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2014年有详解高一数学典型例题分析:指数函数


指数函数·例题解析 【例 1】求下列函数的定义域与值域: 1 (1)y=3 2? x 解 (2)y= 2 x?2 ? 1 (3)y= 3 ? 3x?1 (1)定义域为 x∈R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1. (2)由 2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0. (3)由 3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3, ∴

值域是0≤y< 3. 【例 2】指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图像如图 2.6-2 所示,则 a、 b、c、d、1 之间的大小关系是 [ A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b ] 解 选(c),在 x 轴上任取一点(x,0),则得 b<a<1<d<c. 【例 3】比较大小: (1) 2 、 3 2 、5 4 、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 ? 4 5 1 3 ?2 ( ) 2 . (3)4.54.1________3.73.6 1 1 2 3 4 解 (1) ∵ 2 ? 2 2 , 3 2 ? 2 3 ,5 4 ? 2 5 ,8 8 ? 2 8 , 9 16 ? 2 9 , 函数y= 2 x , 2 >1,该函数在 ( -∞,+∞ ) 上是增函数, 1 3 2 4 1 又 < < < < ,∴ 3 2 <8 8<5 4 < 9 16< 2 . 3 8 5 9 2 -1- 4 3 ?1 ? 解 (2) ∵ 0.6 5 >1,1> ( ) 2 , 2 4 1 3 ? ? ∴ 0.6 5 > ( ) 2 . 2 解 (3)借助数 4.53.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数 y1 =4.5x,y2=3.7x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的 单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有 两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新 的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点, 即为 4.53.6(或 3.74.1), 如例 2 中的(3). 【例4】比较大小 n ?1 a n 与 n a n ?1 (a> 0且a≠1,n>1) . n ?1 解 an n a n ?1 ?a 1 n ( n ?1) 当 0<a<1,∵n>1, 1 1 > 0, n( n ? 1) ∴a n ( n ?1) <1,∴ n ?1 a n < n a n ?1 1 当a>1时,∵n>1, > 0, n( n ? 1) ∴a 1 n ( n ?1) >1, n ?1 a n > n a n ?1 (2)y= 2 x - 2 , (4)y=|1- 【例 5】作出下列函数的图像: 1 (1)y= ( ) x ?1 2 (3)y=2|x-1| -2- 3x| 1 1 解 (1)y=( ) x ?1 的图像( 如图2 .6-4) ,过点(0, ) 及( -1,1) . 2 2 1 是把函数y=( ) x 的图像向左平移1个单位得到的. 2 解 得到的. (2)y=2x-2 的图像(如图 2. 6-5)是把函数 y=2x 的图像向下平移 2 个单位 解 (3)利用翻折变换,先作 y=2|

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