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1981-2012全国高中数学联赛试题及详细解析全套


1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲: 1+sinθ=a. θ θ 条件乙:sin +cos =a. 2 2 A.甲是乙的充分必

要条件 C.甲是乙的充分条件 B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件

⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?, BC?,CB?,AC,BD,A?C?, B?D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N, M 是由 y?0, y?x 和 y?2-x 这三个不等式确定, N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t?x?t+1 确定,t 的取值范围是 0?t?1 ,设 M 和 N 的 公共面积是函数 f(t),则 f(t)为 1 A.-t2+t+ 2 B.-2t2+2t 1 C.1- t2 2 1 D. (t-2)2 2
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⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 C.仅当 p2-4q?0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6a-3b-2 7 2(a +c) 1.5 3a-b+c 8 3 -3a- 3c 2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b 3 2a-b 14 1-a+2b 5 a+c

3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分 别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2.

5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF,一个球从 AB 的中点 P 击出, 击中 BC 边上的某点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一 点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围 . 提示:利用入射角等于反射角的原理.

1981 年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答
1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 【答案】B 【解析】乙?甲,但甲?乙,故选 B.

⑶ 设 α≠

kπ sinα+tanα (k≠0,±1,±2,??),T= . 2 cosα+cotα B.T 取非负值 C.T 取正值 D.T 取值可正可

A.T 取负 值 负 【答案】C

sin2α(cosα+1) 【解析】T= 2 >0,选 C. cos α(sinα+1)

⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?, BC?,CB?,AC,BD,A?C?,B? D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 【答案】A 【解析】每条面上的对角线都与 5 条面上的对角线异面.故共有 5?12÷2=30 对.选 A.

⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N, M 是由 y?0, y?x 和 y?2-x 这三个不等式确定, N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t?x?t+1 确定,t 的取值范围是 0?t?1 ,设 M 和 N 的 公共面积是函数 f(t),则 f(t)为

⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 2 C.仅当 p -4q?0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 【答案】C,D 【解析】画出 y=x|x|及 y=-px-q 的图象:知 A、B 正确,C、D 错误.选 C、D.
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2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6 a-3b-2
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1.5 3a-b+c 8 3-3a-3c

2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b

3 2a-b 14 1-a+2b

5 a+c

7 2(a+c)

3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2.

4.(本题 15 分)组装甲、乙、丙三种产品,需用 A、B、C 三种零件.每件甲需用 A、B 各 2 个;每件乙需用 B、C 各 1 个; 每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C.用库存的 A、B、C 三种 零件,如组装成 p 件甲产品、q 件乙产品和 r 件丙产品,则剩下 2 个 A 和 1 个 B,但 C 恰好 用完.试证:无论怎样改变甲、乙、两产品的件数,也不能把库存的 A、B、C 三种零件都 恰好用完.

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5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF ,一个球从 AB 的中点 P 击出, 击中 BC 边上的某点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一 点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围. 提 示:利用入射角等于反射角的原理.

1.选择题(本题 48 分,每一小题答对者得 6 分,答错者得 0 分,不答者得 1 分) : ⑴ 如果凸 n 边形 F(n?4)的所有对角线都相等,那么 A.F∈{四边形} B.F∈{五边形} C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多 边形} 1 ⑵ 极坐标方程 ρ= 所确定的曲线是 1-cosθ +sinθ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
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⑺ 设 M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么 A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M C.M∪N=N D.M∪N={(x ,y)| |xy|=1,且 x,y 不同时 为负数} ⑻ 当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 1 1 1 2 a+b 2 2 甲:(a+ )(b+ ), 乙:( ab+ ), 丙:( + ) a b 2 a+b ab 中间,值最大的一个是 A.必定是甲 C.必定是丙 B.必定是乙 D.一般并不确定,而与 a、b 的取值有关

2.(本题 16 分)已知四面体 SABC 中, π π π ∠ASB= ,∠ASC=α(0<α< ),∠BSC=β(0<β< ). 2 2 2 以 SC 为棱的二面角的平面角为 θ. 求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ). 3.(本题 16 分)已知:⑴ 半圆的直径 AB 长为 2r;⑵ 半圆外的直线 l 与 BA 的延长线 垂直,垂足为 T,|AT|=2a(2a<

r );⑶ 半圆上有相异两点 M、N,它们与直线 l 的距离|MP|、 2

|NQ|满足条件 |MP| |NQ| = =1. |AM| |AN| 求证:|AM|+|AN|=|AB|.

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1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答
1.选择题(本题 48 分,每一小题答对者得 6 分,答错者得 0 分,不答者得 1 分): ⑴ 如果凸 n 边形 F(n?4)的所有对角线都相等,那么 A.F∈{四边形} B.F∈{五边形} C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多 边形} 【答案】C 【解析】由正方形及正五边形知 A、B 均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知 D 错,选 C.
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=

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⑷ 由方程|x-1|+|y-1|=1 确定 的曲线所围成的图形的面积是 A.1 B.2 C.π D.4 【答案】B 【解析】此曲线的图形是一个正方 形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积 为 2.选 B.

⑹ 已知 x1,x2 是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k 为实数 )的两个实数根,x12+x22 的最

大值是 A.19 B.18 C. 5 5 9 D.不存在

⑺ 设 M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么 A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M C.M∪N=N D.M∪N={(x,y)| |xy|=1,且 x,y 不同时为 负数}

⑻ 当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 1 1 1 2 a+b 2 2 甲:(a+ )(b+ ), 乙:( ab+ ), 丙:( + ) a b 2 a+b ab 中间,值最大的一个是 A.必定是甲 B.必定是乙 C.必定是丙 D.一般并不确定,而与 a、b 的取值有关 【答案】D 【解析】甲>乙,但甲、丙大小不确定.故选 D. π π π 2. (本题 16 分)已知四面体 SABC 中, ∠ASB= , ∠ASC=α(0<α< ), ∠BSC=β(0<β< ). 2 2 2 以 SC 为棱的二面角的平面角为 θ. 求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ). 【解析】证明:在 SC 上取点 D,使 SD=1,在面 SAC、SBC 内分别作 DE⊥SC, DF⊥SC,分别交 SA、SB 于 E、F,连 EF.则∠EDF 为二面角 A—SC—B 的平面 角.即∠EDF=θ. 由∠BSC=β,知 SF=secβ,DF=tanβ.由∠ASC=α,得 SE=secα,DE=tanα. 由∠ASB=
2

S D E A F C

?
2

,得 EF2=SE2+SF2= DE2+DF2-2DE? DFcosθ.
2 2 2

B

∴ sec α+sec β=tan α+tan β-2tanαtanβcosθ.?cosθ=-cotαcotβ. ∴ θ=-arc(cotαcotβ). 3.(本题 16 分)已知:⑴ 半圆的直径 AB 长为 2r;⑵ 半圆外的直线 l 与 BA 的延长线

垂直,垂足为 T,|AT|= 2a(2a< |NQ|满足条件

r );⑶ 半圆上有相异两点 M、N,它们与直线 l 的距离|MP|、 2

|MP| |NQ| = =1. |AM| |AN| 求证:|AM|+|AN|=|AB|.

4.(本题 20 分)已知边长为 4 的正三角形 ABC.D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点, 且|AE|=|BF|=|CD|=1,连结 AD、BE、CF,交成△RQS.点 P 在△RQS 内及边上移动,点 P 到△ABC 三边的距离分别记作 x、y、z. ⑴ 求证当点 P 在△RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值; A ⑵ 求上述乘积 xyz 的极小值. E 【解析】 利用面积, 易证: ⑴ 当点 P 在△ABC 内部及边上移动时, x+y+z S 为定值 h=2 3; z y H G l ⑵过 P 作 BC 的 平行线 l,交△ABC 的两边于 G、H.当点 P 在线段 P F x R Q GH 上移动时,y+z 为定值,从而 x 为定值. B C D ⑶设 y∈[α,β],m 为定值.则函数 u=y(m-y)在点 y=α 或 y=β 时取得 极小值. A 于是可知,过 R 作 AB、AC 的平行线,过 Q 作 AB、BC 的平行线,过 S 作 BC、AC 的平行线,这 6 条平行线交得六边形 STRUQV, 由上证,易得只 TS E 有当点 P 在此六点上时,xyz 取得极小值.由对称性易知,xyz 的值在此六点 l 处相等. F V R EA CD BS BS 12 12 3 9 SE 1 3 Q U 由 · · =1,得 = ,x= ·h= h,y= h= h,z= h. B C AC DB SE BE 13 13 4 13 BE 13 13 D 3 648 ∴ xyz=( )3h3= 3. 13 2197

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5.(本题 20 分)已知圆 x2+y2=r2(r 为奇数),交 x 轴于点 A(r,0)、B(-r,0),交 y 轴于 C(0,-r)、D(0,r).P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn(p、q 都是质数,m、n 都是正整 数),且 u>v.点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 M、N. 求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2.

第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) 3 3 ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p -q 是偶数 ;条件乙:p+q 是偶数 .那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙 的必要条件

⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,

P= ab+ cd,Q= ma+nc? A.P?Q C.P<Q
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b d + ,那么 m n B.P?Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大

小有关. ⑺ 在正方形 ABCD 所在平面上有点 P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 都是等腰三角 形,那么具有这样性质的点 P 的个数有 A.9 个 B.17 个 C.1 个 D.5 个 ⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为 l、R 与 r,那么

A.l>R+r


B.l?R+r

l C. <R+r<6l
6

D.A、B、C 三种关系都不

2.填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分) 3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13



⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样两个 多面体的内切球半径之比是一个既约分数 ,那么积 m? n 是

m n



第二试 1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx=

?
2

,其中 x∈[-1,1]

2.(本题满分 16 分)函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的 1 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2

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5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos x+2sinxcosx-sin x+Ax+B| 3 在 0?x? π 上的最大值 M 与参数 A、B 有关,问 A、B 取什么值时,M 为最小?证明你的 2 结论.

2

2

1983 年全国高中数学联赛解答

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第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) 3 3 ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p -q 是偶数;条件乙:p+q 是偶数.那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙 的必要条件

⑵ x=

1 + 的值是属于区间 1 1 log1 log1 23 53

1

A.(-2,-1)

B.(1,2)

C.(-3,-2)

D.(2,3)

【答案】D 【解析】x=log32+log35=log310∈(2,3),选 D.
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⑷ 已知 M={(x,y)|y?x },N={(x,y) |x + ( y-a) ?1}.那么,使 M∩N=N 成立的充 要条件是 1 1 A.a?1 B.a=1 C.a?1 D.0<a<1 4 4 【答案】A 2 2 2 【解析】M∩N=N 的充要条件是圆 x +(y-a) ?1 在抛物线 y=x 内部(上方).即 a?1, 且方程 1 y2-(2a-1)y+a2-1=0 的△=(2a-1)2-4(a2-1)?0,?a?1 ,选 A. 4 ⑸ 已知函数 f(x)=ax -c,满足 -4?f (1)?-1,-1?f(2)?5. 那么,f(3)应满足
2

2

2

2

A.7?f(3)?26

B.-4? f(3)?15

C.-1?f(3)?20

D.- ?f(3)?

28 3

35 3

⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,

P= ab+ cd,Q= ma+nc? A.P?Q C.P<Q

b d + ,那么 m n B.P?Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大

小有关. 【答案】B 【解析】由柯西不等式,Q?P.选 B.

2.填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分) 3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13 【答案】



16 65

4 12 4 5 【解析】cosA=± ,sinB= ,但若 cosA=- ,则 A>135°,cosB= <cos60°,B>60°, 5 13 5 13 4 5 4 3 12 16 矛盾.故 cosA= .∴ cosC=cos(π -A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=- ? + ? = . 5 13 5 5 13 65

⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. 【答案】36 【解析】设另两边为 x ,y,且 x?y.则得 x?y?11,x+y>11,在直角坐标系内作直 线 y=x, y=11, x=11, x+y=11, 则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数. (含 2 y=11,y=x 上的整点,不含 x+y=11 上的整点)共有 12 ÷4=36 个.即填 36. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样两个 多面体的内切球半径之比是一个既约分数 ,那么积 m? n 是

m n



第二试 1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx= π ,其中 x∈[-1,1] 2

【解析】证明:由于 x∈[-1,1],故 arcsinx 与 arccosx 有意义, π π π sin( -arccosx)=cos(arccosx)=x, 由于 arccosx∈[0, π ], ∴ -arccosx∈[- , 2 2 2 π ]. 2 故根据反正弦定义,有 arcsinx= π -arccosx.故证. 2

2.(本题满分 16 分)函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的 1 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2 1 1 【解析】证明:不妨取 0?x1<x2?1,若|x1-x2|? ,则必有|f(x1)-f(x2)|<|x1- x2|< . 2 2 1 1 1 1 若|x1-x2| > ,则 x2-x1> ,于是 1-(x2-x1)< ,即 1-x2+x1-0< . 2 2 2 2 而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)-f(1))|?|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1 -0|+|1-x2| 1 =1-x2+x1-0< .故证. 2

3.(本题满分 16 分) 在四边形 ABCD 中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC 的面积比是 3∶4∶1, 点 M、N 分别在 AC、CD 上满足 AM∶AC=CN∶CD,并且 B、M、N 三点共线.求证:M 与 N 分别 是 AC 与 CD 的中点.

4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大体 积是多少?证明你的结论.

5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos x+2sinxcosx-sin x+Ax+B| 3 在 0?x? π 上的最大值 M 与参数 A、B 有关,问 A、B 取什么值时,M 为最 小?证明 2 你的结论.

2

2

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第一试 1.选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分) - ⑴ 集合 S={ Z |argZ=α ,α 为常数}在复平面上的图形是(
2

)

A.射线 argZ=2α

B.射线 argZ=-2α

C.射线 argZ=α

D.上述答案
)
y
y 2 =x x=1 y 2 =x

都不对 2 ⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy )>0 的是(
y
1
x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

y
1

x=1

1

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.

⑶ 对所有满足 1?n?m?5 的 m,n,极坐标方程 ρ = 数是( ) A.15

1 1-Cn mcosθ

表示的不同双曲线条

B.10

C.7

D.6

⑺ 若动点 P(x,y)以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 ,则点 Q(-2xy,y -x )的运动方 式是 A.以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动 B.以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 C.以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 D.以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动 ⑻ 若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则 函数 F(x)在其定义域 上 A.是增函数但无最大值 B.是增函数且有最大值 C.不是增函数但无最大值 D.不是增函数但有最大值
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2

2

2.填充题(本题满分 10 分,每小题 5 分) ⑴ 如图,AB 是单位圆的直径,在 AB 上任取一点 D,作 DC ⊥ AB ,交圆周于 C ,若点 D 的坐标为 D(x , 0) ,则当 x ∈ 时,线段 AD、BD、CD 可以构成锐角三角形.
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y
1 A C B

x ⑵ 方程 cos =cosx 的通解是
4 24π )内不相同的解有 个.

,在(0,

O D 1

x

2.(本题 满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 θ ,它们的公垂线 AA ?的长度 为 d, 在直线 a、 b 上分别取点 E、F,设 A?E=m,AF=n,求 EF(A?在直线 a 上,A 在直线 b 上).
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[来

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3.(本题满分 15 分)如图,在△ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA,若 S 4 (SXY?Z 表示多边形 XY?Z 的面积). △ABC=1,证明:S△BPF、S△PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于 9

4. (本题 满分 15 分) 设 an 是 1 +2 +3 +?+n 的个位数字,n =1, 2, 3?, 试证: 0.a1a2?an? 是有理数.

2

2

2

2

2 x2 xn- 1 n 5.(本题满分 15 分) 设 x1,x2,?,xn 都是正数,求证: + +?+ + ?x1+x2+? x2 x3 xn x1 +xn.

2 x2 1 x2

1984 年全国高中数学联赛试题解答
第一试 1.选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分) - ⑴ 集合 S={ Z |argZ=α ,α 为常数}在复平面上的图形是(
2

)

A.射线 argZ=2α
都不对 【答案】D

B.射线 argZ=-2α

C.射线 argZ=α

D.上述答案

【解析】由于 argZ∈[0.2π ),故不存在答案 B.arg- Z =2π -α ,故选 D.

1 ⑶ 对所有满足 1?n?m?5 的 m, n, 极坐标方程 ρ = 表示的不同双曲线条数 n 1-Cmcosθ 是( )

A.15
【答案】D
n

B.10

C.7
n

D.6
1 2

【解析】 由 e=Cm, 若表示双曲线, 则 e>1, 由 Cm>1, 可得 m、 n 的不同取值为 C5=5, C5=10,

C4 =4,C4=6,C3=3,C2=2,共有 6 个不同的值,故选 D.

1

2

1

1

⑸ 若 a>0,a≠1,F(x)是一个奇函数,则 G(x)=F(x)? (

1 1 + )是( a -1 2
x



A.奇函数

B.偶函数

C.不是奇函数也不是偶函数

D.奇偶性与 a 的

具体数值有关

⑺ 若动点 P(x,y)以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y -x )的运 动方式是 A.以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动 B.以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 C.以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 D.以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动

2

2

⑻ 若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 F(x)在其定义域 上

A.是增函数但无最大值 C.不是增函数但无最大值
【答案】D 【解析】定义域为 0<x< 3,当 x=

B.是增函数且有最大值 D.不是增函数但有最大值
3 时,F(x)最大,故选 D. 2
y
1 A C B

2.填充题(本题满分 10 分,每小题 5 分) ⑴ 如图,AB 是单位圆的直径,在 AB 上任取一点 D,作 DC⊥AB,交圆周于 C, 若点 D 的坐标为 D(x,0),则当 x∈ 时,线段 AD、BD、CD 可以构成 锐角三角形. 【答案】2- 5<x< 5-2 【解析】由对称性,先考虑 0?x<1 的情况,设 AD=a,BD=b,CD=c,则 a+b=2, 2 ab=c ,且必有 a?c?b,于是只要考虑 c2+b2>a2,即(1-x)(1+x)+(1-x)2>(1+x)2, 解得 0?x< 5-2. ∴ 2- 5<x< 5-2.

O D 1

x

⑵ 方程 cos =cosx 的通解是 4 个

x

,在 (0 , 24π ) 内不相同的解有

第二试 1.(本题满分 15 分)下列命题是否正确?若正确,请给予证明.否则给出反例. ⑴ 若 P、Q 是直线 l 同侧的两个不同点,则必存在两个不同的圆,通过 P、Q 且与直线 l 相切; ⑵ 若 a>0,b>0,且 a≠1,b≠1,则 logab+log ba?2. 2 2 2 ⑶ 设 A、B 是坐标平面上的两个点集,Cr={(x,y)|x +y ?r },若对任何 r?0,都有 Cr∪A?Cr∪B,则必有 A?B.
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2.(本题满分 10 分) 已知两条异面直线 a、b 所成的角为 θ ,它们的公垂线 AA?的长度 为 d,在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 A?E=m,AF=n,求 EF(A?在直线 a 上,A 在直线 b 上). 2 2 2 【解析】EF= m +n +d ±2mncosθ .(证明见课本). 3.(本题满分 15 分)如图,在△ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA,若 S 4 △ABC=1,证明:S△BPF、S△PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于 (SXY?Z 表示多边形 XY?Z 9 的面积). 【解析】证明:如图,三等分 BC 于 M、N,若点 P 在 BM 上(含点 M),则由 2 4 于 PE∥AB,则△CPE∽△CBA.CP∶CB? .于是 S△PCE? .同理,若 P 在 NC 上(含 3 9 4 点 N),则 S△BPF? . 9 若点 P 在线段 MN 上.连 EF,设 BP 1 2 CP =r( <r< ),则 =1-r. BC 3 3 BC 1 2 1 2
B F

A E F B PM N C

A E C

S△BPF=r2,S△PCE=(1-r)2.∴ S△BPF+S△PCE=r2+(1-r)2=2r2-2r+1=2(r- )2+

MP N

1 1 2 1 5 <2( - ) + = . 3 2 2 9 4 于是 S□A EPF? .故命题成立. 9

第一试 1.选择题(本题满分 36 分,每小题答对得 6 分答错得 0 分,不答得 1 分) ⑴ 假定有两个命题: -1 -1 甲:a 是大于 0 的实数;乙:a>b 且 a >b .那么( ) A.甲 是乙的充 分而不必要条件 B.甲是乙的必要而不充分条件 C.甲是乙的充分必要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的 必要条件 2 ⑵PQ 为经过抛物线 y =2px 焦点的任一弦,MN 为 PQ 在准线 l 上的射影,PQ 绕 l 一周所 得的旋转面面积为 S1,以 MN 为直径的 球面积为 S2,则下面结论中,正确的是( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1?S2 D.有时 S1>S2,有时 S1=S2, 有时 S1<S2 4 4 ⑶ 已知方程 arccos -arccos(- )=arcsinx,则( ) 5 5

A.x=
育网]

24 25

B.x=-

24 25

C.x=0

D.这样的 x 不存在.

