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含参导数问题


由参数引起的血案—— 含参导数问题
一、已知两个函数 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k , g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 x ,按以下条件求 k 的范围。
2 3 2

(1)对于任意的 x ?[?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立。 (构造新函数,恒成立问题)

(2)

若存在 x0 ? [?3,3],使得f ( x0 ) ? g ( x0 )成立。

(与恒成立问题区别看待)

(3)若对于任意的 x1、x2 ? [?3,3],都有f ( x1 ) ? g ( x2 ).

(注意 x1 , x2 可以不是同一个 x)

(4)对于任意的 x1 ? [?3,3],总存在x0 ? [?3,3], 使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) 。 数的值域取决于:谁的 x 是任意取的,谁的 x 是总存在的。 )

(注意:哪个函数的值域含于哪个函

(5)若对于任意 x0 ? ? ?3,3? ,总存在相应的 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,使得 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ? g ( x2 ) 成立; (与(4)相同) 二、已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 2 x ? (1 ? a) x , a ? R 2
,

(1)函数 f(x)在区间(2,﹢∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是

(2)函数 f(x)在区间(2,3)上单调,则实数 a 的取值范围是

.

三、设函数 f ( x) ? 3x ? ax3 ( a ? R ),若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

四、含参数导数问题的三个基本讨论点
一、 求导后, 考虑导函数为零是否有实根 (或导函数的分子能否分解因式) , 从而引起讨论。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,从而引起讨论。 三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落 在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 1 例 1、设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2ax2 ? 3a 2 x ? a(a ? R) .求函数 f ( x) 的单调区间和极值; 3 (可因式分解,比较两根大小,注意别丢两根相等情况)
解: f ?( x) ? ? x ? 4ax-3a ? ?( x ? a)( x ? 3a) ……………………………5 分
2 2

a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , (??, ?) 是函数的单调减区间;无极值;……………6 分 a ? 0 时,在区间 (??, a),(3a, ?) 上, f ?( x) ? 0 ; 在区间 (a,3a) 上, f ?( x) ? 0 ,
因此 (??, a),(3a, ?) 是函数的单调减区间, (a,3a) 是函数的单调增区间, 函数的极大值是 f (3a) ? a ;函数的极小值是 f (a) ? a ?

4 3 a ;………………8 分 3

a ? 0 时,在区间 (??,3a),(a, ?) 上, f ?( x) ? 0 ; 在区间 (3a, a) 上, f ?( x) ? 0 ,
因此 (??,3a),(a, ?) 是函数的单调减区间, (3a, a) 是函数的单调增区间 函数的极大值是 f (a) ? a ?
2

4 3 a ,函数的极小值是 f (3a) ? a 3

………………10 分

例 1 变式.若 f '( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ,若 x ? (0, ??) ,讨论 f ( x) 的单调性。 (比较根大小,考虑定义域)

例 2、已知 a 是实数,函数 f ? x ? ?

x ? x ? a? 。 (不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起

讨论)
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (主要看第一问,第二问选看) (Ⅱ)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最小值。 ( i )写出 g ? a ? 的表达式; ( ii )求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

a? ? 3? x ? ? x ? a 3x ? a 3? ' 解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? x ? ? x ? ? ? ? ? x ? 0 ? ,由 f ' ( x ) ? 0 得 2 x 2 x 2 x

a 。 3 a ' 考虑 是否落在导函数 f ( x) 的定义域 ? 0, ?? ? 内,需对参数 a 的取值分 a ? 0 及 a ? 0 两种情况进行讨论。 3 x?
' (1) 当 a ? 0 时,则 f ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? 。

(2) 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ?
'

a a ' ;由 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 。 3 3
? a? ? ?

因此,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, ? , f ? x ? 的单调递增区间为 ? , ?? ? 。 3 3 ① 当

?a ?

? ?

a ? a? ?a ? ? ? 0, 2 ? ,即 0 ? a ? 6 时, f ? x ? 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递增, 3 ? 3? ?3 ?
2a a 2a 3a ?a? ?? 。 ??? 3 3 9 ?3?

