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均值不等式教案 -公开课


均值不等式
一、目的要求: 系统复习均值不等式,熟练使用 a2+b2?2ab 和 a ? b ? 2 ab ,使学生领会其 中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.,特别是“≥”或“≤”中取 “=”号的充要条件,掌握相关配凑的技巧,并培养学生的探究精神。 二、教学重点 运用均值不等式求最值,在运用 a ? b ? 2 ab 中要注意“一正”、“二定”、 “三相等”. 三.教学难点

a ? b ? 2 ab 的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤” 中“=”成立的条件。 四.教学过程 一、均值不等式:
均值定理:如果 a, b ? R ? , 那么_______________________ (当且仅当_______时取等号) 证明:

定理说明: a?b 1、称 为正数 a, b 的______________称 ab 为正数 a, b 的___________因 2 此定理又叙述为:________________________________________ 2、几种变形: (1) a ? b ? 2 ab (_______________) (_______________) (_______________)

?a?b? (2) ? ? ? ab ? 2 ?
(3) a 2 ? b 2 ? 2ab

2

3. 均值不等式的运用----放缩功能: 和定积最大,积定和最小二) 、例题解析 例 1 若x ?
5 1 求 y=4x-2+ 4 4x ? 5

的最小值

(配凑均值不等式成立的条件:“一正”、“二定”)

例 2.设 f (x) ?

50 x 1? x

(1)求当 x ? (0,??) 时的最大值 (2)求当 x ? ?2,??? 时的最大值 (用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的充要条件,即“三相等”,当 等号不成立时可用函数的单调性求最值。 ) 例 3 若 x>0 y>0 且
1 9 + =1 x y

求 x+y 的最小值

(在运用 a ? b ? 2 ab 中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值,则要考虑多次“≥” (或者“≤” )中取“=” 成立的诸条件的一致性。 ) 例 4、 求函数f ?x ? ?
? 2x 2 ? x ? 3 ?x ? 0?的最大值,以及此时x的值. x

变式: 求函数f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? 3 ?x ? 0?的最小值及取得最小值 x的值. 时 x

(三)课堂练习选做 1 当 x ? (0 1 )时,求 f (x) ?
1 x?3
1 的最大值 1 ? x(1 ? 2 x)

2 求 y= x ? 3 + 3 求 y=

的最小值

x?8 (x>1)的最小值 x ?1

(四)课堂小结:

1.熟练使用不等式 2 ? b2 ? 2ab和a ? b ? 2 ab a . 2.注意使用a ? b ? 2 ab的条件.
3.注意取等号的条件. 4.灵活变换“ ”. 1

5.用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的充要条件,特别地,如 果多次运用均值不等式求最值,则要考虑多次“≥” (或者“≤” )中取“=” 成立的诸条件是否相容。 (五)课后作业: 1. 若 x2 +ax+1≥0 对一切 x ? (0 2.若 a>0 3.若 x>0
1 ]成立求 a 的最小值 2 b>0 且 ab=a+b+3 求 ab 的取值范围

y>0 且 x+y=1 求 2x ? 1 +

2 y ? 1 最大值

(六)板书设计

知识归纳

例题解析

练习

(七)教学反思:


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