[来源:21 世纪教

⑷ 在下面四个图形中,已知有一个是方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(m≠0,n≠0)在同一 坐标系中的示意图,它应是( )
y y y y

2

2

2

O

x

O

x

O

x

O

1

x
y=-x

A.

B.

C.

D.

- ⑸ 设 Z、W、λ 为复数,|λ |≠1,关于 Z 的方程 Z -λ Z=W 有下面四个结论: - - λ W+ W 2是这个方程的解; 1-|λ |

Ⅰ.Z=

Ⅱ.这个方程只有一解;

Ⅲ.这个方程有两解; Ⅳ.这个方程有无穷多解.则( ) A.只有Ⅰ、Ⅱ正确 B.只有Ⅰ、Ⅲ正确 C.只有Ⅰ、Ⅳ正确 D.以上 A、B、 C 都不正确 ⑹ 设 0<a<1,若 x1=a,x2=a ,x3=a ,?,xn=a

x1

x2

xn-1

,??,则数列{xn}(

)

A.是递增的

B.是递减的

C.奇数项递增,偶数项递减

D.偶数项递增,

奇数项递减 二.填空题(本题满分 24 分,每小题 6 分) ⑴ 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 的大小成等比数列, 2 2 且 b -a =ac,则角 B 的弧度为等于 .

⑵ 方程 2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x 9+x10=3 的非负整数解共有 组. ⑶ 在已知数列 1,4,8,10,16,19,21,25,30,43 中,相邻若干个数之和能被 11 整除的数组共有 . ⑷ 对任意实数 x,y,定义运算 x*y 为 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常数,等式右 端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知 1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数 d, 使得对于任意实数都有 x*d=x,则 d= .
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第二试 (本试共有 4 题,每题满分 15 分) 1.在直角坐标系 xoy 中,点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)的坐标均为一位的正整数.OA 与 x 轴正方向的夹 角大于 45°,OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45°,B 在 x 轴上的射影为 B?, A 在 y 轴上的射影为 A?,△OBB?的面积比△OAA?的面积大 33.5,由 x1,y1,x2,y2 组成的四 位数 x1x2y2y1 =x1? 10 +x2? 10 +y2? 10+y1.试求出所有这样的四位数,并写出求解过程.
3 2

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4.平面上任给 5 个点,以 λ 表示这些点间最大的距离与最小的距离之比,证明:λ ?2sin54?.

1985 年全国高中数学联赛试题
第一试 1.选择题(本题满分 36 分,每小题答对得 6 分答错得 0 分,不答得 1 分) ⑴ 假定有两个命题: -1 -1 甲:a 是大于 0 的实数;乙:a>b 且 a >b .那么( ) A.甲是乙的充分而不必要条件 B.甲是乙的必要而不充分条件 C.甲是乙的充分必要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的 必要条件 【答案】B -1 -1 【解析】由于 a>b 且 a >b 成立时,必有 a>0,b<0.故由乙可得甲,故选 B
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4 4 ⑶ 已知方程 arccos -arccos(- )=arcsinx,则( 5 5

)

A.x=

24 25

B.x=-

24 25

C.x=0

D.这样的 x 不存在.

【答案】D 4 4 4 3 【解析】即 arcsinx=2 arccos -π .设 arccos =θ ,则 cosθ = ,sinθ = . 5 5 5 5 ∴ sin2θ =2sinθ cosθ = 24 π .即 2θ 为锐角. ∴2θ -π <- .故选 D. 25 2

⑷在 下面四个图形中,已知有一个是方程与 (m≠0,n≠0)在同一坐标系中的示意图, 它应是( )
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

1

x
y=-x

A.

B.

C.

D.

【答案】A

- ⑸ 设 Z、W、λ 为复数,|λ |≠1,关于 Z 的方程 Z -λ Z=W 有下面四个结论: - - λ W+ W 2是这个方程的解; 1-|λ |

Ⅰ.Z=

Ⅱ.这个方程只有一解;

Ⅲ.这个方程有两解; Ⅳ.这个方程有无穷多解.则( ) A.只有Ⅰ、Ⅱ正确 B.只有Ⅰ、Ⅲ正确 C.只有Ⅰ、Ⅳ正确 D.以上 A、B、 C 都不正确 【答案】A - - 2 【解析】原式两端取共轭:Z-λ Z= W ,乘以 λ 再取共轭:λ Z-|?| Z=λ W,相加,由 |?|≠1,得方程有唯一解 Z= - - λ W+ W 2.选 A. 1-|λ |

⑵ 方程 2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3 的非负整数解共有

组.

【答案】174 【解析】x1=1 时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1,共有 9 解;

x1=0 时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3,共有 9+A9+C9=9+72+84=165 解.
∴ 共有 174 解.

2

3

第二试 (本试共有 4 题,每题满分 15 分) 1.在直角坐标系 xoy 中,点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)的坐标均为一位的正整数.OA 与 x 轴正方向的夹角大于 45°,OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45°,B 在 x 轴上的射影为 B?,A 在 y 轴上的射影为 A?,△OBB?的面积比△OAA?的面积大 33.5,由 x1,y1,x2,y2 组成的四位 数

x1x2y2y1=x1? 103+x2? 102+y2? 10+y1. 试求出所有这样的四位数, 并写出求解过程.
【解析】x2y2-x1y1=67.x1<y1,x2>y2.且 x1,y1,x2,y2 都是不超过 10 的正 整数. ∴ x2y2>67,? x2y2=72 或 81.但 x2>y2,故 x2y2=91 舍去.∴ x2y2=72.x2=9, y2=8.
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y
A' A

B

O

B' x

∴ x1y1=72-67=5.?x1=1,y1=5,∴ x1x2y2y1=1985.

3.某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队,根据比赛规则,比赛若 干天后进行统计,发现除 A 市甲队外,其它各队已比赛过的场数各不相同.问 A 市乙队已 赛过多少场?请证明你的结论. 【解析】证明:用 32 个点表示这 32 个队,如果某两队比赛了一场,则在表示这两个 队的点间连一条线.否则就不连线. 由于,这些队比赛场次最多 30 场,最少 0 场,共有 31 种情况,现除 A 城甲队外还有 31 个队,这 31 个队比赛场次互不相同,故这 31 个队比赛的场次恰好从 0 到 30 都有.就在 表示每个队的点旁注上这队的比赛场次.

4.平面上任给 5 个点,以 λ 表示这些点间最大的距离与最小的距离 之比,证明:λ ?2sin5 4?. 【解析】证明 ⑴ 若此五点中有三点共线,例如 A、B、C 三点共线,不妨设 B 在 A、C 之间,则 AB 与 BC 必有一较大者.不妨设 AB?B C.则

AC ?2>2sin54?. BC

第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A.{x|2nπ +θ <x<(2n+1) π -θ ,n∈Z} B.{x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ , n∈Z} C. {x|(2n -1)π +θ <x<2nπ -θ , n∈Z} D. {x|2nπ +θ <x< ( 2n+1)π -θ , n∈Z} 2 2 ⑵ 设 x 为复数,M={z|(z-1) =|z-1| },那么( )

A.M={纯虚数}

B.M={实数}

? C.{实数}? ? M ? {复数}

D.M={复数}

2.填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分): 本题共有 4 个小题,每小题的答案都是 000 到 999 的某一个整数,请把你认为正确的答 案填在 上. ⑴ 在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13,若作一平面 与这二球面相切,且与圆柱面交成一个椭圆,则这个椭圆的长轴长与短轴长之和 是 . ⑵ 已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程 1 f(f(f(x)))= x 2 的解的个数是
x



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⑶ 设 f(x)= 于 ;

4 1 2 3 1000 , 那 么 和 式 f( )+f( )+f( )+ ? +f( )的值等 x 4 +2 1001 1001 1001 1001

⑷设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4 么 x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于

5x+9y+4z .

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,那

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第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,?,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,?) 求证:对于任何自然数 n,

P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+?+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
是一次多项式.(本题应增加条件:a0≠a1)

0

1

2

n-1

n

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3.平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染色方法将所有 的整点都染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵对 任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边 形. 证明你设计的方法符合上述要求.
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1986 年全国高中数学联赛解答
第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A. {x|2nπ +θ <x<(2n+1)π -θ , n∈Z} B. {x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ , n∈Z} C. {x|(2n-1)π +θ <x<2nπ -θ , n∈Z} D. {x|(2n-1)π -θ <x<2nπ +θ , n∈Z} 【答案】D π 【解析】- <θ <0,在(-π ,0)内满足 sinx<a 的角为-π -θ <x<θ ,由单位圆 2 易得解为 D.

y O

? 1

x

⑶ 设实数 a、b、c 满足 2 ?a -bc-8a+7=0, ? 2 2 那么,a 的取值范围是( ? b +c +bc-6a+6=0.

)

A.(-∞,+∞)

B.(-∞,1]∪[9,+∞)

C.(0,7)

D.[1,9]

【答案】D 2 2 2 2 【解析】①?3+②:b +c -2bc +3a -30a+27=0,?(b-c) +3(a-1)(a-9)=0,?1 ?a?9.选 D. b2+c2+2bc-a2+2a-1=0,(b+c)2=(a-1 )2,?b+c=a-1,或 b+c=-a+1.

⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆 C1,C2,?,C7,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点, 圆 C6 恰好经过 M 中的 6 个点, ?, 圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点, 那么 M 中的点数最少为( ) A.11 B.12 C.21 D.28 【答案】B 【解析】首先,C7 经过 M 中 7 个 点,C6 与 C7 至多 2 个公共点,故 C6 中至少另有 4 个 M 中的点,C5 至少经过 M 中另外 1 个点,共有 至少 7+4+1=12 个点.

1 ⑹ 边长为 a、b、c 的三角形,其面积等于 ,而外接圆半径为 1,若 4

s= a+ b+ c,t= + + , a b c
则 s 与 t 的大小关系是 A.s>t B. s=t C.s<t D.不确定 【答案】C 1 abc 1 【解析】△= absinC= ,由 R=1,△= ,知 abc=1.且三角形不是等边三角形. 2 4R 4 ∴ 1 1 1 1 1 1 a+ b+ c + + ? + + = = a+ b+ c.(等号不成立).选 C.

1 1 1

a b c

ab

bc

ca

abc

4 1 2 3 1000 ⑶ 设 f(x)= x ,那么和式 f( )+f( )+f( )+?+f( )的值等于 4 +2 1001 1001 1001 1001 【答案】500 【解析】 f(x)+f(1-x)= 4 4 4 4 + 1-x = x + x x=1. 4 +2 4 +2 4 +2 4+2?4
x
1 -x

x



x



以 x=

1 2 3 500 , , ,?, 代入⑴式,即得所求和=500. 1001 1001 1001 1001

⑷ 设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4

5x+9y+4z ;

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,那么

x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于

第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,?,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,?) 求证:对于任何自然数 n,

P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+?+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
是一次多项式. (本题应增加条件:a0≠a1)

0

1

2

n-1

n

2.(本题满分 17 分)已知锐角三角形 ABC 的外接圆半径为 R,点 D、E、F 分别在边 BC、 CA、AB 上,求证:AD,BE,CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是

R S= (EF+FD+DE).
2

3.(本题 16 分)平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染 色方法将所有的整点都染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边 形. 证明你设计的方法符合上述要求.
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一试题(10 月 11 日上午 8∶00——9∶30) 一.选择题(每个小题选对得 5 分,不选得 1 分;选错或选出的代号超过一个者得 0 分.本 题满分 20 分): 6 1.对任意给定的自然数 n,若 n +3a 为正整数的立方,其中 a 为正整数,则( ) A.这样的 a 有无穷多个 B.这样的 a 存在,但只有有限个 C.这样的 a 不存在 D.以上 A、B、C 的结论都不 正确(上海供 题) 2.边长为 5 的菱形,它的一条对角线的长不大于 6,另一条不小于 6,则这个菱形两 条对角线长度之和的最大 值是( ) A.10 2 B.14 C.5 6 D.12(天津供题) 3. 在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点, 若 a 为无理数, 则过(a, 0)的所有直线中( ) A.有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n(2?n<+∞)条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D.每条直线至多通过一个有理点(河南供题)
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2.已知集合

A={(x,y)| |x|+|y|=α ,α >0} B={(x,y)| |xy|+1=|x|+|y|}
若 A∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 α 的值为 .(青海供题) 2 3.若 k 是大于 1 的整数,α 是 x -kx+1=0 的一个根,对于大于 10 的任意自然数 n,

α

2

n



-2

n

的个位数字总是 7,则 k 的个位数字是

.(河北供题)

5 4.现有边长为 3,4,5 的三角形两个,边长为 4,5, 41的三角形四个,边长为 2, 6 4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成
网]

个四面体.(江西供题)

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5.五对孪生兄妹参加 k 个组活动,若规定:⑴ 孪生兄妹不在同一组;⑵非孪生关系 的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,⑶有一人只参加两个组的活动,则 k 的最 小值为 .(命题组供题)

1987 年全国高中数学联赛二试题 一.如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.
B

A D

E

C

二.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合, 使得 ⑴每个整点都在此集合的某个圆周上; ⑵此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.(辛泽尔定理)

三.n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相 同,试证明:总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对 手仍然都不完全相同.

1987 年全国高中数学联赛解答
一试题 一.选择题(每个小题选对得 5 分,不选得 1 分;选错或选出的代号超过一个者得 0 分.本 题满分 20 分):

2.边长为 5 的菱形,它的一条对角线的长不大于 6,另一条不小于 6,则这个菱形两 条对角线长度之和的最大值是( )

【解析】若直线斜率为 k,则当 k=0 时直线经过 x 轴上所有有理点. 当 k≠0 时,直线方程为 y=k(x-a). 若 k 为有理数,则当 x 为有理数时,y 为无理数; 若 k 为无理数, 若此时直线经过一个有理点 A(x1, y1), 对于直线上与 A 不重合的点 B(x2, y2 x2-a y2).由 y1=k(x1-a),y2=k(x2-a),由于 a 为无理数,故 y1≠0,x2-a≠0, = =m,当 y1 x1-a

y2 为有理数时,m 为有理数,当 y2≠y 1 时,m≠1,此时 x2=mx1+(1-m)a 为无理数.即此直线 上至多有一个 有理点. 选 C.

4.如图,△ABC 的顶点 B 在单位圆的圆心上,A、C 在圆周上,∠ABC=2α (0<α < 现将△ABC 在圆内按逆时针方向依次作旋转,具体方法如下:第 一次,以 A 为中心使 B 落到圆周上;第二次,以 B 为中心,使 C 落到圆周上;第三次,以 C 为中心,使 A 落到圆周上.如此旋转 直到 100 次.那么 A 点所走过的路程的总长度为( ) 67 A.22π (1+sinα )-66α B. π 3

π ) 3

C2

A2

A1 2? B1 B C1 A C

C.22π +

68 π sinα -66α 3

D.33π -66α (北

京供题) 【答案】A

2 【解析】点 A 每 k(k≡1(mod 3))不动,第 k(k≡2(mod 3))次走过路程 π -2α ,第 k(k 3 π 2 2 ≡0(mod 3))走过路程 (2sinα ),于是所求路程=33( π -2α + π sinα ).选 A. 3 3 3 二.填空题(每小题填写结果完全正确者得 8 分,填写错误或多填、少填者均得 0 分, 本题满分 40 分): 1.已知集合 M={x,xy,lg (xy)} 及 N={0,|x|,y}, 并且 M=N,那么 1 1 2 1 3 1 2001 (x+ )+(x + 2)+(x + 3)+?+(x + 2001)的值等于 .(陕西供题)

y

y

y

y

2.已知集合

A={(x,y)| |x|+|y|=α ,α >0} B={(x,y)| |xy|+1=|x|+|y|}
若 A∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 α 的值为 .(青 海供题) 【答案】α =2 或 2+ 2. 【解析】集合 A 的图形是依次连(α ,0),(0,α ),(-α ,0),(0, -α )四点的线段. 集合 B 的图形是直线 x=1, x=-1, y=1, y=-1. 它们交得一个正八边形. 若此 4 条直线为图中的 4 条实线,则 α =tan22.5°+1= 2.或此正八 边形各边与原点距离相等,知直线 x+y=α 与原点距离=1.α = 2.
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y

O

x

若此 4 条直线为图中的 4 条虚线,则 2α =2 2+2,?α =2+ 2. ∴ α =2 或 2+ 2.

5 4.现有边长为 3,4,5 的三角形两个,边长为 4,5, 41的三角形四个,边长为 2,4, 6 5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成 个四面体.(江西供题)

若再取两个③类三角形时,由于 AD=

5 2,不满足(*)式,故不可以构成四面体. 6 12 . 且 5

情况⑵: 两个①类, 两个③类. 此时取 BC=5, AB=CD=3, 于是斜边 BC 上的高 AE=DF=h=

BE=CF=x= ,则 EF=5-2? = .
于是 AD =AE +EF +FD -2AE?DFcosθ =
2 2 2 2

9 5

9 7 5 5

1 49 (337-288cosθ )∈( ,25). 25 25

5 由于 AD= 2,不满足(*)式,故不可以构成四面体. 6 ∴ 只能构成 1 个四面体. 5.五对孪生兄妹参加 k 个组活动,若规定:⑴ 孪生兄妹不在同一组;⑵非孪生关系 的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,⑶有一人只参加两个组的活动,则 k 的最 小值为 .(命题组供题)

1987 年全国高中数学联赛二试题 一.如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么 位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.
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【解析】证明:以 A 为原点,AC 为 x 轴正方向建立复平面.设 C 1 1 表示复数 c,点 E 表示复数 e(c、e∈R).则点 B 表示复数 b= c+ ci, 2 2 1 1 点 D 表示复数 d= e- ei. 2 2 把△ADE 绕点 A 旋转角 θ 得到△AD?E?, 则 点 E? 表 示 复 数 e?=e(cosθ +isinθ ) . 点 D? 表 示 复 数 d?=d(cosθ +isinθ ) 1 表示 E?C 中点 M 的复数 m= (c +e?). 2
A D D'

B

E M E'

C

→ 1 1 1 1 1 1 ∴ 表 示 向 量 MB 的 复 数 : z1=b - (c+e?)= c+ ci - c - e(cosθ +isinθ )= - 2 2 2 2 2 2

e cosθ + (c-esinθ )i.
→ 1 1 1 1 表示向量 MD? 的复数:z2=d?-m=( e- ei)(cosθ +isinθ )- c- e(cosθ +isinθ ) 2 2 2 2

1 2

= (esinθ -c)- iecosθ .
显然:z2=z1i.于是|MB|=|MD?|,且∠BMD?=90°.即△BMD?为等腰直角三角形.故证.

1 2

1 2

二.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合, 使得 ⑴每个整点都在此集合的某个圆周上; ⑵此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.(辛泽尔定理)

三.n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相 同,试证明:总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对 手仍然都不完全相同.

又证:把这些选手编为 1 至 n 号,以 n 个点表示这 n 个人,各点也相应编为 1 至 n 号. 反设去掉任何一各选手后都有两个选手的已赛过的对手完全相同.于是先去掉 1 号选 手,则有两个选手的已赛过的对手完全相同,设为第 i 号与第 j 号,在表示此二人的点间 连一条线,并在线上注上“1 号”.这说明,此二人在去掉 1 号选手之前必是一人与 1 号赛 过,另一人与 1 号没有赛过.而且不可能在去掉 1 号后有三人都相同 ,否则,此三人与 1 号选 手比赛的情况只有两种:赛过或没有赛过,如果去掉 1 号后,此三人的情况完全相同, 则去掉 1 号之前必有 2 人赛过的对手完全相同.如果去掉 1 号后有不止一对选手的已赛过 对手完全相同,则只任取其中的一对连线,其余的对则不连线. 连线后把 1 号选手放回来,再依次去掉 2 号、3 号,??,直至 n 号,每去掉 1 个选手, 都会在某两点之间连出 1 条线.这样,就在 n 个选手之间连了 n 条线.且这些线上分别注

了 1 至 n 号,每条线注了 1 个号码,每个号码只注在 1 条线上.