所以 g ? a ? ? f ? ② 当

a ? ? 2, ?? ? ,即 a ? 6 时, f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递减,所以 g ? a ? ? f ? 2 ? ? 2 ? 2 ? a ? 。 3

?0, a?0 ? ? 2a a g a ? ,0 ? a ? 6 ? ? ?? 综上所述, 3 3 ? ? 2 ? 2 ? a ? , a ?~ 6 ?
( ii )令 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。 ①若 a ? 0 ,无解; ②若 0 ? a ? 6 ,由 ?6 ? ? ③ 若 a ? 6 ,由 ?6 ?

2a a ? ?2 解得 3 ? a ? 6 ; 3 3

2 ? 2 ? a ? ? ?2 解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 。

综上所述, a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 。 例 3 已知函数 f ? x ? ?

2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? 其中 a ? R 。当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 x2 ? 1
2 2

1? ? ? 2 a x ? a x ? ? ? ? ? 2a ? x ? 1? ? 2 x ? 2ax ? a ? 1? a? ? ' ? 解:由于 a ? 0 ,所以 f ? x ? ? 。 2 2 2 2 x ? 1 x ? 1 ? ? ? ?
由f

1 , x2 ? a 。这两个实根都在定义域 R 内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数 a a 的取值分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论。
'

? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?

(1)

当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 ? ??, ?

? ?

1? ? 1 ? ? , ? a, ?? ? 内为减函数,在区间 ? ? , a ? 为增函 a? ? a ?

数。故函数 f ? x ? 在 x1 ? ? (2)

1 处取得极小值 a

? 1? f ? ? ? ? ? a 2 ;函数 f ? x ? 在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1 。 ? a?

当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 (??, a ) ,(?

1 1 ,??) 内为增函数,在区间 ( a,? ) 为减函数。 a a

故函数 f ? x ? 在 x1 ? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ? ? ? ? ? a 2 ;函数 f ? x ? 在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1 。 ? a?
2

例 4、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1。

(I)

讨论函数 f ( x) 的单调性;

(*第二问选做*)

(II) 设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围。 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为(0,+∞). f '( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a ? 0 时, f '( x) >0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调减少; 当-1< a <0 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

a ?1 . 2a

则当 x ? (0, ?

a ?1 a ?1 ) 时, f '( x) >0; x ? ( ? , ??) 时, f '( x) <0. 2a 2a a ?1 a ?1 ) 单调增加,在 ( ? , ??) 单调减少. 2a 2a

故 f ( x) 在 (0, ?

(Ⅱ)不妨假设 x1 ? x2 ,而 a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而

?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2
等 价 于

?x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1

① 令 g ( x) ?

f (? x)

, 4 x则

g ' ( x ?)

a ?1 ? x

g ( x) 在(0,+∞)单调减少,即 a 2 x ?①等价于 4

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 . x

从而 a ?

?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 ? ? ? 2 故 a 的取值范围为(-∞,-2]. 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

例 5、已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

x 2 x ( k ≥0)。 2

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程;(Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 解: (I)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , f '( x) ?
2

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?

3 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2

3 即 y ? ln 2 ? ( x ? 1) 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 2 x(kx ? k ? 1) (II) f '( x) ? , x ? (?1, ??) . 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? . 所以,在区间 (?1,0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 1? x
故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

x(kx ? k ? 1) 1? k ?0 ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? k 1? x 1? k 1? k 所以,在区间 (?1,0) 和 ( ) 上, f '( x) ? 0 , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, k k 1? k 1? k 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1,0) 和 ( ). , ??) ,单调递减区间是 (0, k k
当 0 ? k ? 1时,由 f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, ??) . 1? x

x(kx ? k ? 1) 1? k ? (?1, 0) , x2 ? 0 . ? 0 ,得 x1 ? k 1? x 1? k 1? k 所以没在区间 (?1, ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 0) 上, f '( x) ? 0 k k 1? k 1? k 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) k k
参数讨论流程:1.一般先去求两根,最好是将导函数因式分解,方便直接看出根。有时甚至要考虑导函数等于零 是否有根,如二次函数判别式小于零时就没根。 2.两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小(别忽略了二次函数两根相等情况) 。 3.如果原函数有定义域,或者参数有自己的取值范围,必须对这些进行考虑。 4.如果二次函数的二项式系数有参数,必须考虑二次函数的开口方向,也要小心系数为零的情况。 易错点归类:1.复合函数求导反复检查保证无误。 2.没有考虑原函数的定义域。 3.没有考虑题干中参数的取值范围。 3.把原函数图象和导函数图象弄混。 4.写结论的时候,用并集去写单调区间.


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