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《1.2.1 常数函数与幂函数的导数(2)》教学案1


《1.2.1 常数函数与幂函数的导数(2) 》教学案 1 教学目标: 1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y? 1 的导数公式; x 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 教学重点:四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 教学难点: 教学过程: 一.创设情景 1 的导数公式及应用 x 2 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ? 1 的导数公式 x 我们知道, 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率, 物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦, 有时甚至很困难, 为了能够较快地求出某些函 数的导数, 这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法, 下面我们求几个常用的函数的导 数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为 所以 y? ? lim ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0 函数 导数 y?c y? ? 0 y? ? 0 表示函数 y ? c 图像(图 3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示 路程关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静 止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x 所以 y? ? lim ?y ? lim 1 ? 1 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 函数 导数 y?x y? ? 1 y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像(图 3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示 路程关于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 3.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0 函数 导数 所以 y? ? lim y ? x2 y? ? 2 x y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随 着 x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, 2 表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增 加,函数 y ? x 增加得越来越快.若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释 2 2 为某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x) ? 1 的导数 x 1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ?

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