一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选均 得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ (x),它的反函 数是第二个函数,而第三个函数的图 象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( A. y=-φ (x) B. y=-φ (-x) C. y=-φ
-1

) D. y=-φ
-1

(x)

(-

x)

4.已知三个平面 α 、β 、γ ,每两个之间的夹角都是 θ ,且 α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩ π α =c.若有命题甲:θ > ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则

A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件

B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,

M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直 线的集合,P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中, 正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): 1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么

b4-b3 a2-a1

=

. 2.( x+2)
2n+1

的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为



3.在△ABC 中,已知∠A=α ,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 =

DE BC



1988 年全国高中数学联赛二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,

an+2=?
?

?5an+1-3an(an?an+1为偶数),

an+1-an(an?an+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*, a n≠0.

二.如图,在△ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证:
A

S?PQR 2 > . S?ABC 9

P
H N Q B R C

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线族,它 满足条件:
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⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,??);

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⑵ kn+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, (n=1, 2,3,??); ⑶ knkn+1?0,(n= 1,2,3,??). 并证明你的结论.
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1988 年全国高中数学联赛解答
一试题 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多 选均得 0 分):

2. 已知原点在椭圆 k x + y -4kx+2ky+k -1=0 的内部, 那么参数 k 的取值范围是( A.|k|>1 【答案】D 【解析】因是椭圆,故 k≠0,以(0,0)代入方程,得 k -1<0,选 D.
2

2 2

2

2

)

B.|k|≠1

C.-1<k<1

D.0<|k|<1

4.已知三个平面 α 、β 、γ ,每两个之间的夹角都是 θ ,且 α ∩β =a,β ∩γ =b, γ ∩α =c.若有

π 命题甲:θ > ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则
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A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件

B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,

M 表示恰好通过 1 个整点的集 合,N 表 示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中, 正确的表达式的个数是 A.1 【答案】D 【解析】均正确,选 D. B.2 C.3 D.4

2.( x+2)

2n+1

的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为



1 2n+1 【答案】 (3 +1) 2 【解析】( x+2)
2n+1

-( x-2)

2n+1

=2(C2n+12xn+C2n+123xn-1+C2n+125xn-2+?+C2n+122n+1).

1

3

5

2n+1

1 2n+1 令 x=1,得所求系数和= (3 +1). 2

3.在△ABC 中,已知∠A=α ,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 = 【答案】 | cos ? | 【解析】△AED∽△ABC, = =|cosα |.

DE BC



DE AD BC AC

4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员 比赛,负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,??直至一方队员全部淘汰为止,另一 方 获得胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 .

三.(15 分)长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求 得到的旋转体的体积.

四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动 点 Z 满足 Z1Z=-1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.

1 1 * 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 + =1.试证:对每一个 n∈N ,

a b

(a+b) -a -b ?2 -2 . 【解析】证明:由已知得 a+b=ab.又 a+b?2 ab,∴ ab?2 ab,故 a+b=ab?4.于 是(a+b) =(ab) ?2 . 又 a +b ?2 a b =2 (a+b) ?2 .下面用数学归纳法证明: 1° 当 n=1 时,左=右=0.左?右成立. 2° 设当 n=k(k?1,k∈N)时结论成立,即(a+b) -a -b ?2 -2 成立. 则(a+b) -a -b =(a+b)(a+b) -(a +b )(a+b)+ab(a
k+1 k+1 k+1 k k k k-1 k k k
2k

n

n

n

2n

n+1

k

k

2k

k

k

k k

k

k+1

k+1

+b

k-1

)

=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+ ab(ak-1+bk-1)?4?(22k-2k+1)+4?2k=22(k+1)-4?2k+1+4?2k=22(k+1)-
2
(k+1)+1

.即命题对于 n=k+1 也成立. 故对于一切 n∈N ,命题成立.
*

二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,

an+2=?
?

?5an+1-3an(an?an+1为偶数),

an+1-an(an?an+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*,an≠0.(1988 年全国高中竞赛试题) 分析:改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3).

二.如图,在△ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证: 1 【解析】 证明: 作△ABC 及△PQR 的高 CN、 RH. 设△ABC 的周长为 1. 则 PQ= . 3

S?PQR 2 > . S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

S?PQR PQ?RH PQ AR 1 PQ 2 则 = = ? ,但 AB< ,于是 > , S?ABC AB?CN AB AC 2 AB 3
1 1 1 1 1 1 AR 1 S?PQR 2 AP?AB-PQ< - = , ∴ AR= -AP> ,AC< ,故 > ,从而 > . 2 3 6 3 6 2 AC 3 S?ABC 9
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三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线族,它 满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,? ?); ⑵ kn +1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, (n=1, 2,3,??);

⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,??). 并证明你的结论. 【解析】证明:设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1 不存在,故 kn≠±1.

由于 k1- 随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ?-1,从而必存在 一个 m 值,m=m1(m1?m0),使 km1-1?-1,而-1<km1=km1- 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线族不存在. 1 <0,此时 km1?km1+1<0.

m km

m0 k1

km1-1

一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分): 1. 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 1 2.函数 f(x)=arctanx+ arcsinx 的值域是( ) 2
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D.第四象限

A.(-π ,π )

B.[- π , π ]

3 4

3 4

C.(- π , π )

3 4

3 4

D.[- π , π ]

1 2

1 2

三.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.若 loga 2<1,则 a 的取值范围是 . 2. 已知直线 l: 2x+y=10, 过点(-10, 0)作直线 l?⊥l, 则 l?与 l 的交点坐标为 . 3.设函数 f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)= |f1(x)-2|,则函数 y=f2(x)的图象 与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 . 4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 . 5.如果从数 1,2,3,?,14 中,按由小到大的顺序取出 a1,a2,a3,使同时满足 a2-a1?3,与 a3-a2?3, 那么,所有符合上述要求的不同取法有 种. 6.当 s 和 t 取遍所有实数时,则 2 2 (s+5-3|cost|) +(s-2|sint|) 所能达到的最小值为 .

三.(本题满分 20 分) 已知 a1,a2,?,an 是 n 个正数,满足 a1? a2? ?? an=1. n 求证:(2+a1)(2+a2)?(2+an)?3 .

四.(本题满分 20 分) 已知正三棱锥 S—ABC 的高 SO=3, 底面边长为 6, 过点 A 向其所对侧面 SBC

S

AP 作垂线,垂足为 O?,在 AO?上取一点 P,使 =8,求经过点 P 且平行于底面的 PO?
截面的面积.
A

五.(本题满分 20 分) 已知:对任意的 n ∈N*,有 an>0,且 Σ aj=( Σ aj) .求证:an=n. j=1 j=1

O

C

n

3

n

B
2

三.(本题满分 35 分) 有 n?n(n?4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1 与-1 这两个数 中的一个,现将表内 n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基 本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即

总能表示成 4k 的形式,其中 k∈Z).

1989 年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分): 1.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】 0° <A、 B<90°<A+B<180°. 故 90°>A>90°-B>0°, sinA>cosB, cosA<sinB. 故 cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.点 Z 位于第二象限.选 B
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3.对任意的函 数 y=f(x),在同一个直角坐标系中,函数 y=f(x-l)与函数 y=f(-x+l) 的图象恒( ) A.关于 x 轴对称 B.关于直线 x=l 对称 C.关于直线 x=-l 对称 D.关于 y 轴对称 【答案】B 【解析】令 x-1=t,则得 f(t)=f(-t),即 f(t)关于 t=0 对称,即此二图象关于 x=1 对称.选 B

5.若

M={z| z=

t 1+t +i ,t∈R,t≠-1,t≠0}, 1+t t
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N={z| z= 2[cos(arcsint)+icos(a rccost)],t∈R,|t|?1}.

则 M∩N 中元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】A 2 2 【解析】M 的图象为双曲线 xy=1(x≠0 ,x≠1)N 的图象为 x +y =2(x?0),二者无公共

点.选 A.

三.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.若 loga 2<1,则 a 的取值范围是 . 【答案】(0,1)∪( 2,+∞) 【解析】若 0<a<1,则 loga 2<0,若 a>1,则得 a> 2.故填(0,1)∪( 2,+∞) 2. 已知直线 l: 2x+y=10, 过点(-10, 0)作直线 l?⊥l, 则 l?与 l 的交点坐标为 【答案】(2,6) 【解析】直线 l?方程为(x+10)-2y=0,解得交点为(2,6). .

3.设函数 f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)= |f1(x)-2|,则函数 y=f2(x)的图象 与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .

但 n∈N*,故 n=1,得,α +α -1=0,

2

∴ 由 α >0,知,?=

?=

-1± 5 , 2

-1+ 5 -1+ 5 .∴ 原数为 . 2 2

5.如果从数 1,2,3,?,14 中,按由小到大的顺序取出 a1,a2,a3,使同时满足 a2-a1?3,与 a3-a2?3, 那么,所有符合上述要求的不同取法有 种. 【答案】120 【解析】令 a1?=a1,a2?=a2-2,a3?=a3-4,则得 1?a1?<a2?<a3??10.所求取法为 C10=120.
3

三.(本题满分 20 分) 已知 a1,a2,?,an 是 n 个正数,满足 a1? a2? ?? an=1. n 求证:(2+a1)(2+a2)?(2+an)?3 .

a1a2+a1a3+?+an-1an?Cn
n

2

Cn

2

(a1a2?an)

n-1

=Cn,??,
n-1

2

∴ (2+a1)(2+a2)?(2+an)=2 +(a1+a2+?+an)2 ?2 +Cn2
n
1 n-1

+(a1a2+a1a3+?+an-1an)2
n n

n-2

+?+a1a2?an

+Cn2

2 n-2

+?+Cn=(2+1) =3 .

1

四.(本题满分 20 分) 已知正三棱锥 S—ABC 的高 SO=3,底面边长为 6,过点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线,垂 足为 O?,在 AO?上取一点 P,使

AP =8,求经过点 P 且平行于底面的截面的面积. PO?

五.(本题满分 20 分) 已知:对任意的 n∈N*,有 an>0,且 Σ aj=( Σ aj) .求证: an=n. j=1 j=1 【解析】证明:由已知,a1 =a1 ,a1>0,∴ a1=1. 设 n?k(k∈N,且 k?1)时,由 Σ aj =( Σ aj) 成立可证 ak=k 成立. j=1 j=1
3 2

n

3

n

2

n

3

n

2

k+1 3 k+1 2 k k 2 2 当 n=k+1 时, Σ aj=( Σ aj) =( Σ aj) +2ak+1( Σ aj)+ak+1. j=1 j=1 j=1 j=1
1 2 1 3 1 2 2 2 2 即 k (k+1) +ak+1= k (k+1) +2ak+1? k(k+1)+ak+1. 4 4 2
2
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∴ ak+1-a k+1-k(k+1)=0, 解此方程, 得 ak+1=-k 或 ak+1=k+1. 由 an>0 知, 只有 ak+1=k+1 成立. 即 n=k+1 时命题也成立.由数学归纳原理知对于一切 n∈N*,an=n 成立.

第二试 一.(本题满分 35 分) 已知 在 Δ ABC 中,AB>AC,?A 的一个外角的平分线交 Δ ABC 的外接圆于点 E,过 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. 求证 2AF=AB-AC. 【解析】证明:在 FB 上取 FG=AF,连 EG、EC、EB, 于是 Δ AEG 为等腰三角形,∴EG=EA. E 又?3=180?-?EGA=180?-?EAG=180?-?5=?4. 5 A ?1=?2.于是 Δ EGB≌Δ EAC.∴BG=AC, 4 F 故证 3
G
1 2

二.已知 xi∈R(i=1,2,?,n;n?2),满足 Σ |xi|=1, Σ xi=0, i=1 i=1 求证:? Σ

B

C

n

n

? n xi? 1 1 ??2- 2n. i ?i=1 ?

三.有 n?n(n?4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1 与-1 这两个数 中的一个,现将表内 n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基 本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即 总能表示成 4k 的形式,其中 k∈Z). 【解析】证明 :基本项共有 n!个,n>3,则基本项的个数为 4 的倍数,设共有 4m 项. 其中每个数 aij(=±1)都要在(n-1)!个基本 项中出现,故把所有基本项乘起来后,每 个 aij 都乘了(n-1)!次,而 n>3,故(n-1)!为偶数,于是该乘积等于 1.这说明等于-1 的



(10 月 14 日上午 8∶00—10∶00) 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α ∈( , ),则(cos?) 4 2

? ?

cos?

,(si n?)

cos?

,(cos?)

sin?

的大小顺序是

A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin? <(sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos?

5.设非零复数 x、y 满足 x +xy+y =0,则代数式? ?
2 2

x ?1990 ? y ?1990 ? +? ? 的值是( ?x+y? ?x+y?

)

A.2-1989 x y a b
2 2

B.-1

C.1

D.以上答案都不对

6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴 影表示是下面图中的( )

y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

O

x
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 1. 设 n 为自然数, a、 b 为正实数, 且满足 a+b=2, 则 n + n的最小值是 1+a 1+b .

2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60°),cos(2t-60°))为动点,则当 t 由 15°变到 45°时,线段 AP 扫过的面积是 . 2 2 2 2 4 4 4 3.设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x +y +z ) ?n(x +y +z )成立,则 n 的 最小值是 . 4. 对任意正整数 n, 连结原点 O 与点 An(n, n+3), 用 f(n)表示线段 OAn 上的整点个数(不 计端点),试求 f(1)+f(2)+?+f(1990). 5.设 n=1990,则 1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 n(1-3Cn+3 n-3 Cn+?+3 C n -3 C n = 2



6 . 8 个女孩与 25 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和排列方法.(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的). 三.(本题满分 20 分) 2ab π 2 2 n 已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ = 2 2,(其中 0<θ < ),An=(a +b ) sinnθ .求 a +b 2 证:对于一切自然数 n,An 均为整数.

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点.

D O O
4

C
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3

P O O O
2

A

1

F

B

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,??,200},

G={a1,a2,??,a100}? ? E.
且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1?i<j?100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ ai=10080. i=1

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一 个定数.

三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1?Ci?39,1?i?n)来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须 i=1 坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下.

n

1990 年全国高中数学联赛解答 第一试
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α ∈( , ),则(co s?) 4 2

? ?

cos?

,(sin?)

cos?

,(cos?)

sin?

的大小顺序是

A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin? < ( sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos?
【答案】D 【解析】α ∈( , )?0<cosα <sinα <1, 4 2 ∴ (cos?)
cos?

? ?

<(sin?)

cos?

;(cos?)

sin?

<(cos?)

cos?

;选 D.

2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时, f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1|

3.设双曲线的左右焦点是 F1、F2,左右顶点是 M、N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上, 则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( ) A.在线段 MN 内部 B.在线段 F1M 内部或在线段 NF2 y 内部 P F C.点 M 或点 N D.不能确定的 I E D 【答案】C F1 M O N F2 x 【解析】设内切圆在三边上切点 分别为 D、E、F,当 P 在右支 上时,PF1-PF2=2a. 但 PF1-PF2=F1D-F2D=2a,即 D 与 N 重合,当 P 在左支上时,D 与 M 重合.故选 C.
3 1 3 1 4.点集{(x,y)|lg(x + 错误!未指定书签。y + )=lgx+lgy}中元素个数为( 3 9

)

A.0
【答案】B

B.1

C.2

D.多于 2

3 1 3 1 3 1 3 1 【解析】x + y + =xy>0.但 x + y + ?3 3 9 3 9

3

x3? y3? = xy 错误!未指定书签。,等号

1 3

1 9

1 3 1 3 当且仅当 x = y = 时,即 x= 3 9 3
3

3

3

,y=

9 3

时成立.故选 B.

6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴 影表示是下面图中的(
y
(2,1)

x2 y2 a b

)
y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

O

x
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

【答案】C 4 1 1 4 1 5 4 1 5 2 2 2 【解析】 2+ 2=1,由 a >b ,故得 2<1< 2+ 2= 2,1<b< 5. 2+ 2=1? 2<1,a >5.故选 C.

a b

b

b b b

a b

a

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 1. 设 n 为自然数, a、 b 为正实数, 且满足 a+b=2, 则 n + n的最小值是 1+a 1+b 【答案】1 【解析】ab?( .

a+b

1 1 1+a +1+b 2 n n ) =1,从而 a b ?1,故 n + n = n n n n?1.等号当且仅当 2 1+a 1+b 1+a +b +a b

n

n

a=b=1 时成立.即所求最小值=1.
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2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60°),cos(2t-60°))为动点,则当 t 由 15°变到 45°时,线段 AP 扫过的面积是 . 【答案】 ? 【解析】点 P 在单位圆上, sin(2t - 60°)=cos(150°- 2t) , cos(2t - 1 3 60°)=sin(150°-2t).当 t 由 15°变到 45°时,点 P 沿单位圆从(- , ) 2 2

1 6

y

O

x

1 3 1 运动到( , ).线段 AP 扫过的面积=扇形面积= π . 2 2 6 3.设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x +y +z ) ?n(x +y +z )成立,则 n 的 最 小值是 . 【答案】3 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 【 解 析 】 (x +y +z ) =x +y +z +2x y +2y z +2z x ? 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x +y +z +(x +y )+(y +z )+(z +x )=3(x +y +z ).等号当且仅当 x=y=z 时成立.故 n=3.
[来源:21 世纪教育网]

2

2

2 2

4

4

4

5.设 n=1990,则 1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 n(1-3Cn+3 n-3 Cn+?+3 C n -3 C n = 2
[来源:21 世纪教育网]



【答案】 ?

1 2

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1 3 1990 1 3 1990 1 3 【解析】取(- + i) 展开的实部即为此式.而 (- + i) =- + i.故原式= 2 2 2 2 2 2 1 - . 2

三.(本题满分 20 分)

已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ = 证:对于一切自然数 n,An 均为整数.

2ab π 2 2 n ,(其中 0<θ < ),An=(a +b ) sinnθ .求 a2+b2 2

四.n 个正数排成 n 行 n 列 a11 a12 a13 a14 ??a1n a21 a22 a23 a24 ??a2n a31 a32 a33 a34 ??a3n a41 a42 a43 a44 ??a4n ?????????????? an1 an2 an3 an4 ??ann 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知 a24=1, 1 3 a42= ,a43= , 8 16 求 a11+a22+??+ann.(1990 年全国高中数 学联赛) 分析 由 a42、a43 或求 a44,由 a24,a44 可求公比. 【解析】 设第一行等差数列的公差为 d,各列的公比为 q. 1 ∴ a44=2a43-a42= . 4 由 a44=a24? q ,得,
2

2

q= .
∴ ∴ ∴ ∴ 令 Sn= a11+a22+?+ann. 则

1 2

a12=a42? q-3=1. a14-a12 1 d= = ,
4-2 2

a1k=a12+(k-2)d= k(k=1,2, 3 ,?,n) akk=a1kqk-1= k?( )k-1=( )k?k.
1 2 1 2 1 2

1 2

n n+1 n 1 k k-1 1 1 n S- S= Σ k- Σ = + Σ k k- n+1 2 k=12 k=2 2 2 k=22 2

= + - n-
∴ S=2-

1 2

1 2

1 2

n
2
n+1

=1-

n+2
2
n+1

.

n+2
2
n



五.设棱锥 M—ABCD 的底面为正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD 的面积为 1 ,试 求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点. 【解析】证明 ∵O 为⊿ABC 的外心,∴ OA=OB. ∵ O1 为⊿PAB 的外心,∴O1A=O1B. ∴ OO1⊥AB. 作⊿PCD 的外接圆⊙O3,延长 PO3 与所作圆交于点 E,并与 AB 交于点 F,连 DE,则 ?1=?2=?3,?EPD=?BPF, ∴ ?PFB=?EDP=90?. E ∴ PO3⊥AB,即 OO1∥PO3. 1 D 同理,OO3∥PO1.即 OO1PO3 是平行四边形. ∴ O1O3 与 PO 互相平分,即 O1O3 过 PO 的中点. O3 2 C 同理,O2O4 过 PO 中点. O4 P ∴ OP、O1O3、O2O4 三直线共点.
O2

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,??,200},

O O1 F

G={a1,a2,??,a100}? ? E.
且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1?i<j?100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ ai=10080. i=1

A

3

B

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

∴ x1 +x2 +?+x100 +(201-x1) +(201-x2) +?+(201-x100) =2(x12+x22+?+x1002)-2?201?(x1+x2+?+x100)+100?2012 =2(x12+x22+?+x1002)-2?201?10080+100?2012

2

2

2

2

2

2

=12+22+32+?+2002.
2 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴ x1 +x2 +?+x100 = [(1 +2 +3 +?+200 )+2?201?10080-100?201 ] 2

= [ ?200?201?401+201?20160-20100?201] = ?[100?67?401+201?60]=1349380.为定值.
三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1?Ci?39,1?i?n)来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须 i=1 坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下. 1 2

1 1 2 6

n

一.选择题: 1.由一个正方体的三个顶点所能构成的正 三角形的个数为( A.4 B.8 C.12 D.24 a b c a+b-c 2.设 a、b、c 均为非零复数,且 = = ,则 的值为( b c a a-b+c
2

)

)
2

A.1 B.±ω C.1,ω ,ω D.1,-ω ,-ω 3 3.设 a 是正整数,a<100,并且 a +23 能被 24 整除,那么,这样的 a 的个数为( ) A.4 B.5 C.9 D.10 4.设函数 y=f(x)对于一切实数 x 满足 f(3+x)=f(3-x).且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同 的实数根,则这 6 个实根的和为( ) A.18 B.12 C.9 D.0 2 2 5. 设 S={(x, y)|x -y =奇数, x, y∈R}, T={(x, y)|sin(2π x2)-sin(2π y2)=cos(2π x2) 2 -cos(2π y ),x,y∈R},则( ) A.S? ?T
2

B.T? ?S

C.S=T )

D.S∩T=?

