 a b
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线:

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2

a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应 的左、右准线方程分别为 x ? ?

a2 a2 c k ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2+b2=c2 知 e>1。两条渐近线方程为 y ? ? x ,双 c c a a

x2 y2 x2 y2 曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 a b a b
9.补充知识点: 双曲线的常用结论, 1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 a2 b2

P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab 2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛 物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为 (

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 2 2

11.补充知识点 抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

p ; 2 2p 。 1 ? cos2 ?

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0);3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

二、直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识整理: 1.考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物线为载体较多。 多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤: 设线、设点, 联立、消元, 韦达、代入、化简。 第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b(或斜率不为零时,设 x=my+a) ; 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1,y1)B(x2,y2);
2

第三步:联立方程组 ?

? y ? kx ? b ,消去 y 得关于 x 的一元二次方程; ?f ( x , y) ? 0
?二次系数不为零 ? x 1 ? x 2 ? ,? ?x 1 ? x 2 ? ?? ? 0

第四步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 ?

第五步:把所要解决的问题转化为 x1+x2 、x1x2 ,然后代入、化简。 3.弦中点问题的特殊解法-----点差法:即若已知弦 AB 的中点为 M(xo,yo),先设两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2);分别 代入圆锥曲线的方程, f ( x 1 , y1 ) ? 0, f ( x 2 , y 2 ) ? 0 , 得 两式相减、 分解因式, 再将 x 1 ? x 2 ? 2x o , y1 ? y 2 ? 2y o 代 入其中,即可求出直线的斜率。
2 4.弦长公式: | AB |? 1 ? k | x 1 ? x 2 |?

(1 ? k 2 )[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4x 1 x 2 ] ( k 为弦 AB 所在直线的斜率)

三、高考真题练习:
1. 2012 高考真题新课标理 8】 【 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B
2

两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(



( A)
【答案】C

2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

2 2 【解析】设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) ,抛物线的准线为 x ? ?4 ,由 AB ? 4 3 ,则 y A ? 2 3 ,把坐

标 (?4,2 3 ) 代入双曲线方程得 m ? x ? y ? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线方程为 x ? y ? 4 ,即
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,所 4 4

以 a ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C.
2

2.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 a b 2


?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】C

【 解 析 】 因 为 ?F2 PF1 是 底 角 为 30? 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 F2 F1 ? F2 P ,

,因为

?PF1 F2 ? 30 0 ,所以 ?PF2 D ? 60 0 , ?DPF2 ? 30 0 ,所以 F2 D ?
所以

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2

3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 2 a 4 4

3.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到
3

该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 【答案】B B、 2 3

) C、 4 D、 2 5

2 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px ,则点 M (2, ? 2 p ) Q 焦点 ?

?p ? , 0 ? ,点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,? ?2 ?

p? ? ? 2 ? ? ? 4 P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2? ?
4.【2012 高考真题山东理 10】已知椭圆 C :

2

3 x2 y 2 2 2 .双曲线 x ? y ? 1 的渐近线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 2 2 a b

与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 8 2
【答案】D

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 6

x2 y 2 ? ?1 (C) 16 4

x2 y 2 ? ?1 (D) 20 5

【解析】因为椭圆的离心率为

3 c 3 3 3 1 ,所以 e ? ? , c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ,所以 b 2 ? a 2 ,即 2 a 2 4 4 4

a 2 ? 4b 2 , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ? ? x , 代 入 椭 圆 得

x2 x2 x2 x 2 5x 2 ? 2 ?1 , 即 ? 2 ? 2 ?1 , 所 以 a2 b 4b 2 b 4b

x2 ?

4 2 2 2 2 2 4 b ,x ? ? b , y 2 ? b2 , y ? ? b ,则第一象限的交点坐标为 ( b, b) ,所以四边形的面积为 5 5 5 5 5 5 b? 2 5 b? x2 y2 16 2 ? ? 1 ,选 D. b ? 16 ,所以 b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为 20 5 5

4?

2 5

5.【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : 程为

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方 a 2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【答案】A 【解析】设双曲线 C :

x2 y2 D. =1 20 80

x2 y2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a 2 b2

又?C 的渐近线为 y ? ?

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a
x2 y2 =1. 20 5
4

2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,?C 的方程为

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近 年来常考题型. 6.【2012 高考真题福建理 8】已知双曲线 其渐近线的距离等于 A.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 4 b2

5

B. 4 2

C.3

D.5

【答案】A. 【解析】由抛物线方程 y ? 12 x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知 4 ? b 2 ? 32 ,所以
2

b ? 5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?
7.【2012 高考真题四川理 15】椭圆

| ? 5 ?3 ? 2?0 | 5 ? 5 ,故选A. x ,即 ? 5 x ? 2 y ? 0 ,所以 d ? 2 5? 4

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周 4 3

长最大时, ?FAB 的面积是____________。 【答案】3 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、 ,考查推理论证能力、基本 运算能力,以及数形结合思想,难度适中. 【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 将 x ? 1 带入解得 y ? ?

3 1 3 ;所以 S?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2
2

8.【2012 高考真题重庆理 14】过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ? 则 AF = .

