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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第三节平面向量的数量积 理


第三节 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的 垂直关系. 知识梳理 一、平面向量的数量积的定义 → → 1.向量 a,b 的夹角:已知两个非零向量 a,b,过 O 点作OA=a,OB=

b,则∠AOB= θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量 a,b 的夹角. 当且仅当两个非零向量 a, b 同方向时,θ =0°,当且仅当 a,b 反方向时,θ =180°, 同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的. 2.a 与 b 垂直:如果 a,b 的夹角为 90°,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 3.a 与 b 的数量积:两个非零向量 a,b,它们的夹角为 θ ,则|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ ,规定 0?a=0,非零向量 a 与 b 当且仅当 a⊥b 时,θ =90°,这时 a?b=0. ? a?b? 4.b 在 a 方向上的投影:|OP|=|b|cos θ ?= |a| ?∈R(注意|OP|是射影). ? ? 5.a?b 的几何意义:a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积. 二、平面向量数量积的性质 设 a,b 是两个非零向量,e 是单位向量,于是有: 第 1 页 共 4 页 1.e?a=a?e=|a|cos θ . 2.a⊥b?a?b=0. 3.当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|,特别地, a?a=a2=|a|2,即|a|= a2. a?b 4.cos θ = . |a||b| 5.|a?b|≤|a||b|. 三、平面向量数量积的运算律 1.交换律成立:a?b=b?a. 2.对实数的结合律成立:(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(λ ∈R). 3.分配律成立:(a±b)?c=a?c±b?c=c?(a±b). 四、平面向量数量积的坐标表示 1.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=x1x2+y1y2. 2 2 2 2 2 2.若 a=(x,y),则|a| =a?a=x +y ,|a|= x +y . 2 2 3.若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → = (x2-x1) +(y2-y1) . |AB| 4.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 5.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 6.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 cos θ = x1 x2 + y1 y2 . 2 x + y2 x2 1 2 + y2 2 1 基础自测 1. (2013?辽宁卷)已知点 A(1,3), B(4, -1), 则与向量 AB 同方向的单位向量为( 3 4 4 3 ? ? ? ? A.? ,- ? B.? ,- ? 5? 5? ?5 ?5 ? 3 4? ? 4 3? C.?- , ? D.?- , ? ? 5 5? ? 5 5? ) → AB → → → → 解析:AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),∴与AB同方向的单位向量为 = → |AB| ?3,-4?.故选 A. ?5 5? ? ? 答案:A 2.(2013?佛山一模)已

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