6.方程|x-y |=1-|x|的图象为(
y
1 1
1 1

y
1 1

y
( 1 2 ,1)

y
1
(1,1)

O

x

-1 2

-

1 2

O
-1

1 2

x

-

1 2

O1
2

-1

(

1 2

x
,-1)

-

1 2

O
-1

1 2

1

x
(1,-1)

A.

B.

C.

D.

二.填空题: 2 2 1.cos 10°+cos 50°-sin40°sin80°= . 2.在△ABC 中,已知三个角 A、B、C 成等差数列,假设它们所对的边分别为 a,b,c, C-A 并且 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin = . 2 3.将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组: {1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},?? (第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组. 2000 6 4.1991 除以 10 ,余数是 . 5.设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3,则 log3|(z1- z2 )2000+(- z1

z2)2000|=

. 6.设集合 M={1,2,?,1000},现对 M 中的任一非空子集 X,令 α X 表示 X 中最大数 与最小数的和.那么,所有这样的 α X 的算术平均值为 . 三.设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将 三棱锥截为上、下两部分,试求此两部分的体积比.
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四.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦.已知|OF|=a,|PQ|=B.求△ OPQ 的面积. 2 五.已知 0<a<1,x +y=0,求证: 1 x y loga(a +a )?loga2+ . 8

1991 年全国高中数学联赛二试题 一.设 S={1,2,?,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在 S 中, 且添加 S 的其他元素于 A 后不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数(这里只 有两项的数列也看作等差数列).

二.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点) 或内部可以找出四个 1 点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 . 4

三. 设 an 是下述自然数 N 的个数: N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1、 3 或 4. 求 证:a2n 是完全平方数.这里,n=1,2,?.

1991 年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题: 1.由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( A.4 B.8 C.12 D.24 【答案】B 【解析】每个正方形的顶点对应着一个正三角形.故选 B )

3.设 a 是正整数,a<100,并且 a +23 能被 24 整除,那么,这样的 a 的个数为( ) A.4 B.5 C.9 D.10 【答案】B 3 3 【解析】即 24|a -1,而 a≡0,±1,±2,±3,4,则 a ≡0,±1,0,±3,0.故 a -1≡0(mod 8). 3 若 a≡0 ,1,2(mod 3),则 a ≡0,1,-1(mod 3),∴ a-1≡0(mod 3).即 a-1≡0(mod 24).选 B.

3

5. 设 S={(x, y)|x -y =奇数, x, y∈R}, T={(x, y)|sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x ) 2 -cos(2π y ),x,y∈R},则( ) A.S? ?T B.T? ?S C.S=T D.S∩T=?

2

2

2

2

2

【答案】A 2 2 2 2 2 2 【解析】若 x -y 为奇数,则 sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x )-cos(2π y )成立, 即 S?T. 又若 x=y 时,sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x )-cos(2π y )也成立,即得 S? ? T,选
2 2 2 2

A.

6.方程|x-y |=1-|x|的图象为(
y
1 1
1 1

2

)
y
1 1
( 1 2 ,1)

y

y
1
(1,1)

O

x

-1 2

-

1 2

O
-1

1 2

x

-

1 2

O1
2

-1

(

1 2

x
,-1)

-

1 2

O
-1

1 2

1

x
(1,-1)

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【 解 析 】 ∵
2 2

|x - y |=
2

2

?x-y (x?y ), ? 2 2 ?y -x (x<y ).

2

2

故 此 方 程 等 价 于

y =1-x,即y =2x-1 (x?y ), ? ?x- 2 2 2 ? y -x=1-x,即y =1 (0?x<y ), 2 2 ? ? y -x=1+x,即y =2x+1(x<0).
故选 D.

2.在△ABC 中,已知三个角 A、B、C 成等差数列,假设它们所对的边分别为 a,b,c, C-A 并且 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin = . 2

3.将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大 按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组: {1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},?? (第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组. 【答案】32 2 2 2 【解析】 由于 1+3+?+(2n-1)=n , 故第 n 组最后一数为 2n -1, 于是解 2(n-1) -1+2

?1991?2n -1,得 n=32.即在第 32 组.

2

5.设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3,则 log3|(z1- z2 )2000+(- z1

z2)2000|=



【答案】4000 2 2 2 2 【解析】由|z1+z2| +|z1-z2| =2(|z1| +|z2| ),得|z2|=3.由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=3,故 argz1-argz2=±120°. ∴ |(z1 - z2 )
2000

+( - z1 z2)

2000

|=2 ? 3

4000

|c os(120° ? 2000)|=3

4000

. 故 log3|(z1 - z2 )

2000

+( - z1

z2)2000|=4000.

三.设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将 三棱锥截为上、下两部分,试求此两部分的体积比. 【解析】 P M 是 PO 中点,延长 AO 与 BC 交于点 D,则 D 为 BC 中点,连 PD,由于 AM 在平面 PAD 内,故延长 AM 与 PD 相交,设交点为 F.题中截面与面 PBC 交于过 F G F 的直线 GH,G、H 分别在 PB、PC 上.由于 BC∥截面 AGH,∴GH∥BC. M PM OA DF PM OA 2 DF E 在面 PAD 中,△POD 被直线 AF 截,故 ? ? =1,但 =1, = ,∴ MO AD FP MO AD 3 FP A

H

= .

3 2

O

C D

B



PF 2 S?PGH 4 S?PGH 4 = ,∴ = ? = .而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点 A 的两 PD 5 S?PBC 25 SHGBC 21

个棱锥 A—PGH 及 A—HGBC.故二者体积比=4∶21.

第二试 一.设 S={1,2,?,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在 S 中, 且添加 S 的其他元素于 A 后不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数(这里只 有两项的数列也看作等差数列).

解法二: 对于 k=[ ], 这样的数列 A 必有连续两项, 一项在{1, 2, ?, k}中, 一在{k+1.k+2, ?, 2

n

n}中,反之,在此两集合中各取一数,可以其差为公差构成一个 A,于是共有这样的数列
1 2 1 2 当 n=2k 时,这样的 A 的个数为 k = n 个;当 n=2k+1 时,这样的 A 的个数为 k(k+1)= 4 4 (n -1)个. 1 2 ∴ 这样的数列有[ n ]个. 4
2

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二.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个 1 点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 . 4 【解析】证明:考虑四边形的四个顶点 A、B、C、D,若 △ABC、△BCD、△CDA、△DAB 的面积,设其中面积最小的三角形为△ABD. 1 ⑴ 若 S△ABC> ,则 A、B、C、D 即为所求. 4 1 3 ⑵ 若 S△ABD< ,则 S△BCD> ,取△BCD 的重心 G,则以 B、C、D、G 这 4 点中 4 4 1 的任意 3 点为顶点的三角形面积> . 4
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D A E

1 1 ⑶ 若 S△ABD= ,其余三个三角形面积均> S△ABD= . 4 4 1 3 由于 S△ABC+S△ACD=1,而 S△ACD> ,故 S△ABC< =S△BCD. 4 4 ∴ 过 A 作 AE∥BC 必与 CD 相交,设交点为 E. 1 1 1 则∵ S△ABC>S△ABD,从而 S△ABE>S△ABD= .S△ACE=S△ABE> ,S△BCE=S△ABC> .即 A、B、 4 4 4

B

C

A E
h

a

D F

O

C、E 四点即为所求.
1 1 ⑷ 若 S△ABD= ,其余三个三角形中还有一个的面积= ,这个三角形不可能 4 4 1 1 是△ BCD,(否则 ABCD 的面积= ),不妨设 S△ADC= S△ABD= .则 AD∥BC,四边形 2 4
B

3a

C

ABCD 为梯 形.
1 3 由于 S△ABD= ,S△ABC= ,故若 AD=a,则 BC=3a,设梯形的高=h, 4 4 则 2ah=1.设对角线交于 O,过 O 作 EF∥BC 分别交 AB、CD 于 E、F.

三. 设 an 是下述自然数 N 的个数: N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1、 3 或 4. 求 证:a2n 是完全平方数.这里,n=1,2,?. _______ 【解析】证明:设 N= x1x2?xk ,其中 x1,x2,?,xk∈{1,3, 4 }.且 x1+x2+?+xk=n.假 定 n>4. 删去 xk 时, 则当 xk 依次取 1, 3, 4 时, x1+x2+?+xk-1 分别等于 n-1,n-3,n-4.故 当 n>4 时, an=an-1+an-3+an-4. ① a1=a2=1,a3=2,a4=4, 利用①及初始值可以得到下表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ??
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an 规 律

1 1

1 2 1

2 1? 2

4 2 2

6 2?3

9 2 3

15 3?5

25 2 5

40 5? 8

64 2 8

104 8?13

169 2 13

273 13?21

441 2 21

?? ??

可找到规律:

2 1= fkfk+1+fk-1(fk+fk-1) a2(k+1)=a2k+1+a2k-1+a2k-2=fkfk+1+fk-1fk+fk- = fkfk+1+fk-1fk+1=fk+1(fk-1+fk)=fk+1fk+1=fk2 +1

a2(k+1)+1=a2(k+1)+a2k+a2k
+fkfk+1=fk+1(fk+1+fk)=fk+2fk+1.

- 1

=f k2 +1 +f 2 k +fk

- 1 k

f = f k2 +1 +fk(fk+fk

- 1

)=

f k2 +1

证明 2:(用特征方程)由上证得①式,且有 a1=a2=1,a3=2,a4=4, 4 3 2 2 由此得差分方程: λ -λ -λ -1=0. ?(λ +1)(λ -λ -1)=0. 此方程有根 λ =±i, λ = 1± 5 . 2 ∴ 令 an=α i +β (-i ) +γ (
n n

1+ 5 2 1- 5 2 ) +?( ) 2 2

2-i n 2+i n 1 1+ 5 n+2 1 1- 5 n+2 利用初值可以求出 an= ?i + ?(-i) + ( ) + ( ) . 10 10 5 2 5 2

∴ a2n={

1

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2 [( ) -( ) ]} . 2 2 5

得 a2n=bn=

1 3+ 5 n n [2( - 1) +( ) 5 2

+1

+(

3- 5 n+1 1 1+ 5 2(n+1) 1- 5 2(n+1) ) ]= [( ) +( ) - 2 5 2 2

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2( ) ( ) ] 2 2

={

1 5

[(

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2 ) -( ) ]} . 2 2

记 fn=

1 5

[(

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 1± 5 2 ) -( ) ],其特征根为?1,2= .故其特征方程为? -?- 2 2 2

1=0.于是其递推关系为 fn=fn-1+fn-2. 而 f0=1,f1=1,均为正整数,从而对于一切正整数 n,fn 为正整数.从而 a2n 为完全平方 数.

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C) (D) 1992 1993 1993 1992

(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 2 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B )4 3 (C)6 3 (D)12 3 6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是
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x y z

z x

______. 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______. 3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条, 使得其中任意 两条线段所在的直 线 都是异面直线,则 k 的最大值是_____.
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4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( ) 的值是______. 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 4 2 4 2 6.函数 f(x)= x -3x -6x+13- x -x +1的 最大值是_____.

z2 z1

3

4 1 三、(20 分)求证:16< Σ < 17. i=1 k
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四、(20 分)设 l,m 是两条异 面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离.

第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位 置.

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二、 (35 分) 设集合 Sn={1,2,?,n}. 若 X 是 Sn 的子集, 把 X 中所有数的和称为 X 的“容 量”(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n?3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n?3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.

三、(35 分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取 6 个 格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|?2,|yi|?2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三 点不在同一条直线上.试证:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三 角形,它的面积不大于 2.

1992 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnB n| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C ) (D) 1992 1993 1993 1992 【答案】B 【 解 析 】 y=((n+1)x - 1)(nx - 1) , ∴ 1992 |A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|= ,选 B. 1993 |AnBn|= 1 1

n



n+1

, 于 是

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log b A sinA x=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A)是 等腰三角形,但不是直角三角形 (C)是等腰直角三角形
(B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形

【答案】B 【解析】 x2=4x-4.根为 x=2.∴ C=2A,?B=180°-3A,sinB=2sinA.?sin3A=2sinA, 2 ?3-4sin A=2.A=30°,C=60°,B=90°.选 B. 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为 坐标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 【答案】A
2 2

2z1 π π 1 3 【解析】 =cos ±isin .∴ |z2|=8,z1、z2 的夹角=60°.S= ?4?8? =8 3.选 z2 3 3 2 2

A.

二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是

x y z

z x

______. 【答案】

34 15
2 2

2xz (x+z) 64 x z 2 2 2 【解析】16y =15xz,y= ,?16?4x z =15xz(x+z) .由 xz≠0,得 = ,? + x+z xz 15 z x

= .
2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是 【答案】7

34 15



1 【解析】7x=5x+2kπ ,或 7x=-5x+2kπ ,(k∈Z)? x =kπ ,x= kπ (k∈Z),共有 7 6 解.

6.函数 f(x)= 【答案】 10

x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____.

【解析】f(x)= (x -2) +(x-3) - (x -1) +x ,表示点(x,x )与点 A(3,2)的距离 及 B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的直线必与抛物线交于 两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于|AB|= 10.即所求最小值为 10.

2

2

2

2

2

2

2

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离. 【解析】 过 m 作平面 α ∥l, 作 AP⊥α 于 P, AP 与 l 确定平面 β , β ∩α =l?, l?∩m=K. 作 BQ⊥α ,CR⊥α ,垂足为 Q、R,则 Q、R∈l?,且 AP=BQ=CR=l 与 m C 的距离 d. l ? 连 PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知 PD、QE、RF 都⊥m.

B

A

PD= 15-d2,QE=

49 2 2 -d ,RF= 10-d . 4

m

R

Q

P

KF l' ? 当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF, 2 2 2 ? 49-4d = 15-d + 10-d .解之得 d= 6 2 2 2 当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PD-RF,? 49-4d = 15-d - 10-d .无实解.

E D

∴ l 与 m 距离为 6.

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)=

xn+1-x-n-1 1 (x?0,±1),令 y=x+ . -1 x-x x

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)=

? ? ? y -C ? ?
n

n n 1 i yn-Cn-1yn-2+?+(-1)iCn-i yn-2i+?+(-1)2,(i=1,2,?, ,n为偶数)
2
1 n-2 n-1

n-1 n-1 2 y,(i=1,2,?,n-1,n为奇数) y +?+(-1) Cn-i+?+(-1) 2 C n+1 2
i i

2

2.若 m 为奇数,则 m+1 为偶数,由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有

fm(x)= y


m-1

-C

1 m-2

y

m-2

+ ? +( - 1 ) ?C m-i y

i

i

m - 2i

m- 1 2 21 y + ? +( - 1) ?C m- 2

m-1

m-1 m-1 1 i-1 21 fm - 1(x)= ym - 1 - C m-2 ym - 3+ ? +( - 1)i - 1C m-i ym+1 - 2i+ ? +( - 1) 2 C m-
2 ④ 用 y 乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为

m-1 m-1 m-1 m+1 m+1 2 1=-(-1) 2 Cm+1 2 =(-1) 2 . -(-1) 2 Cm-
2 2

m+1
于是得到 yfm(x)-fm-1(x)=y -Cm y
m+1
1 m-1

+?+(-1) 2 ,即仍有对于 n=m+1,命题成立

综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立.

第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A2 、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位 置.

显然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的外心都是点 O,而它们的重心依次是 1 1 1 1 ( (cosβ +cosγ +cos?) , (sinβ +sinγ +sin?)) 、 ( (cosγ +cos?+cosα ) , 3 3 3 3 (sinα +sin?+sinγ ))、 1 1 1 1 ( (cos?+cosα +cosβ ) , (sin?+sinα +sinβ )) 、 ( (cosα +cosβ +cosγ ) , 3 3 3 3 (sinα +sinβ +sinγ )). 从而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心依次是 H1(cosβ +cosγ +cos? , sinβ +sinγ +sin?) 、 H 2 (cosγ +cos?+cosα , sinα +sin?+sinγ )、 H 3 (cos?+cosα +cosβ ,sin?+sinα +sinβ ) 、 H 4 (cosα +cosβ +cosγ , sinα +sinβ +sinγ ). 而 H1、H2、H3、H4 点与点 O1(cosα +cosβ +cosγ +cos?,sinα +sinβ +sinγ +sin?)的距 离都等于 1,即 H1、H2、H3、H4 四点在以 O1 为圆心,1 为半径的圆上.证毕.
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二、(35 分)设集合 Sn={1,2,?,n}.若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有数的和称为 X 的“容 量”(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n?3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.

三、(35 分) 在平面直角坐标系中,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满 足: ⑴ |xi|?2,|yi|?2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三点不在一条直线上. 试证明:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面 积不大于 2.

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 M={(x,y)| |tan?y|+sin ?x=0},N={(x,y)|x +y ?2},则 M∩N 的元素个数是
2 2 2

( (A)4

) (B)5 (C)8 (D)9

5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c, 若 c?a 等于 AC 边上的高 h, 则 sin +cos

C-A
2

C+A
2

的值是(

) (B) 1 2 (C) 1 3 (D)?1

(A)1

6 . 设 m , n 为 非 零 实 数 , i 为 虚 数 单 位 , z?C , 则 方 程 |z+ni|+|z?mi|=n 与 |z+ni|?|z?mi|=?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.二次方程(1?i)x +(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条
2

件是?的取值范围为________. 2.实数 x,y 满足 4x ?5xy+4y =5,设 S=x +y ,则
2 2 2 2

1

Smax Smin

+

1

=_______.

3.若 z?C,arg(z ?4)=
2 93

5π π 2 ,arg(z +4)= ,则 z 的值是________. 6 3

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10 ? 4.整数? ?1031+3?的末两位数是_______. ? ?

三、(本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D?,则

D?为三棱锥 S-ABC 的外接球球心.

四、(本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不 同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.
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2

五、(本题满分 20 分) 设正数列 a0,a1,a2,?,an,?满足 anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n?2)且 a0=a1=1, 求{an}的通项公式.

第二试 一 、(35 分) 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该 凸四边形分割成 n 个钝角三角形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝 角三角形顶 点.试证 n 应满足的充分必要条件是 n?4.

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三、(35 分) 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外, 且位于直线 m 上方, A 点离 M 点最远, C 点离 M 点最近, AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线,P,Q,R 为切点.试证:(1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP<AC?BQ;(3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ.