25 , AF ? BF , 12

【答案】

5 6
2

【解析】抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为 ( ,0) ,准线方程为 x ? ?

1 2

1 ,设 A,B 的坐标分别为的 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则 2

1 1 1 ? ?(m ? 2 )( n ? 2 ) ? 4 1 1 p 1 5 ? x1 x 2 ? ? ,设 AF ? m, BF ? n ,则 x1 ? m ? , x2 ? n ? ,所以有 ? , 解得 m ? 或 4 4 2 2 6 ?m ? n ? 25 ? 12 ?
2

n?

5 5 ,所以 AF ? . 4 6
2

9.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.

5

由 x 2 ? 2 y, 则y ?

1 2 x ,? y? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物线的 2

切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。

y2 x2 10.(2011 年高考全国卷理科 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: =1 的左、 右焦点, A∈C, M 的坐标为(2, 点 点 27 9
0),AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = 【答案】6 【解析】 ? F1 (?6,0), F2 (6,0) ,由角平分线的性质得 : 又 AF1 ? AF2 ? 2 ? 3 ? 6 .

AF1 AF2

?

F1M MF2

?

8 ?2 4

? AF2 ? 6

11. (2011 年高考四川卷理科 14)双曲线

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离是 64 36
答案:16

.

解析:由双曲线第一定义,|PF1|-|PF2|=±16,因|PF2|=4,故|PF1|=20, (|PF1|=-12 舍去) ,设 P 到左准线的距离是 d,由第二定义,得

20 10 ? ,解得 d ? 16 . d 8

x2 y2 ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为————— 12.(2011 年高考湖南卷理科 5)设双曲线 2 ? 9 a
— 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ?

3 x ,故可知 a ? 2 。 a
x2 y 2 1 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到 2 a b 2

13.【2012 高考真题浙江理 21】(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:

点 P(2 , 1) 的 距 离 为 10 . 不 过 原 点 O 的 直 线 l 与 C 相 交 于 A , B 两 点 , 且 线 段 AB 被 直 线 OP 平

分.
6

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求 解能力。 【答案】(Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y 2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为: d ?
1 1 m2 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



当|m+2|= 4 ?

1 m2 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 3 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2 14.【2012 高考真题广东理 20】 (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 C 上的点到 Q(0,2) 2 3 a b
7

的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 解: (1)由 e ?

  2  c 可得 ? 3 a
2

2 2 2 2 2 2 2 ,因为 a ? b ? c ,所以 a 2 ? b 2 ? a 2 ,即 a ? 3b 3 3
2 2

所以椭圆 C 的方程为: x ? 3 y ? 3b

设椭圆 C 上的一动点 P( x, y ) , ?b ? y ? b 则 PQ ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 3b 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?2 y 2 ? 4 y ? 3b 2 ? 4 ? ?2( y ? 1) 2 ? 3b 2 ? 6

① 若 b ? 1 ,当 y ? ?1 时, PQ   ? max ② 若 0 ? b ? 1 , PQ ?

3b 2 ? 6 ? 3 ,解得 b ? 1

?2(?b ? 1) 2 ? 3b 2 ? 6 ? b 2 ? 4b ? 4 ? b ? 2 ? 3

x2 ? y2 ? 1 综合①②, b ? 1,所以椭圆 C 的方程为 3
(2)假设在椭圆 C 上,存在点 M (m, n) 满足题意,则 m ? 3n ? 3
2 2

在△ OAB 中, OA ? OB ? 1 , S?OAB ? 所以当 ?AOB ?

?
2

1 1 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? sin ?AOB 2 2

时, S ?OAB 有最大值

1 , 2

此时,点 O 到直线 AB 的距离 d ? 即

2 2

1 m2 ? n2
2 2

?

2 2 2 ,m ?n ? 2 2

? 2 3 ?m ? 2 ? m ? 3n ? 3 ? ? ?? , ? 2 2 ?m ? n ? 2 ? ?n2 ? 1 ? ? 2
所以在椭圆 C 上存在点 M (? 大,最大值为

6 2 ,? ) ,使得直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A 、 B ,且△ OAB 的面积最 2 2

1 2
2

15.【2012 高考真题新课标理 20】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,
8

求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【答案】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
1 S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2
圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 2

(2)由对称性设 A( x0 ,

2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B (? x0 , p ?

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 得: A( 3 p, ) ,直线 m : y ? 2 2 2 3p
x 2 ? 2 py ? y ? x2 x 3 3 3p p ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ) 2p p 3 3 3 6

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3. 2 6
2 2

坐标原点到 m, n 距离的比值为

16.【2012 高考真题上海理 22】 (4+6+6=16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 . (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证: OP ? OQ ;
2 2

(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 ,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求证: O 到直线 MN 的
2 2

距离是定值. 【答案】

过点 A 与渐近线 y ?

? 2? 2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ? x ? ? , 即y ? 2 x ? 1. ? 2 ? ? ?

9

ON ? 1 , OM ?

2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

设 O 到直线 MN 的距离为 d .

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关 性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为 2 ,它的渐 近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .

10


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