1993 年全国高中数学联合竞赛解答
第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 M={(x,y)| |tan?y|+sin ?x=0},N={(x,y)|x +y ?2},则 M∩N 的元素个数是
2 2 2

( (A)4

) (B)5 (C)8 (D)9

3.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对, 则这样的(A,B)对的个数是( (A)8 【答案】D 【解析】a1∈A 或?A,有 2 种可能,同样 a1∈B 或?B,有 2 种可能,但 a1?A 与 a1?B 不 能同时成立,故有 2 -1 种安排方式,同样 a2、a3 也各有 2 -1 种安排方式,故共有(2 -1) 种安排方式.选 D.
2 2 2 3

) (C)26 (D)27

(B)9

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h ,则 sin

C-A
2

+cos

C+A
2

的值是( (B) 1 2

) (C) 1 3 (D)?1

(A)1

6 . 设 m , n 为 非 零 实 数 , i 为 虚 数 单 位 , z?C , 则 方 程 |z+ni|+|z?mi|=n 与 |z+ni|?|z?mi| ? ?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( 【答案】B 【解析】方程①为椭圆,②为双曲线的一支.二者的焦点均为(-ni,mi),由①n>0, )
[来源:21 世纪教育网]

故否定 A, 由于 n 为椭圆的长轴,而 C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长 轴,故否定 C. 由 B 与 D 知, 椭圆的两个个焦点都在 y 轴负半轴上, 由 n 为长轴, 知|OF1|=n, 于是 m<0, |OF2|=-m.曲线上一点到-ni 距离大,否定 D,故选 B.

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.二次方程(1?i)x +(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条
2

件是?的取值范围为________.

2.实数 x,y 满足 4x ?5xy+4y =5,设 S=x +y ,则
2 2 2 2

1

Smax Smin

+

1

=_______.

【答案】

8 5
2 2

【解析】令 x=rcosθ ,y=rsinθ ,则 S=r 得 r (4-5sinθ cosθ )=5.S=

5 . 5 4- sin2θ 2
y

5 5 4- 2 2 8 ∴ + = + = . Smax Smin 5 5 5 1 1 4+
z
2

3.若 z?C,arg(z ?4)=
2

5π π 2 ,arg(z +4)= ,则 z 的值是____ ____. 6 3

-4

O

4

x

【答案】±(1+ 3i) 【 解 析 】 如 图 , 可 知 z 表 示 复 数 4(cos120°+isin120°) . ∴ 2(cos60°+isin60°)=±(1+ 3i).
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2

z= ±

10 ? 4.整数? ?1031+3?的末两位数是_______. ? ? 【答案】08 【解析】令 x=10 , 则得 数字为 09-1=08.
31

93

x3 x3+27-27 2 27 27 = =x -3x+9- .由于 0< <1,故所求末两位 x+3 x+3 x+3 x+3

5.设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 logx01993+logx11993+logx21993?k?logx01993 恒

x1
成立,则 k 的最大值是_______.

x2

x3

x3

6.三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片 上打 印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片 则 不然,如 531 倒过来看是 张卡片. 【答案】34 【解析】首位与末位各可选择 1,6,8,9,有 4 种选择,十位还可选 0,有 5 种选择, 共有 4?5?4=80 种选择. 但两端为 1,8,中间为 0,1,8 时,或两端为 9、6,中间为 0,1,8 时,倒后不变; 共有 2?3+2?3=12 个,故共有(80-12)÷2=34 个. ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____

三、(本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的 中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D? ,则 D? 为三棱锥 S—ABC 的外接球球心.

四、(本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不 同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.
2

五、(本题满分 20 分) 设正数列 a0、a1、a2、?、an、?满足

anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n?2)
且 a0=a1=1,求{an}的通项公式. 【解析】变形,同除以 an-1an-2 得: 令

an =2 an-1

an-1 +1, an-2

an +1=bn,则得 bn=2bn-1. an-1

即{bn}是以 b1= ∴ bn=2 . ∴
n

1 +1=2 为首项,2 为公比的等比数列. 1

an =(2n-1)2.故 an-1
?

∴ ?

a0=1, n 2 n-1 2 1 2 ? an=(2 -1) (2 -1) ?(2 -1) .(n?1)

第二试 一、(35 分) 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶 点.试证 n 应满足的充分必要条件是 n?4.

n=2 时,连 1 条对角线把四边形分成了 2 个三角形,但其中最多只能有 1 个钝角三角形. n=3 时,无法从同一顶点出发连线段把四边形分成 3 个三角形,现连了 1 条对角线 AC
后,再连 B 与 AC 上某点得到线段,此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形. ∴当 n=2,3 时无法得到满足题目要求的解.只有当 n?4 时才有解.

二、(35 分) 设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1,A2,?,Am 两两互不包含. 试证:(1) Σ

m 1

?1;

| i=1C|A n

2 |Ai| i| (2) Σ C|A n ?m .其中|Ai|表示 Ai 所含元素的个数,C n 表示 n 个不同元素取|Ai| i=1

m

个的组合数.

三、(35 分) 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外, 且位于直线 m 上方, A 点离 M 点最远, C 点离 M 点最近, AP,BQ,CR 为 圆 O 的 三 条 切 线 , P,Q,R 为 切 点 . 试 证 : (1)l 与 圆 O 相 切 时 ,

AB?CR+BC?AP=AC?BQ;(2)l 与圆 O 相交时, AB?CR+BC?AP<AC?BQ;(3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ.
【解析】证明:设 MA=a,MB=b,MC=c,OM=d,⊙O 的半径=r. 且设 k=d -r .则当 k>0 时,点 M 在⊙O 外,此时,直线 l 与⊙O 相离; 当 k=0 时,点 M 在⊙O 上,此时,直线 l 与⊙O 相切; 当 k<0 时,点 M 在⊙O 内,此时,直线 l 与⊙O 相交. ∴ AP= a +d -r = a +k,同理,BQ= b +k,CR= c +k. 则 AB?CR+BC?AP-AC?BQ= AB?CR+BC?AP-(AB+BC)?BQ=BC?(AP-BQ)-AB?(BQ-CR)
2 2 2 2 2 2 2 2

l

A

P
r

Q R
d

B C M
m

O

=BC?

AP2-BQ2 BQ2-CR2 -AB? AP+BQ BQ+CR

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcos x+c>0 都成立的充要 条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) (D)

a2+b2=c a2+b2>c

a2+b2<c

4 、 已 知 0<b<1 , 0<a<

π logbsina logbcosa , 则 下 列 三 数 : x=(sina) , y=(cosa) , 4

z=(sina)

logbcosa
[来源:21 世纪教育网]

(A)x<z<y

(B)y<z<x

(C)z<x<y

(D)x<y<z

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n- 2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

π (C)(0, ) 2

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

6、在平面直角坐标系中,方程 曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形

|x+y| |x-y| + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的 2a 2b

(B)正方形

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(D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

第二试 一、 (本题满分 25 分) x 的二次方程 x +z1x+z2+m=0 中,z1, z2, m 均是复数, 且 z1-4z2=16+20i, 设这个方程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值.
2 2

二、(本 题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数 列的第 1000 项。

(1)求 m(G)的最小值 m0.

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(2)设 G*是使 m(G*)=m 0 的一个图案,若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶 点的三边颜色相同的三角形.

1994 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条 件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) (D)

a2+b2=c

a2+b2<c

a2+b2>c

【答案】C 【解析】asinx+bcosx+c= a +b sin(x+φ )+c∈[- a +b +c, a +b +c].故选 C. 2、给出下列两个命题:(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0.(2) 设 a,b,c 都是复数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是 (A)命题(1 )正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n?1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n -6|< 1 的最小整数 n 是 125 (A)5 【答案】C (B)6 (C)7 (D)8

1 1 【解析】(an+1-1)=- (an-1),即{ an-1}是以- 为公比的等比数列, 3 3 1 n 1-(- ) 3 1 n-1 1 n 1 1 ∴ an=8(- ) +1.∴ Sn=8? +n=6+n-6(- ) ,?6? n< ,?n?7.选 C. 3 1 3 3 125 1+ 3

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n- 2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

(C)( 0 ,

π ) 2

(D)(

n-2 n- 1 π, π) n n

6、在平面直角坐标系中,方程 曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形 【答案】D

|x+y| |x-y| + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的 2a 2b

(B)正方形 (D)非正方形的菱形

【解析】x+y?0,x-y?0 时,(一、四象限角平分线之间):(a+b)x+(b-a)y=2ab;

x+y?0,x-y<0 时,(一、二象限角平分线之间):(b-a)x+(a+b)y=2ab;

x+y<0,x-y?0 时,(三、四象限角平分线之间):(a- b)x-(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y<0 时,(二、三象限角平分线之间):-(a+b)x+(a-b)y=2ab.
四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形).选 D. 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

?x +sinx-2a=0, π π 2. 已知 x, y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = 4 4 ?4y +sinycosy+a=0

3



5 3. 已知点集 A={(x, y)|(x-3)2+(y-4)2?( )2}, B={(x, y)|(x 2 5 2 -4) +(y-5) >( ) },则点集 A∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整 2
2 2

y

(4,5)

数的点)的个数为 【答案】7


1

(3,4)
3 2

O

1

2

3

x

【解析】如图可知,共有 7 个点,即(1,3),(1,4),(1, 5 ), (2,2),(2,3),(3,2),(4,2)共 7 点.
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5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α ,则 sinα =



【答案】

3 3
A'

D' B' D

C'

【解析】12 条棱只有三个方向,故只要取如图中 AA?与平面

C B

AB?D?所成角即可.设 AA?=1,则 A?C= 3,A?C⊥平面 AB?D?,A?C 被
平面 AB?D?、BDC?三等分.于是 sinα = 3 . 3

A

第二试 一、 (本题满分 25 分)

x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1, z2, m 均是复数, 且 z1-4z2=16+20i,

2

设这个方程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值. 【解析】设 m=a+b i(a,b∈R).则△=z1 -4z2-4m=16+20i-4a-4bi=4[(4-a)+(5-
2

b)i].设△的平方根为 u+vi.(u,v∈R)

二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数 列的第 1000 项。 1 1 【解析】 由 105=3?5?7; 故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105?(1- )(1- )(1 3 5 1 - )=48 个。1000=48?20+48-8, 105?20=2100.而在不超过 105 的与 105 互质的数中第 7 40 个数是 86. ∴ 所求数为 2186。

由Δ ACH 为正三角形,易证 IC+IA=IH.

由 OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R. 设∠OHI=α ,则 0<α <30°. ∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα +cosα )=2R 2sin(α +45°) 又 α +45°<75°,故 IO+IA+IC<2 2R( 6+ 2)/4=R(1+ 3)

四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1,P2,?,P1994}, P 中任三点均不共线, 将 P 中的所有的点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰好 属于一组,然后将 在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G, 不同 的分组方式得到不同的图案, 将图 案 G 中所含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案,若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为 顶点的三边颜色相同的三角形.

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于是可知,只有当各 ni 的值相差不超过 1 时,m(G)才能取得最小值. 1994=83?24+2.故当 81 组中有 24 个点,2 组中有 25 个点时,m(G)达到 最小值.

m0=81C24+2C25=81?2 024+2?2300=168544.

3

3

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列{an }满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所 对应的复数依次为 Z1, Z2, ?, Z20, 则复数 Z1 ,Z2 ,?,Z20 所对应的不同的点的个数是( (A)4 (B)5 (C)10 (D)20
1995 1995 1995

)

6 . 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA, 1 1 1 PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 + +

PQ PR PS

(A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

(B 有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 α 2为实数,则|α |= β

1. 设 α ,β 为一对共轭复数,若|α -β |=2 3,且



2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 . 2 3.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x-[lgx]-2=0 的实根个数是



?y?3xx, 4. 直角坐标平面上,满足不等式组? y? , 的整点个数是 3 ? x+y?100



5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 . 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x?A,则 A 中元素的个数最多是 .

第二试 2 一、(25 分) 给定曲线族 2(2sinθ -cosθ +3)x -(8sinθ +cosθ +1)y=0,θ 为参数,求该 曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值.

二 、 (25 分) 求一切实数 p,使得三次方程 5x -5(p+1)x +(71p-1)x+1=66p 的三个根均为 正整数.

3

2

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四、(35 分) 将平面上的每个点都以红,蓝两色之一着色。证明:存在这样两个相似的三角 形,它们的相似比为 1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.

199 5 年全国高中数学联赛一试(解答)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中 最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 【答案】C 2 2 2 【解析】3(a+7d)=5(a+12d),?d=- a,令 an=a- a (n-1)?0,an+1= a- a n<0, 39 39 39 得 n=20.选 C.

3. 如果甲的身高 数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子 中,如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最 多可能有( )

4. 已知方程|x-2n|=k x(n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是( ) 1 (A)k>0 (B)0<k? 2n+1 1 1 (C) <k? (D)以上都不是 2n+1 2n+1 【答案】B 【解析】由|x-2n|?0,故 k?0,若 k=0,可知在所给区间上只有 1 解.故 k>0. 1 由图象可得,x=2n+1 时,k x?1.即 k? .故选 B. 2n+1 又解:y=(x-2n) 与线段 y=k x(2n-1<x?2n+1)有两个公共点.x -(4n+k )x+4n =0 有 2 2 2 2 2 2 (2n-1, 2n+1]上有两个根. 故△=(4n+k ) -16n >0. 且(2n-1) -(4n+k )(2n-1)+4n >0, 1 2 1 2 2 2 (2n+1) -(4n+k )(2n+1)+4n ?0,2n-1<2n+ k <2n+1.? k? . 2 2n+1
2 2 2 2 2

6. 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S, 与 PA, 1 1 1 PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 + +

PQ PR PS

(A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等

(B)有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

二、填空题(每小 题 9 分,共 54 分) 1. 设 α ,β 为一对共轭复数,若|α -β |=2 3,且 α 2为实数,则|α |= β .

【答案】2 【解析】设 α =x+yi,(x,y∈R),则|α -β |=2|y|.∴y=± 3. 设 argα =θ , 则可取 θ +2θ =2π , (因为只要求|α |, 故不必写出所有可能的角). θ = π ,于是 x=±1.|α |=2. 2 3

3.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x-[lgx]-2=0 的实根个数是 【答案】3 【解析】令 lgx=t,则得 t -2=[t].作图象,知 t=-1,t=2,及 1<t<2 内有一解. 1 当 1<t<2 时,[t]=1,t= 3.故得:x= ,x=100,x=10 3,即共有 3 个实根. 10
2

2



5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 . 【答案】420 【解析】顶点染色,有 5 种方法,
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底面 4 个顶点,用 4 种颜色染,A4=24 种方法,用 3 种颜色,选 1 对 顶点 C2,这一对 顶点用某种颜色染 C4,余下 2 个顶点,任选 2 色染,A3种,共有 C2C4A3=48 种方法;用 2 种 颜色染: A4=12 种方法; ∴共有 5(24+48+12)=420 种方法. 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x?A,则 A 中元素的个数最多是 .
2 1 2 1 1 2

4

1

第二试 2 一、(25 分) 给定曲线族 2(2sinθ -cosθ +3)x -(8sinθ +cosθ +1)y=0,θ 为参数,求该 曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值. 8sinθ +cosθ +1 【解析】以 y=2x 代入曲线方程得 x=0,x= . 2sinθ -cosθ +3

? 8sinθ +cosθ +1 ? 5.故只要求|x|的最大值即可. ∴ 所求弦长 l=? ? ?2sinθ -cosθ +3?
由(2x-8)sinθ -(x+1)cosθ =1-3x.?(2x-8) +(x+1) ?(1-3x) ,即 x +16x-16 ?0. 24 7 解之得,-8?x?2.即|x|?8(当 sinθ =± ,cosθ =? 时即可取得最大值).故得 25 25
2 2 2 2

最大弦长为 8 5.
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三、(35 分) 如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F,G,H,在弧 EF 与 GH 上分 别作圆 O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q,求证: MQ∥NP. 分析 要证 MQ∥NP,因 AB∥DC,故可以考虑 证明∠AMQ=∠CPN.现∠A=∠C,故可证Δ AMQ∽Δ CPN.于是要证明 AM∶AQ=CP∶CN.

四、(35 分) 将平面上的每个点都以红,蓝两色之一着色.证明:存在这样两个相似的 三角形,它们的相似比为 1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.

AB 边上的分点共有 n+1 个, 由于 n 为奇数, 故必存在其中两个 相邻的分点同色,(否则任两个相邻分点异色,则可得 A、B 异 色),不妨设相邻分点 E、F 同色.考察 E、F 所 在的小矩形的 另两个顶点 E?、F?,若 E?、F?异色,则△EFE?或△DFF?为三个顶 点同色的小直角三角形.若 E?、F?同色,再考察以此二点为顶

D

A

G

M

E'

E F B

N H F' 点而在其左边的小矩形,?.这样依次考察过去,不妨设这一 行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色. C P Q 同样,BC 边上也存在两个相邻的顶点同色,设为 P、Q, 则考察 PQ 所在的小矩形,同理,若 P、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色,则存在三 顶点同色的小直角三角形.否则,PQ 所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色.

[来源:21 世纪教育网]

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一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x +(y-1) =1 与椭圆 9x +(y+1) =9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形 为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形
[来源:21 世纪教育网]

2

2

2

2

1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- ,用 π n 表示它的前 n 项之积。则 π n(n∈ 2

N*)最大的是(
(A)π 9

) (B)π 11 (C)π 12 (D)π 13

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1, 球心 O1 在圆台的轴上, 球 O1 与圆台的上底面、 侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面 都只有一个公共点,除球 O2,圆台内最多还能放 入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 )

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1?log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 .

x

_ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1?z2 的实部为零,

z1 的辐角主值为 ,则 z2=_______.
3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ =1+cosθ ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平 面内绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______.

π 6

第二试 一、(本题满分 25 分)设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,?),数列{bn } 满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,?).求数列{bn }的前 n 项和.

二、(本题满分 25 分)求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ ∈[0, ],恒有 2 1 2 2 (x+3+2sinθ cosθ ) +(x+asinθ +acosθ ) ? . 8

?

三、(本题满分 35 分)如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三 边所在的三条直线都相切,E、F、 G、H 为切点,并且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 P A 与 BC 垂直。

四、(本题满分 35 分)有 n(n?6)个人聚会,已知:

? (1)每人至少同其中? ?2?个人互相认识; ? ?
n

? (2)对于其中任意? ?2?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ? ?
n
教育网]

[来源:21 世纪

证明:这 n 个人中必有三人两两认识.

1996 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x +(y-1) =1 与椭圆 9x +(y+1) =9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形 为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形
2 2 2 2

1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- ,用 π n 表示它的前 n 项之积。则 π n(n∈ 2

N*)最大的是(
(A)π 9

) (B)π 11 (C)π 12 (D)π 13

3. 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p ( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个 【答案】D

)

(B)只有一个 (D)有无穷多个

【解析】如果 p 为奇质数,p=2k+1,则存在 n=k (k∈N+),使 p+n+ n=2k+1.故选 D.

2

1 4. 设 x∈(- ,0),以下三个数 α 1=cos(sinx π ),α 2=sin(cosxπ ),α 3=cos(x+1)π 2 的大小关系是( (A)α 3<α 2<α 【答案】D
1

) (B)α 1<α 3<α
2

(C)α 3<α 1<α

2

(D)α 2<α 3<α

1

[来源:21 世纪教育网]

1 2 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值,那

x

么 f(x)在该区间上的最大值是( 11 3 3 4+ 2+ 4 2 13 3 1- 2+ 4 2

) 53 3 (B) 4- 2+ 4 2

(A)

(C)

(D)以上答案都不对

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上 底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面 及侧面都只有一个公共点,除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 4
O4 O2
2 O1 O2 3 3

)

【答案】B 【解析】O2 与下底距离=3,与O1 距离 =2+3=5,与轴距离=4,问题转化为在以 4 为半径的圆周上,能放几个距离为 6 的 点? 右图中,由 sin ∠O2HC=3/4>0.707,

H
C O3

H

即∠O2HO3>90°,即此圆上还可再放下 2 个满足要求的点.故选B.

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1?log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 .

x

【答案】2 -1 1 【解析】由已知,得 <logx1 0?1?1?lgx<2?10?x<100.故该集合有 90 个元素.其 2 真子集有 2 -1 个. _ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1?z2 的实部为零,
90

90

z1 的辐角主值为 ,则 z2=_______.

π 6

3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ =1+cosθ ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平 面内绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______。

4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等 的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________。 【答案】3

【解析】该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b.

5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每面恰染 一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。 则不同的染色方法共有_______种。 (注: 如果我们对两个相同 的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、 左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同。)

6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为 整数的点) 的个数为________. 【答案】4 【解析】把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x +y =199 的整数解数. 显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1?m,n?99. 2 2 2 则得 4m =199 -(2n-1) =(198+2n)(200-2n). m2=(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n) (mod 4)
2 2 2

?0,(当n?0,1(mod 4)时) 2 由于 m 为正整数,m ≡0,1 (mod 4);(n-1)(-n)≡? ?2,(当n?2,3(mod 4)时)

二者矛盾,故只有(0,±199),(±199,0)这 4 解. ∴ 共有 4 个.(199,±199),(0,0),(398,0). 第二试 一、(本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,?),数列{bn }满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1, 2,?).求数列{bn }的前 n 项和.

二、(本题满分 25 分) 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ ∈[0, ],恒有 2 1 2 2 (x+3+2sinθ cosθ ) +(x+asinθ +acosθ ) ? . 8

?

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三、(本题满分 35 分) 如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并 且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。

cos 设 P、A 在 EF 上的射影分别为 M、N,则 EM=EPcos∠FEP=(b+c)

B
2

sin

C
2 .

sin cos

B+C
2

B
2

又 BN=ccosB,故只须证 ccosB+

1 (b+c-a)= (b+c) 2

sin

C
2 ,

sin

B+C
2

即 sinCcosB+

1 (sinB+sinC-sin(B+C)) = 2

cos

B
2

sin

C
2 (sinB+sinC) 就是

sin

B+C
2

2cos

B-C
2

cos

B
2

C 1 1 B+C B -C sin =sinCcosB- sinBcosC- cosBsinC+sin cos 2 2 2 2 2

右边=

1 B+C B-C B-C B+C B-C sin(C-B)+sin cos =cos (sin -sin ) 2 2 2 2 2 2 2 cos

=2cos

B-C

B
2

sin

C
2

。故证。

四、(本题满分 35 分) 有 n(n?6)个人聚会,已知:
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? (1)每人至少同其中? ?2?个人互相认识; ? ?
n

? (2)对于其中任意? ?2?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ? ?
n
证明:这 n 个人中必有三人两两认识.

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n?2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a

4.在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 1 5 1 5 2 5.设 f(x)=x -π x,? ? arcsin ,β =arctan ,γ =arcos(- ),?=arccot(- ), 3 4 3 4 则 (A)f(α )>f(β )>f(?)>f(γ ) (B) f(α )> f(?)>f(β )>f(γ ) (C) f(?)>f(α )>f(β )>f(γ ) (D) f(?)>f(α )>f(γ )>f(β ) 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二.填空题(每 小题 9 分,共 54 分) 3 ?(x-1) +1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1.
2

2

2

2

.

2. 过双曲线 x - =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点, 若实数 λ 使得|AB| ?λ 2 的直线 l 恰有 3 条,则 λ = . 1? 3.已知复数 z 满足? ?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是

y2

?

z?



4.已知三棱锥 S?ABC 的底面 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 5.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也

停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 1 ?1 ?1 6.设 a ?logz+log[x(yz) +1],b ?logx +log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)? +1],记 a,b,c 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . 三、(本题满分 20 分) π π 设 x?y?z? ,且 x+y+z ? ,求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 12 2

五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

a a a = = = , ?a a a a a ? 1 1 1 1 1 a +a +a +a +a =4( + + + + )=S. ? a a a a a
2 1 3 2 4 3 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

其中 S 为实数且|S|?2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

第二试 (10 月 5 日上午 10:30?12:30) 一、(本题 50 分)如图,已知两个半径不相等的⊙O1 与⊙O2 相交于 M、N 两点,且⊙O1、⊙ O2 分别与⊙O 内切于 S、T 两点。求证:OM⊥MN 的充分必要条件是 S、N、T 三点共线。
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25 求最小的自然数 k,使得只要表 1 中填入的数满足 Σ xi,j?1(i=1,2,?,100), j=1 25 则当 i?k 时,在表 2 中就能保证 Σ x?i,j?1 成立。 j=1 表1
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表2

x1,1 x2,1
?

x1,2 x2,2
?

? ? ? ?

x1,25 x2,25
?

x?1,1 x?2,1
?

x?1,2 x?2,2
?

? ? ? ?

x?1,25 x?2,25
?

x100,1

x100,2

x100,25

x?100,1

x?100,2

x?100,25

1997 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n?2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a 【答案】A 【解析】x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,?.易知此数 列循环,xn+6=xn,于是 x100=x4=-a, 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故 S100=2b-a.选 A.

3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样 的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 【答案】C

2

4.在平面直角坐 标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 【答案】D 【解析】看成是轨迹上点到(0,-1)的距离与到直线 x-2y+3=0 的距离的比: x2+(y+1)2 5 = <1?m>5,选 D. |x-2y+3| m 1 +(-2)
2 2

2

2

2

1 5 1 5 2 5.设 f(x)=x -π x,? ? arcsin ,β =arctan ,γ =arcos(- ),?=arccot(- ), 3 4 3 4 则 (A)f(α )>f(β )>f(?)>f(γ ) (C) f(i)>f(α )>f(β )>f(γ ) 【答案】B π 【解析】f(x)的对称轴为 x= , 2 易得, 0<α < (B) f(α )> f(?)>f(β )>f(γ ) (D) f(?)>f(α )>f(γ )>f(β )

π π π π 2π 3π 5π < <β < < <γ < < <δ < .选 B. 6 4 3 2 3 4 6

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 ?(x-1) +1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1. 【答案】2
?(x-1) +1997(x-1)+1=0, 【解析】原方程组即? 3 ?(1-y) +1997(1-y)+1=0.
3

.

取 f(t)=t +1997t+1,f ?(t)=3t +1987>0.故 f(t)单调增,现 x-1=1-y,x+y=2.
3 2

1? 3.已知复数 z 满足? ?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是

?

z?



4.已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S 、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .

5.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也 停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 【答案】26 【解析】青蛙跳 5 次,只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证). 青蛙顺时针跳 1 次算+1, 逆时针跳 1 次算-1, 写5个 “□1” , 在□中填 “+” 号或 “-” 号: □1□1□1□1□1 规则可解释为:前三个□中如果同号,则停止填写;若不同号,则后 2 个□中继续填 写符号. 3 前三□同号的方法有 2 种;前三个□不同号的方法有 2 -2=6 种,后两个□中填号的 2 方法有 2 种. ∴ 共有 2+6?4=26 种方法. 6.设 a ?logz+log[x(yz)? +1],b ?logx? +log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)? +1],记 a,b,c 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . 【答案】log2
1 1 1

x 1 1 【解析】a=log( +z),b=log(yz+ ),c=log( +y). y x yz
∴ a+c=log(

yz x

1 1 + +yz+x)?2log2.于是 a、c 中必有一个?log2.即 M?log2,于是 M

的最小值?log2. 但取 x=y =z=1,得 a=b=c=log2.即此时 M=log2.于是 M 的最小值?log2. ∴ 所求值=log2.
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四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; y (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. Q 【解析】设某个正三角形的三个顶点都在同一支上.此三点 1 1 1 的坐标为 P(x1, ),Q(x2, ),R(x3, ).不妨设 0<x1<x2<x3,则 O

x1

x2

x3

R

x

x1 x2 x3

1 1 1 > > >0.

P

y2-y1 1 1 kPQ= =- ;kQR=- ; x2-x1 x1x2 x2x3

- tan∠PQR=

1

x1x2 x2x3
1

+

1 <0,从而∠PQR 为钝角.即△PQR 不可能是正三角形.

1+

x1x3x22

五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

a a a = = = , ?a a a a a ? 1 1 1 1 1 a +a +a +a +a =4( + + + + )=S. ? a a a a a
2 1 3 2 4 3 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

其中 S 为实数且|S|?2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

∴ q+ 1

1

q

∈R . 再 令 q=r(cosα +isinα ) , (r>0) . 则 q+

1

q

=(r+ )cosα +i(r - r

1

r

)sinα ∈R.?sinα =0 或 r=1.

1 1 1 1 5 1 1 若 sinα =0,则 q=±r 为实数.此时 q+ ?2 或 q+ ?-2.此时 q+ + ? ,或 q+ + ? q q q 2 2 q 2 3 - . 2 1 1 2 5 此时,由|(q+ + ) - |?1,知 q=-1.此时,|ai|=2. q 2 4 若 r=1,仍有|ai|=2,故此五点在同一圆周上. 2 3 4 5 ⑵ 若 1+q+q +q +q =0.则 q -1=0,∴ |q|=1.此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|,即此五 点在同一圆 上. 综上可知,表示复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.
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第二试

二.(本题 50 分)试问:当且仅当实数 x0,x1,?,xn(n?2)满足什么条件时,存 在实数 y0, y1, ?, yn 使得 z02=z12+z22+?+zn2 成立, 其中 zk=xk+iyk, i 为虚数单位, k=0, 1, ?, n。证明你的结论。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【 解 析 】 解 : z 0 =x0 - y0 +2x0y0i=(x1 +x2 + ? +xn ) - (y1 +y2 + ? +yn )+2(x1y1+x2y2+ ? +xnyn)i. 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ x0 -y0 =(x1 +x2 +?+xn )-(y1 +y2 +?+yn ); x0y0=x1y1+x2y2+?+xnyn. 2 2 2 2 2 2 2 2 若 x0 > x1 +x2 +?+xn ,则 y0 > y1 +y2 +?+yn . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 此时 x0 y0 >( x1 +x2 +?+xn )( y1 +y2 +?+yn )?(x1y1+x2y2+?+xnyn) =(x0y0) .矛盾. 2 2 2 2 故必 x0 ?x1 +x2 +?+xn . 2 2 2 2 反之,若 x0 ?x1 +x2 +?+xn 成立.此时,可分两种情况:

⑴ 当 x0 =x1 +x2 +?+xn 成立时,取 yi=xi(i=0,1,2,?,n), 2 2 2 2 于是 z0 =(x0+y0i) =x0 -y0 +2x0y0i=2x0y0i, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 而 z1 +z2 +?+zn =(x1 +x2 +? +xn )-(y1 +y2 +?+yn )+2(x1y1+x2y2+?+xnyn)i 2 2 2 2 =2(x1y1+x2y2+?+xnyn)i=2(x12+x22+?+xn2)i=2x02i=2x0y0i. 即 z0 =z1 +z2 +?+zn 成立.

2

2

2

2

三、(本题 50 分)在 100?25 的长方形表格中每一格填入一个非负实数,第 i 行第 j 列中 填入的数为 xi , j(i=1,2,?,100;j=1,2,?,25)(如表 1)。然后将表 1 每列中的 数按由小到大的次序从上到下重新排列为 x?1 , j?x?2 , j???x?100 , j(j=1,2,?,25)。 (如表 2) 25 求最小的自然数 k,使得只要表 1 中填入的数满足 Σ xi,j?1(i=1,2,?,100), j=1 25 则当 i?k 时,在表 2 中就能保证 Σ x?i,j?1 成立。 j=1 表1 表2

x1,1 x2,1
?

x1,2 x2,2
?

? ? ? ?

x1,25 x2,25
?

x?1,1 x?2,1
?

x?1,2 x?2,2
?

? ? ? ?

x?1,25 x?2,25
?

x100,1

x100,2

x100,25

x?100,1

x?100,2

x?100,25

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a > 1, b > 1, 且 lg(a + b)=lga+lgb, 则 lg(a –1)+lg(b –1) 的值(

)

(A)等于 l g2 (B)等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 2.若非空 集合 A={x|2a+1?x?3a – 5},B={x|3?x?22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a | 1?a?9} (B) {a | 6?a?9} (C) {a | a?9} (D) ?

6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线 的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37

二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分)

各小题只要求直接填写结果.

1 98 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000,则 f( ), 19 101 104 f( ),f( )由小到大排列是 . 17 15 2.设复数 z=cosθ +isinθ (0?θ ?180°),复数 z,(1+i)z,2- z 在复平面上对应的 三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个 顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. 3.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有________种. 4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这 样的数列至多有_______项. 2 2 2 5. 若椭圆 x +4(y-a) =4 与抛物线 x =2y 有公共点, 则实数 a 的取值范围是 . o o 6.?ABC 中, ?C = 90 , ?B = 30 , AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于__________. 三、(本题满分 20 分) 已知复数 z=1-sinθ +icosθ (
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π <θ <π ),求 z 的共轭复数- z 的辐角主值. 2

四、(本题满分 20 分) 2 设函数 f (x) = ax +8x +3 (a<0).对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) , 使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论.

五、(本题满分 20 分) 2 2 已知抛物线 y = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b ? 2pa).M 是抛 物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证: 当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2), 直线 M1M2 恒过一个定点. 并 求出这个定点的坐标.

第二试

n
2

n
2

二、(满分 50 分)设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn∈[1,2]且 Σ ai= Σ bi, i=1 i=1

17 2 求证: Σ ? Σ ai.并问:等号成立的充要条件. i=1bi 10i=1 三、(满分 50 分)对于正整数 a、n,定义 Fn(a)=q+r,其中 q、r 为非负整数,a=qn+r, 且 0?r<n.求最大的正整数 A,使得存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整 数 a?A,都有

n ai

3

n

Fn6(Fn5(Fn4(Fn3(Fn2(F n1(a))))))=1.证明你的结论.

一九九八年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
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2.若非空集合 A={x|2a+1?x?3a – 5},B={x|3?x?22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a | 1?a?9} (B) {a | 6?a?9} (C) {a | a?9} (D) ? 【答案】B 【解析】A?B,A≠?.? 3?2a+1?3a-5?22,?6?a?9.故选 B.
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4.设命题 P:关于 x 的不等式 a1x + b1x + c1 > 0 与 a 2x + b2x + c2 > 0 的解集相同; 命题 Q: = = . 则命题 Q(

2

2

2

a1 b1 c1 ) a2 b2 c2 (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件
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【答案】D 【解析】若两个不等式的解集都是 R,否定 A、C,若比值为-1,否定 A、B,选 D. 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小 是( ) 6 π 3 π (A) arcsin (B) +arccos (C) - arctan 2 (D) π - 3 2 3 2 arccot 2 2

6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共 线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 【答案】B 【解析】8 个顶点中无 3 点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体 中心.

⑴ 体中心为中点:4 对顶点,6 对棱中点,3 对面中心;共 13 组; ⑵ 面中心为中点:4?6=24 组; ⑶ 棱中点为中点:12 个.共 49 个,选B. 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果.

1 98 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000,则 f( ), 19 101 104 f( ),f( )由小到大排列是 . 17 15

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0?θ ?180°),复数 z,(1+i)z,2- z 在复平面上对应的 三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行 y 四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3 → → → → → → → → → 【解析】 OS = OP + PQ + PR = OP + OQ - OP + OR - OP → → → = OQ + OR - OP
O
R Q

P

S

x

=(1+i)z+2- z -z=iz+2- z =(2cosθ -sinθ )+i(cosθ -2sinθ ).
π 2 ∴ |OS| =5-4sin2θ ?9.即|OS|?3,当 sin2θ =1,即 θ = 时,|OS|=3. 4

4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这 样的数列至多有_______项. 【答案】8 2 2 【解析】设其首项为 a,项数为 n.则得 a +(n-1)a+2n -2n-100?0.

△=(n-1) -4(2n -2n-100)=-7n +6n+40 1?0 .∴ n?8. 取 n=8,则-4?a?-3.即至多 8 项. n-1 2 2 n-1 2 n-1 2 2 (也可直接配方:(a+ ) +2n -2n-100-( ) ?0.解 2n -2n-100-( ) ?0 2 2 2 仍得 n?8.)

2

2

2

6.?ABC 中, ?C = 90 , ?B = 30 , AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于 . 2 2 【答案】 3
o o
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A 2 M 2 D
2 3 E

【解析】由已知,得 AB=4,AM=MB=MC=2,BC=2 3,由△AMC 为等边三角形, 3 2 3 取 CM 中点,则 AD⊥CM,AD 交 BC 于 E,则 AD= 3,DE= ,CE= . 3 3 折起后,由 BC =AC +AB ,知∠BAC=90°,cos∠ECA=
2 2 2

2 B

C

3 . 3
A
2 2

8 2 2 2 2 2 2 ∴ AE =CA +CE -2CA?CEcos∠ECA= ,于是 AC =AE +CE .?∠AEC=90°. 3 2 6 2 2 2 ∵ AD =AE +ED ,?AE⊥平面 BCM,即 AE 是三棱锥 A-BCM 的高,AE= . 3 2 2 S△BCM= 3,VA—BCM= . 3 三、(本题满分 20 分)

2 M

2 D C

2 B

2 3 E

四、(本题满分 20 分) 2 设函数 f (x) = ax +8x+3 (a<0).对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) ,使 得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论.

五、(本题满分 20 分)

已知抛物线 y = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b ? 2pa).M 是抛 物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证: 当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定点. 并 求出这个定点的坐标.
2 2

第二试 一、(满分 50 分)如图,O、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是 BC 边上的高,I 在线段 OD 上。求证:△ABC 的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径。 注:△ABC 的 BC 边上的旁切圆是与边 AB、AC 的延长线以及边 BC 都相切的圆。 【解析】 由旁切圆半径公式,有 2S aha ra= = ,故只须证明 b+c-a b+c-a

A

R a = 即可。连 AI 并延长交⊙O 于 K,连 OK 交 BC 于 M,则 K、 ha b+c-a M 分别为弧 BC 及弦 BC 的中点。且 OK⊥BC。于是 OK∥AD,又 OK=R,

N O I

R OK IK KB = = = , ha AD IA IA
故只须证 =

KB aha = IA b+c-a 1
2

BM
(b+c-a)



B

D

M K

C

1 作 IN⊥AB,交 AB 于 N,则 AN= (b+c-a), 2 而由⊿AIN∽⊿BKM,可证 =

KB BM 成立,故证。 IA AN n
2

n
2

二、(满分 50 分)设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn∈[1,2]且 Σ ai= Σ bi, i=1 i=1

17 2 求证: Σ ? Σ ai.并问:等号成立的充要条件. i=1bi 10i=1

n ai

3

n

三、(满分 50 分)对于正整数 a、n,定义 Fn(a)=q+r,其中 q、r 为非负整数,a=qn+r, 且 0?r<n.求最大的正整数 A,使得存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整 数 a?A,都有 Fn6(Fn5(Fn4(Fn3(Fn2(Fn1(a))))))=1.证明你的结论. 【解析】将满足条件“存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数 a?B,都有 Fnk

(Fnk-1(?(Fn1(a)?)=1”的最大正整数 B 记为 xk 显然,本题所求的最大正整数 A 即为 x6。 ⑴先证 x1=2.事实上,F2(1)=F2(2)=1,所以 x1?2 ,又当 n1?3 时,Fn1(2 ) =2,而 F2

另一方面,若取 n1= +2,由于 2

xk

xk(xk+6) xk xk xk(xk+6) = ?n1+ 对于每个 a? ,令 a=qn1+r,那么
4 2 2 4

或者 q= ,r? ;或者 q? -1,r?n1-1= +1。 2 2 2 2 两种情况下均有 q+r?xk,因此 xk+1=

xk

xk

xk

xk

xk(xk+6)
4

。此外,因为 xk 为偶数,若 4|xk,由 2|xk+6

可得 8|xk(xk+6), 若 xk≡2(mod4), 由 xk+6≡0(mod 4)也可得 8|xk(xk+6). 因此 xk+1 也是偶数。 xk(xk+6) 于是完成了归纳证明 xk+1= . 4 由 x1=2 逐次递推出 x2=4,x3=10,x4=40,x5=460,x6=53590. 即所求最大整数 A=53590.

一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中有且仅有 一个 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。 1. 给定公比为 q(q?1)的等比数列{an}, 设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?, bn=a3n?2+a3n?1+a3n,?, 则数列{bn} 【答】( ) (A) 是等差数列 (B) 是公比为 q 的等比数列 3 (C) 是公比为 q 的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列

2. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场 之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场 数是 【答】( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2 3. 已知点 A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线 y =4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】( ) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样的 n 的个数是___________.

cos2? ? i sin 2? 5 ,那么,复数 z ? 的辐角主值是_________. 12 239? i ctg C 2 2 2 3. 在△ABC 中,记 BC=a,CA=b,AB=c,若 9a +9b ?19c =0,则 =__________. ctg A ? ctg B
2. 已知 ? =arctg 4. 已知点 P 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条 16 9

双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P 的横坐标是_____. 5. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角 ,那么,这样的直线的条数是______. 6. 已知三棱锥 S?ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二 面角 H?AB?C 的平面角等于 30?, SA=2 。那么三棱锥 S?ABC 的体积为__________.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
2

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13. 已知当 x?[0,1]时,不等式 x cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin? ? 0 恒成立,试求的取值 范围。

14. 给定 A(?2,2),已知 B 是椭圆 小值时,求 B 的坐标。

x2 y 2 5 ? ? 1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF|取最 25 16 3

2 2 15. 给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 a1 ? an ?1 ?M 的所有等差数列 a1,a2,a3,?.,试

求 S=an+1+an+2+?+a2n+1 的最大值。

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第二试

三、(满分 50 分) 给定正整数 n,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质 量为 1,2,3,?,n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f(n); (2 )当且仅当 n 取什么值时,上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的 结论。

1999 年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D
[来源:21 世纪教育网]

5 B

6 C

1. 给 定 公 比 为 q(q?1) 的 等 比 数 列 {an} , 设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, ? , bn=a3n?2+a3n?1+a3n,?,则数列{bn} 【答】( ) (A) 是等差数列 (B) 是公比为 q 的等比数列 3 (C) 是公比为 q 的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列

2. 平面 直角坐标 系中,纵、 横坐标都 是整数的点叫 做整点, 那么,满足不 等式 2 2 (|x|?1) +(|y|?1) <2 的整点(x,y)的个数是 【答】( ) (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25 【答案】(A) 【解析】由 ?| x | ?1? ? ?| y | ?1? ? 2 ,可得(|x|-1,|y|-1)为(0,0),(0,1),(0,-1), (1,0)或(-1,0).从而,不难得到(x,y)共有 16 个.
2 2

5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场 数是 【答】( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(B) 【解析】设这三名选手之间的比赛场数是 r,共 n 名选手参赛.由题意,可得
2 Cn ?3 ? 6 ? r ? 50 ,即

?n ? 3??n ? 4? =44+r.由于 0?r?3,经检验可知,仅当 r=1 时,n=13
2

为正整数.

二、填空题 题号 答案 7 6 8 9 10 11 43 12

?

64 5

7. 已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这 样的 n 的个数是___________. 【答案】6.

8. 已知 ? =arctg 【答案】

? 4

cos2? ? i sin 2? 的辐角主值是_________. 5 ,那么,复数 z? 12 239? i

【解析】 z 的辐角主值 argz=arg[(12+5i) (239-i)]

2

? 4 ctg C 2 2 2 9. 在△ABC 中, 记 BC=a, CA=b, AB=c , 若 9a +9b ?19c =0, 则 =__________. ctg A ? ctg B
=arg[(119+120i) (239-i)] =arg[28561+28561i]= 【答案】 【解析】 .
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12. 已知三 棱锥 S?ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二 面角 H?AB?C 的平面角等于 30?, SA=2 3 。那么三棱锥 S?ABC 的体积为__________. 【答案】

9 3 4

【解析】由题设,AH⊥面 SBC.作 BH⊥SC 于 E.由三垂线定理可知 SC⊥AE,SC⊥AB.故 SC⊥面 ABE.设 S 在面 ABC 内射影为 O,则 SO⊥面 ABC.由三垂线定理之逆定理, 可知 CO⊥AB 于 F.同理,BO⊥AC.故 O 为△ABC 的垂心. 又因为△ABC 是等边三角形,故 O 为△ABC 的中心,从而 SA=SB=SC=. 因为 CF⊥AB,CF 是 EF 在面 ABC 上的射影,由三垂线定理,EF⊥AB.所以,∠EFC 是二面角 H-AB-C 的平面角.故∠EFC=30°, OC=SCcos60°= 3 ,SO= OC tg60°=3. 又 OC= 三、解答题 13. 已知当 x?[0,1]时,不等式 x cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x) sin? ? 0 恒成立,试求的取
2 2

9 3 3 AB,故 A B= 3 OC=3. 所以,VS-ABC= . 4 3

值范围。 【解析】

因 此,原题中 θ 的取值范围是 2kπ +

? 5? < θ <2kπ + ,k?Z. 12 12

或解:若 对 一 切 x ∈ [ 0 , 1 ] , 恒 有

14. 给定 A(?2,2),已知 B 是椭圆 取最小值时,求 B 的坐标。 【解析】

x2 y 2 5 ? ? 1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF| 25 16 3

2 2 15. 给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 a1 ? an ?1 ?M 的所有等差数列 a1,a2,a3,?.,

试求 S=an+1+an+2+?+a2n+1 的最大值。

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1999 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准 一 、 (满分 50 分) 如图,在四边形 AB CD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC.

二 、 (满分 50 分) 给定实数 a, b, c,已知复数 z1 , z2 , z3 满足:

?| z1 |?| z2 |?| z3 |? 1 ? ? z1 ? z2 ? z3 ? 1 ,求|az1+bz2+cz3|的值。 ? ? z2 z3 z1

【解析】 可设



e



=cosθ +isinθ . ,则
iφ -i(θ +φ




z1 ? e i (? ?? ) . z3
)

由 题 设 , 有 e +e +e 两边取虚部,有 0=sinθ +sinφ -sin(θ +φ )

=1.φ

三 、 (满分 50 分) 给定正整数 n,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以 称出质量为 1,2,3,?,n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f(n); (2)当且仅当 n 取什么值时,上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的 结论。 【 解 析 】 (1)设 这 k 块 砝 码 的 质 量 数 分 别 为 a1,a2,? , ak, 且 1? a1? a2? ? ? ak, ai∈ Z, 1? i? k. 因 为 天 平 两 端 都 可 以 放 砝 码 , 故 可 称 质

量为

xiai,xi∈ { -1, 0, 1} . 若 利 用 这 k 块 砝 码 可 以 称 出 质 量 为 1,

2, 3, ? ,n 的 物 品 , 则 上 述 表 示 式 中 含 有 1, 2, ? , n, 由 对 称 性 易 知 也 含 有 0, -1, -2, ? , -n, 即



xiai|xi∈ { -1, 0, 1} }

{ 0,±1, ? , ±n} .

所 以 , 2 n + 1 = |{ 0 , ± 1 , ? , ± n } | ? |{ |? 3 ,
k

xiai|xi∈{ -1,0,1}}



n?

Ⅱ .下 面 我 们 证 明 : 当 n=

时 , f(n)=m 块 砝 码 的 组 成 方 式 是 惟

一 的 , 即 ai=3

i-1

(1? i? m). ? l? ,都 有 l= xiai, xi∈ { -1, 0, 1} . { 0,±1, ? , ± }.

若对每个即 {

xiai|xi∈ { -1, 0, 1} }

注 意 左 边 集 合 中 至 多 有 3m 个 元 素 . 故 必 有 { xiai|xi∈ { -1, 0, 1} } ={ 0,±1, ? , ± }.

选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中有且仅有 一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。 4. 设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ?0},B={x| 10 x (A) {2} (B ) {?1} (C)
2

?2

= 10 x },则 A ? B 是 (D)
?





{x|x?2}

5. 给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元 2 二次方程 bx ?2ax+c=0 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实 根 6. 平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 (A)
34 170

的距离中的最小值是 (D)

(B)

34 85
3 7 9

(C)

1 20

1 ( 30


) )

7. 设 ? ? cos (A) (C)
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?
5

? i sin

?
5

,则以?,? ,? ,? 为根的方程是 (B) x ?x +x ?x+1=0 4 3 2 (D) x +x +x ?x?1=0
4 3 2

x4+x3 +x2+x+1=0 x4?x3?x2+x+1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接 将答案写在横线上。 8. arcsin(sin2000?)=__________. 9. 设

an 是 (3?

x )n 的 展 开 式 中

x

项 的 系 数 (n=2,3,4, ? ) , 则

n??

lim(

3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an

10. 11.

等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 在椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)中,记左焦点 为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 a2 b2

B.若该椭圆的离心率是

5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2

【加试】(10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一.(本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥ AC(M、N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.
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A

M N B E F C

二.(本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足,且

D

?an?1 ? 7an ? 6bn ? 3 n ? 0,1,2,? ? ?bn?1 ? 8an ? 7bn ? 4
证明 a n(n=0,1,2,?)是完全平方数.

三.(本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电 k 话的次数相等,都是 3 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值.

2000 年全国高中数学联合竞赛试题答案
1.【答案】D 【解析】由 x ? 2 ? 2 得 x=2,故 A={2};由 10 2}.所以 A ? B =φ .
x 2 ?2

? 10x 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,故 B={-1,

3.【答案】C 【解析】如图所示,设 BD=t,则 OD= 3 t-1,从而 B( 3 t-1,t) 满足方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,可以得到 t= 3 ,所以等边三角形,Δ ABC 的面积是 3 3 .

4.【答案】 A 【 解 析 】 由 题 意 知 pq=a
2

, 2b=p+c,2c=q+b

? b?

c?

2 p ? q p ? 2q 3 2 3 p ? 2q 2 2 2 ? p q ? pq = pq=a .因为 p≠q,故 bc> a ,方程 ?bc= 3 3 3
2

2p ? q 3



的判别式Δ = 4a -4bc<0,因此,方程无实数根. 5.【答案】B

【解析】设整点坐标(m,n),则它到直线 25x-15y+12=0 的距离为

d?

25m ? 15n ? 12 25 ? (?15)
2 2

?

5(5m ? 3n) ? 12 5 34

由于 m,n∈Z,故 5(5m-3n)是 5 的倍数,只有当 m=n=-1,时 5(5m-3n)=-10 与 12 的和的 绝对值最小,其值为 2,从而所求的最小值为

34 . 85

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 7.【答案】-20° 【解析】sin2000°=sin(5?360°+200°)=sin200°=-sin20° 故 a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= - a rcsin(sin20°)= -20° 8.【答案】18
2 【解析】由二项式定理知, an ? Cn ? 3n?2 ,因此

3n 32 ? 2 1? ? 1 ? ? 18? ? ? an n(n ? 1) ? n ?1 n ?

lim
n ??

? 3 2 33 3n ? ? ? ? ? ?a an ? 2 a3

? ? 1? ? 18?1 ? ? =18. ? = lim ? n?? ? n ?

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11 .【答案】

2 3 ?a 24

12.【答案】28 【解析】 abcd 中恰有 2 个不中数字时,能组成 C 4 = 6 个不中数字
1 1 1 1 abcd 中恰有 3 个不中数字时,能组成 C 1 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 =12 +4=16 个不中数字 2

abcd 中恰有 4 个不中数字时,能组成 P 3 3 =6 个不中数字

所以,符合要求的数字共有 6+16+6=28 个

14.【 答案】所求区间为[1,3]或[-2- 17

13 ]. 4
f(b)=2a 于是有

【解析】 化三种情况讨论区间[a,b]. (1) 若 0 ? a<b, 则 f (x)在[ a, b ] 上单调递减,故 f(a) =2b,

1 2 13 ? ?2b ? ? 2 a ? 2 ,解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], ? 1 13 ?2 a ? ? b 2 ? 2 2 ?
(2)若 a <0 <b, f ( x)在[ a, b ] 上单调递增,在[0,b] 上单调递减,, 因此 f (x)在 x=0 处取最大值 2b 在 x=a 或 x=b 处取最小值

13 13 ,b= .由于 a<0, 2 4 1 13 2 13 39 ?0 又 f(b)=- ( ) + = 2 4 2 32
2a.故 2b=

(2) 当 a<b ? 0 时,f(x)在[a,b] 上单调递增,故 f(a)=2a, f(b)=2b,

1 2 13 a + , 2 2 13 解得 a=-2- 17 ;于是得 [a,b]=[-2- 17 , ]. 4
故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a,即 2a=

1 2 13 1 13 a + ,2b=- a 2 + . 2 2 2 2 1 2 13 由于方程 x +2x=0 的两根异号,故满足 a ? b ? 0 的区间不存在. 2 2 13 综上所述,所求区间为[1,3]或[-2- 17 ]. 4
即 2a=-

15.【答案】所求条件为

1 1 + =1. a2 b2
2

Q R
-2

P O
2

第 15题 ( 必 要 性 )
-2

S

又在 Rt△POQ 中,设点 O 到 PQ 的距离为 h,则

1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2

同理,点 O 到 QR,RS,SP 的距离也为 1,故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a ? b ? a b
2 2 2 2



ab a ? b2
2

=1 等条件者,应同样给分.

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试

二.【解析】 [ 证 法 一 ] : 由 假 设 得

a1=4,

b1=4

且 当

n ? 1

时 ( 2an+1-1 )

+ 3bn?1 =(14an+12bn-7)+ 3 (8an+7bn-4) =[(2an-1)+ 3bn ](7+4 3 ) 依次类推可得(2an-1)+ 3bn = (7+ 4 3) n?1 (2a1 -1+ 3b1 )=(7+4 3 ) n 同理(2an-1+ )- 3bn =(7+4 3 ) n 从而 an= 由于 7 ? 4 3 =(2 ? 由二项式展开得 c =

1 1 1 (7+4 3 ) n + (7+4 3 ) n + . 2 4 4 1 1 3 ) 2 ,所以 an =[ (2+ 3 ) n + (2- 3 ) n ] 2 2 2

n

1 1 n n?2k k 2k (2+ 3 ) n + (2- 3 ) = ? C n 3 2 , 2 2 0? 2 k ? n

显然 Cn 为整数,于是 an 为完全平方数. [证法二]:由已知得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3=7an+48an-1+42bn-1-27 , 由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 ,

从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27=14an-an-1-6 . 也就是 an+1=14an-an-1-6 . 设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) ??①②③④

? p ? k ? 14 ? 则有 ? pk ? 1 ?t (1 ? p ) ? 6 ?

?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ?k ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 2 ? ? 2 2 ? ? 解得 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 或 ? p ? 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 ?t ? 3 ? 2 3 ?t ? 3 ? 2 3 ? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

三.【解析】显然 n ? 5. 记 n 个人为 A1,A2, AN , 设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l ? i, j ? n .则
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m

i

+m

j

– y

i . j =

1 n ms - 3k = c . ? 2 s ?1

(*)

其中 c 是常数 ,l ? i, j ? n . 根据(*)知, m i ? m j ? ( mi ? m s ) ? ( m j ? m s ) = y i . s ? y j .s ? 1 , l ? i, j ? n .

? mi ? m j ? 1 ,

l ? i, j ? n

设 mi =max{ms ,1 ? s ? n. } ,m j = min{ms,1 ? s ? n.} , 则 m i +m j ? 1. 若 m i +m j=1 ,则对于任意 s ? i, j, 1 ? s ? n , 都有(m i +ms-y I ,s)- (m j +ms-y I ,s)=1-(y I ,s – y 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ? i, j, 1 ? s ? n , 因此 mi ? n -2 , m
j j ,s

)=0 ,



y

I ,s

– y

j ,s

= 1

? 1 . 于是 ,m

i

+m

j

? n -3 ? 2 .

出现矛盾 ,故 m i +m j=0 ,即 ms(1 ? s ? n)恒为常数 。 根据 (*)知,y I ,j = 0 或 y I ,j = 1 。 若 y I ,j = 0 ,则 ms=0 , 1 ? s ? n 。与已知条件矛盾 。 因此 ,y I ,s =1 ? ms=n-1 , 1 ? s ? n . 所以

1 k n(n-1)-(2n-3)= 3 , 2



(n -2)(n-3)=2 ? 3

k

.

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二○○一年全国高中数学联赛
(10 月 4 日上午 8:00—9:40) 题号 一
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13

14

15

合计

加试

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总成绩

得分 评卷人 复核人 学生注意:1、本试卷共有三大题 (15 个小题),全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 7. 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一 个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选 错或选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。 2 2 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定

5.若(1+x+x ) 的展开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x , 则a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ). 333 666 999 2001 (A)3 (B)3 (C)3 (D)3 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小 于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ). (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. 8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

2

1000

2000

3 -I,则 z1z2= 2

。 。

9、 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 , 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为



14、设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 2 a
1 时,试求⊿OAP 的面积的最 2

12. 求实数 m 的取值范围(用 a 表示); 13. O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示)。

15、用电阻值分别为 a1、a2、a 3、a4、a5、a6、(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图 的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题 (10 月 4 日上午 10:00—12:00) 学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、(本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于 点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN。

二、(本题满分 50 分) 设 xi?0(I=1,2,3,?,n)且

?x
i ?1

n

2

i

?2

1? k ? j ? n

?

n k ,求 x i 的最大值与最小值。 xk x j ? 1 ? j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行 于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。

2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一.选择题:CBDDCA

2.命题 1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题 2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】B 【解析】由于长 方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题 1 正确.对于命题 2 和命 题 3,一般的长方体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距 离相等的点.因此,本题只有命题 1 正确,选B.

4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取 值范围是( ). A. k ? 8 3 C.k?12 B.0<k?12 D.0<k?12 或 k ? 8 3

【答案】D 【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问 题,由课本结论知,应选结论D. 说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C. 5.若(1+x+x ) 的展 开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x 则a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ). 333 666 999 2001 A.3 B.3 C.3 D.3
2 1000 2000



【答案】C

6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小 于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ). A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 【答案】A

二.填空题

7.

2 3 3
(0 , 1) ? (1 , 2 7 ) ? (4 , ? ?)
2

8.

?

30 72 ? i 13 13
3 ) ? [ 2 , ? ?) 2

9.

6 6

10.

11.

[1,

12. 732

7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. 【答案】

2 3 3

8.若复数z1、z2满足|z1|=2,|z3|=3,3z1-2z2=(3/2)-i,则z 1?z2=______________. 【答案】 ?

30 72 ? i 13 13

sin(α +β )=12/13,cos(α +β )=-5/13.
故z1?z2=6[cos(α +β )+isin(α +β )] =-(30/13)+(72/13) i.

说明:本题也可以利用复数的几何意义解.

10.不等式|(1/log1/2x)+2|>3/2 的解集为______________. 2/7 【答案】x>4,或 1<x<2 ,或 0<x<1. 【解析】从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得log1/2x<-2,或-2/7<l 2/7 og1/2x<0,或log1/2x>0.从而x>4,或 1<x<2 ,或 0<x<1.

11.函数y=x+

的值域为________ ______.

【答案】[1,3/2)∪[2,+∞). 【解析】先平方去掉根号. 2 2 2 由题设得(y-x) =x -3x+2,则x=(y -2)/(2y-3). 2 由y?x,得y?(y -2)/(2y-3).解得 1?y<3/2,或y?2. 由于 能达到下界 0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞).

说明:(1)参考答案在求得 1?y<3/2 或y?2 后,还用了较长的篇幅进行了一番验证, 确无必要. (2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者 不妨一试.

12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 3) , 要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方 案. 【答案】732 【解析】为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按

间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.

三.解答题 13.【解析】设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d 2 ? 0

? x2 ? y2 ?1 ? 14.【解析】(1)由 ? a 2 ? y 2 ? 2( x ? m) ?

消去 y 得: x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ? 0



设 f ( x) ? x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等 根.

只需讨论以下三种情况:

a2 ?1 2 2 , 此时 xp=-a , 当且仅当-a<-a <a, 即 0<a<1 时适合; 2 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 2 2 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当-a<a-2a <a,即 0<a<1 时适 合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. a2 ?1 综上可知,当 0<a<1 时, m ? 或-a<m?a; 2 当 a?1 时,-a<m<a.
1°△=0 得:m ?

15.【解析】设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、 R2 是 a1、a2 的任意排列时,RFG 最小 证明如下: 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则

1 1 1 ? ? .故交换二电阻 R R1 R2

的位置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2.

2





3













(





1)











RAB R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1 R2 ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的— 个.

4°对于图 3 把由 R1、R2、 R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立

2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系,

a a , k AB ? ? c b a c ∴直线 AC 的方程为 y ? ? ( x ? c) ,直线 BE 的方程为 y ? ( x ? b) c a c ? y ? ( x ? b) ? a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc ? a , 由? 得 E 点坐标为 E( 2 ) 2 2 2 a a ? c a ? c ? y ? ? ( x ? c) ? c ?
设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则 k AC ? ? 同理可得 F(

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , ) a2 ? b2 a2 ? b2

a c c ? (x ? ) 2 a 2 b?c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x ? 2 a c c ? y ? ? (x ? ) ? b ? c bc ? a 2 ? 2 a 2 , 由? 得 O( ) 2 2 a b ? c ?x ? ? 2 ?
直线 AC 的垂直平分线方程为 y ?

k OB

bc ? a 2 bc ? a 2 2a ? ? b?c ac ? ab ?b 2

, k DF ?

ab 2 ? abc ab ? ac ? a 2 b ? b 2 c a 2 ? bc

∵ kOB k DF ? ?1

∴OB⊥DF

二.【解析】先求最小值,因为 (

?
i ?1

n

xi ) 2 ?

?
i ?1

n

xi2 ? 2

1?k ? j ?n

?

k xk x j ? 1 ? j

?x
i ?1

n

i

?1

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴

?x
i ?1

n

i

最小值为 1. 再求最大值,令 xk ? k yk



? ky
k ?1

n

2 k

?2

1?k ? j ?n

? ky
n

k

yj ?1



设M ?

?x ? ?
k k ?1 k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y 2 ? ? ? y n ? a2 ? k yk , 令 ? ?? ? ? y n ? an ?

2 2 2 则①? a1 ? a2 ? ? ? an ?1
n

令 a n ?1 =0,则 M ?

?
k ?1

k (ak ? ak ?1 )

?

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1

n

k ak ?1 ?

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1

n

k ? 1ak ?

?(
k ?1

n

k ? k ? 1 )ak

三.【解析】记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 事实上,不妨没 m?n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn +n-(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m?k 时,结论成立(k?1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n<k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得 所得正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)=m- D D1 C (m,n),于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形 边长之和为 rn+n-(m,n) n (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n -(m,n) m A1 A B 假设当 m?k 时,对任意 1?n?m 有 f (m,n)= rn+n-(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1?n?k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,?,ap 不妨 a1?a2???ap 显然 a1=n 或 a1<n.

说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设 6 分的 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分 两档,其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评 分档次给分,不要再啬其他中 间档次。 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分 标准适当档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 函数 f(x)= log 1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是
2 2

(A) (-∞,-1)

(B) (-∞,1)

(C) (1,+∞)

(D) (3,+∞)

已知两个实数集合 A={a1, a2, ? , a100}与 B={b1, b2, ? , b50},若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)?f(a2)???f(a100),则这样的映射共有 (A) C100 由曲线 x =4y, x =
2 2

50

(B) C 90

50

(C) C100

49

(D) C 99

49

4y, x=4, x=

4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为

V1,满足 x +y ?16, x +(y-2) ?4, x +(y+2) ?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周 所得旋转体的体积为 V2,则
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2

2

2

2

2

2

(A) V1=

V2

(B) V1=

2 V2 3

(C) V1=V2

(D) V1=2V2

二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 已 知 复 数 Z1,Z2 满 足 |Z1|=2, |Z2|=3 , 若 它 们 所 对 应 向 量 的 夹 角 为 60 ° , 则

z1 ? z 2 = z1 ? z 2
1



将二项式 ( x ?

2 x

4

) n 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展
个。

开式中 x 的指数是整数的项共有

P1 P2 P3 P10 P5 P8 P7 P9 P6
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P4

三、

解答题(本题满 分 60 分,每小题 20 分) 2 已知点 A(0,2)和抛物线 y=x +4 上两点 B、 C 使得 AB⊥BC, 求点 C 的纵坐标的取值范围。

如图,有一列曲线 P0, P1, P2, ??,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形, Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边, 向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,?),记 Sn 为曲线 Pk 所围成 图形面积。 ①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim S n 。
n ??

P0 P1 设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ① 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; ② 当 x∈(0,2)时,f(x)? (
2

P2

x ?1 2 ) 2

③ f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x

二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题 参考答案及评分标准 说明: 评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分; 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,评卷时可参考本评 分标准适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。

三、(本题满分 50 分) 在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察 A1,A2,?,A7 这七名,准备让他们在三场训练比 赛 ( 每场 90 分钟 )都上场,假设在比赛的任何时刻,这些中有且仅有一 人在场上,并且 A1,A2,A3,A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除,如果每场换人次数不限,那么 按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情况。

2002 全国高中数学联赛答案
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f(x)= log 1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是
2 2

(A) (-∞,-1) 【答案】A
2

(B) (-∞,1)

(C) (1,+∞)
2

(D) (3,+∞)

【解 析】由 x -2x-3>0 ? x<-1 或 x>3,令 f(x)= log 1 u , u= x -2x-3,故选 A
2

2、 函数 f(x)=

x x ? x 2 1? 2
(B) 是奇函数但不是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
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(A) 是偶函数但不是奇函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】直接根据奇偶函数的定义解答。

S= S ?OAP1 ? S ?OBP1 = ∴Smax=6 2 ∵S⊿OAB=6

1 1 ? ? 4 ? 3 sin ? ? ? 3 ? 4 cos ? =6(sin +cos )= 6 2 sin(? ? ) 2 2 4
y B O P1 A x

∴ ( S ?P1 AB ) max ? 6 2 ? 6 ∵ 6 2 ? 6 <3

∴点 P 不可能在直线 AB 的上方,显然在直线 AB 的下方有两个点 P,故选 B

6、由曲线 x =4y, x = 4y, x=4, x= 4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转体的体 2 2 2 2 2 2 积为 V1,满足 x +y ?16, x +(y-2) ?4, x +(y+2) ?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一 周所得旋转体的体积为 V2,则 (A) V1=

2

2

1 V2 2

(B) V1=

2 V2 3

(C) V1=V2

(D) V1=2V2

四、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7 、 已 知 复 数 Z1,Z2 满 足 |Z1|=2, |Z2|=3 , 若 它 们 所 对 应 向 量 的 夹 角 为 60 ° , 则

z1 ? z 2 = z1 ? z 2



【答案】

133 7
Z2|= 7 ,

【解析】由余弦定理得|Z1+Z2|= 19 , |Z1

z1 ? z 2 133 = 7 z1 ? z 2

8、将二项式 ( x ?

1 2 x
4

) n 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该
个。 P1

展开式中 x 的指数是整数的项共有 【答案】3 【解析】不难求出前三项的系数分别是 1,

1 1 n, n(n ? 1) , 2 8

P2 P3

1 1 ∵ 2 ? n ? 1 ? n( n ? 1) 2 8
∴当 n=8 时, Tr ?1

P4

1 ? C ( )r x 2
r n

16 ?3 r 4

P10 (r=0,1,2,?,8) P5

P7 P8

P9 P6

∴r=0,4,8,即有 3 个 9、如图,点 P1,P2,?,P10 分别是四面体点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k?10)有 个。

10、已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5 f(x+1)?f(x)+1 若 g(x)=f(x)+1 x,则 g(2002)= 。

11、若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则 【答案】 3

的最小值是



12 、使不等式 sin x+acosx+a ? 1+cosx 对一切 x ∈ R 恒成立的负数 a 的取值范围 是 。 【答案】(-∞,-2]

2

2

四、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、已知点 A(0,2)和抛物线 y=x +4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值 范围。 2 2 【解析】设 B 点坐标为 B(y1 4,y1),C 点坐标为 C(y 4,y) 显然 y1
2 2

4≠0,故 k AB ?

y1 ? 2 1 ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2

∵AB⊥BC ∴KBC= (y1+2) ∴?
2 ? ? y ? y1 ? ?( y1 ? 2)[x ? ( y1 ? 4)] ?y2 ? x ? 4 ?

?(2+y1)(y+y1)+1=0 ?y12+(2+y)y1+(2y+1)=0
∵y1∈R ∴⊿?0 ? y?0 或 y?4 ∴当 y=0 时,点 B 的坐标为(-3,-1); 当 y=4 时,点 B 的坐标为(5, 意。 故点 C 的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞)

3),均满足题

14、如图,有一列曲线 P0, P1, P2, ??,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角 形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边, 向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,?),记 Sn 为曲线 Pk 所围成图 形面积。 ①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim S n 。
n ??

P0 P1 P2

下面用数学归纳法证明(※)式 当 n=1 时,由上面已知(※)式成立, 假设当 n=k 时,有 Sk=

8 3 4 k ? ?( ) 5 5 9
1 3
2 ( k ?1)

当 n=k+1 时,易知第 k+1 次操作后,比较 Pk+1 与 Pk,Pk+1 在 Pk 的每条边上增加了一个小 等边三角形,其面积为 ,而 Pk 有 3?4 条边。故
k k

Sk+1=Sk+3?4 ?

1 3
2 ( k ?1)

=

8 3 4 k ?1 ? ?( ) 5 5 9

综上所述,对任何 n∈N,(※)式成立。 ② lim S n ? lim[ ?
n ?? n ??

8 5

3 4 n 8 ?( ) ] ? 5 9 5
2

15、设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ①当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; ②当 x∈(0,2)时,f(x)? (

x ?1 2 ) 2

③f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x

∴m? 1 ?

t

? 4t ? 1 ? (?4) ? ? 4 ? (?4) =9
1 2 1 (x 10x+9)= (x 1)(x 9)?0 4 4

当 t= -4 时,对任意的 x∈[1,9],恒有 f(x 4) x=

∴m 的最大值为 9。 另解:∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于 x= -1 对称

二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题 参考答案及评分标准 说明: a) 评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分; b) 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一、(本题满分 50 分) 如图,在⊿ABC 中,∠A=60°,AB>AC,点 O 是外心,两条高 BE、CF 交于 H 点,点 M、 N 分别在线段 BH、HF 上,且满足 BM=CN,求

MH ? NH 的值。 OH
A F N O K M H E

【解析】在 BE 上取 BK=CH,连接 OB、OC、OK, 由三角形外心的性质知 ∠BOC=2∠A=120° 由三角形垂心的性质知 ∠BHC=180°-∠A=120° ∴∠BOC=∠BHC ∴B、C、HO 四点共圆 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH ∴⊿BOK≌⊿COH ∵BOK=∠BOC=120°,∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH

B

C

KH OH ? ?KH= 3 OH sin 120 ? sin 30?
又∵BM=CN,BK=CH, ∴KM=NH ∴MH+NH=MH+KM=KH= 3 OH ∴

MH ? NH = 3 OH

二、(本题满分 50 分) 3 2 实数 a,b,c 和正数 使得 f(x)=x +ax +bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满足 ① x2 x1= , ② x3>

1 (x1+x2) 2



2a 3 ? 27c ? 9ab

?

3

?

3 3 2

由(Ⅰ)得 x3 ?

a 1 2 3 a2 ?2 ? 4a 2 ? 12b ? 3?2 ] ? ?b? 3 3 3 3 4
, 由 ( Ⅱ ) 和 ( Ⅲ ) 可 知 p ?



p=

a2 ?b 3

?2 4



1 2 2 3 ab ? a 3 ? c? ? 3 27 9

p?

?2
4

( p ? ?2 )

三、(本题满分 50 分) 在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察 A1,A2,?,A7 这七名,准备让他们在三场训练比 赛 ( 每场 90 分钟 )都上场 ,假设在比赛的任何时刻,这些中有且仅有一人在场上,并且 A1,A2,A3,A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除,如果每场换人次数不限,那么 按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情况。 【解析】设第 i 名队员上场的时间为 xi 分钟(i=1,2,3,?,7),问题即求不定方程 x1+x2+?+x7=270 ① 在条件 7|xi (1?i?4)且 13|xj (5?j?7)下的正整数解的级数。 若(x1,x2,?,x7)是满足条件①的一组正整数解,则应有

? xi =7m
i ?1

4

?x
j ?5

7

j

=13n

m,n∈N

∴m,n 是不定方程 7m+13n=270 在条件 m?4 且 n?3 下的一组正整数解。 ∵ 7(m-4)+13(n-3)=203 令 m′=m 4 n′=n 3 有 7m′+13n′=270 ∴ 求②满足条件 m?4 且 n?3 的正整数解等价于求③的非负整数解。 ∵易观察到 7?2+13?(-1)=1 ∴ 7?406+13?(-203)=203 即 m0=406 n0= 203 是③的整数解 ∴ ③的整数通解为 ②



m′=406 13k n′= 203+7k k∈Z 令 m′?0 n′?0,解得 29?k?31 取 k=29,30,31 得到③满足条件的三组非负整数解:

?m? ? 29 ? ?n ? ? 0

?m? ? 16 ? ?n ? ? 7

?m? ? 3 ? ?n? ? 14

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2003 年全国高中数学联赛)删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数, 得到一个新数列.这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是
y y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.
2

B.

C.

D.

3.过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点 ,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 16 8 16 (A) (B) (C) 3 (D) 8 3 3 3 3 4.若 x∈[- (A) 5? 2? ? ? ? ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 (B) 11 2 6 (C) 11 3 6 (D) 12 3 5

12 2 5

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 2 7.不等式|x| - 2x -4|x|+3<0 的解集是



8.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ 9 4

x2 y2

PF1F2 的面积等于



9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a?0,x2-2(a+7)x+5?0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . 3 5 10. 已知 a, b, c, d 均为正整数, 且 logab= , logcd= , 若 a-c=9, 则 b-d= 2 4

2



11.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆 柱内,并使得每个球都和其相邻的 四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 . 12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.- a1a2?an |ai 只取 0 或 1(i=1, 2, ?, n-1), an=1},

Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim = n→∞Tn



五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆 周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所 有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

加试题 (10 月 12 日上午 10:00?12:00)
[来源:21 世纪教育网]

一、(本题 50 分) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A、B,所作割线交圆于 C、D 两点, C 在 P、D 之间.在弦 CD 上取一点 Q,使∠DAQ=∠PBC. 求证:∠DBQ=∠PAC.

二、(本题 50 分) 设三角形的三边长分别是正整数 l,m,n.且 l>m>n>0. l m n ?3 ? ?3 ? ?3 ? 已知? 4?=? 4?=? 4?,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角 ?10 ? ?10 ? ?10 ? 形周长的最小值.

三、(本题 50 分) 1 2 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形, 其中 n=q +q+1, l? q(q+1)2+1, 2

q?2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q+2 条 连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC、 CD、DA 组成的图形).

2003 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C 2 2 【解析】45 =2025,46 =2116. 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个,而 2026 至 2115 之间没有完全平方数.故 1 至 2025 中共有新数列中的 2025-45=1980 项.还缺 2003-1980=23 项.由 2025+23=2048.知 选 C.

3.过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 16 8 16 (A) (B) (C) 3 (D) 8 3 3 3 3 【答案】A 【解析】抛 物线的焦点为原点(0,0),弦 AB 所在直线方程为 y= 3x,弦的中点在 y= 4

2

p k

=

4 4 3 4 4 上,即 AB 中点为( , ),中垂线方程为 y=- (x- )+ ,令 y=0,得点 P 的坐标 3 3 3 3 3 3

16 为 . 3 ∴ PF= 16 .选 A. 3

4.若 x∈[- (A)

5? 2? ? ? ? ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 (B) 11 2 6 (C) 11 3 6 (D) 12 3 5

12 2 5

【答 案】C 2? ? 5? ? ? ? ? 【 解析】令 x+ =u,则 x+ =u+ ,当 x∈[- ,- ]时,u∈[- ,- ], 6 3 2 12 3 4 6

y=-(cotu+tanu)+cosu=-

2 ? ? +cosu.在 u∈[- ,- ]时,sin2u 与 cosu 都单调递 sin2u 4 6

11 ? 增,从而 y 单调递增.于是 u=- 时,y 取得最大值 3,故选 C. 6 6

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 2 7.不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是 【答案】(-3,- 5-1 5- 1 )∪( ,3). 2 2



【解析】即|x| -2|x| -4|x|+3<0,?(|x|-3)(|x|-
3 2

5 -1 5+1 )(|x|+ )<0.?|x|< 2 2



5+1 5-1 ,或 <|x|<3. 2 2 ∴ 解为(-3,- 5-1 5-1 )∪( ,3). 2 2
[来源:21 世纪教育网]

9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a?0,x2-2(a+7)x+5?0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】-4?a?-1. 【解析】A=(1,3); 又,a?-2 ∴
1-x

2

1 x +5 ∈(-1,- ),当 x∈(1,3)时,a? -7∈( 5-7,-4). 4 2x

2

-4?a?-1.

3 5 10. 已知 a, b, c, d 均为正整数, 且 logab= , logcd= , 若 a-c=9, 则 b-d= 2 4 【答案】93 3 2 5 4 2 3 4 5 2 4 2 2 【解析】a =b ,c =d ,设 a=x ,b=x ;c=y ,d=y ,x -y =9.(x+y )(x-y )=9. 2 2 2 3 5 ∴ x+y =9,x-y =1,x=5,y =4.b-d=5 -2 =125-32=93 . 11.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每 个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则 此圆柱的高等于 . 【答案】2+ 8 【解析】如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球 心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面 ABCD 上的射影 是一个正方形.是把正方形 ABCD 绕其中心旋转 45?而得.设 E 的射影为 N,则
4 4



H E F D N A M B C G

MN= 2-1.EM= 3,故 EN2=3-( 2-1)2=2 2.∴ EN= 8.所求圆柱的高=2+ 8.

4

12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.- a1a2?an |ai 只取 0 或 1(i=1, 2, ?, n-1), an=1},

Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim = n→∞Tn
【答案】



1 18
n-1

【解析】由于 a1,a2,?,an-1 中的每一个都可以取 0 与 1 两个数,Tn=2 . n-2 在每一位(从第一位到第 n-1 位)小数上,数字 0 与 1 各出现 2 次.第 n 位则 1 出现 n-1 2 次. n-2 n-2 -n ∴ Sn=2 ?0.11?1+2 ?10 . Sn 1 1 1 ∴ lim = ? = . n→∞Tn 2 9 18

四、(本题满分 20 分) 1 14.设 A、 B、C 分别是复数 Z0=ai,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的 2 不共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.
[ 21 世纪教育网]

【 解 析 】 曲 线 方 程 为 : Z=aicos t+(1+2bi)cos tsin t+ 4 2 2 4 4 2 2 4 ( 1+ci)sin t=(cos tsin t+sin t)+i(acos t+2bcos tsin t+csin t) 2 2 4 2 2 2 2 ∴ x=cos tsin t+sin t=sin t(cos t+sin t)=sin t.(0?x?1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2 2 即 y=(a-2b+c)x +2(b-a)x+a (0?x?1). ① 若 a-2b+c=0,则 Z0、Z1、Z2 三点共线,与已知矛盾,故 a-2b+c?0.于是此曲线为轴 与 x 轴垂直的抛物线. 1 1 3 1 AB 中点 M: + (a+b)i,BC 中点 N: + (b+c)i. 4 2 4 2 1 1 3 1 与 AC 平行的中位线经过 M( , (a+b))及 N( , (b+c))两点,其方程为 4 2 4 2
21 世纪教育网

4

2

2

1 3 4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.( ?x? ). 4 4
2



令 4(a-2b+c)x +8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c. 2 即 4(a-2b+c)x +4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由 a-2b+c?0,得 2 4x +4x+1=0, 1 3 1 此方程在[ , ]内有惟一解: x= . 4 4 2 1 以 x= 代入②得, 2 1 1 ∴ 所求公共点坐标为( , (a+2b+c)). 2 4

y= (a+2b+c).

1 4

加试题 (10 月 12 日上午 10:00?12:00) 一、(本题 50 分) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A、B,所作割线交圆于 C、D 两点, C 在 P、D 之间.在弦 CD 上取一点 Q,使∠DAQ=∠PBC. 求证:∠DBQ=∠PAC. 分析: 由∠PBC=∠CDB, 若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ, 则?BDQ∽?DAQ. 反之, 若?BDQ∽?DAQ. 则 本题成立.而要证?BDQ∽?DAQ,只要证 =

BD DQ 即可. AD AQ

二、(本题 50 分) 设三角形的三边长分别是正整数 l,m,n.且 l>m>n>0. l m n ?3 ? ?3 ? ?3 ? 已知? 4?=? 4?=? 4?,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角 ?10 ? ?10 ? ?10 ? 形周长的最小值.
?3 ? ?3 ? ?3 ? 【解析】当 3 、3 、3 的末四位数字相同时,? 4?=? 4?=? 4?. ?10 ? ?10 ? ?10 ?
l m n l m n

即求满足 3 ?3 ≡3 ( mod 10 )的 l、m、n.∴ 3 (3 -1)≡0 (mod 10 ).(l-n>0) n 4 l-n 4 m-n 4 但 (3 ,10 )=1,故必有 3 ≡1(mod 10 );同理 3 ≡1(mod 10 ). x 4 下面先求满足 3 ≡1(mod 10 )的最小正整数 x. 4 4 1 4 ∵ ?(10 )=10 ? ? =4000.故 x|4000.用 4000 的约数试验: 2 5
l m n
4

n

l-n

4

∵ x=1,2,时 3 ≡ ∕1(mod 10),而 3 ≡1(mod 10),∴ x 必须是 4 的倍数; x 2 20 2 ∵ x=4,8,12,16 时 3 ≡ ∕1(mod 10 ),而 3 ≡1(mod 10 ),∴ x 必须是 20 的倍数; x 3 100 3 ∵ x=20,40,60,80 时 3 ≡ ∕1(mod 10 ),而 3 ≡1(mod 10 ),∴ x 必须是 100 的倍 数; ∵ x=100,200,300,400 时 3 ≡ ∕1(mod 10 ),而 3 ≡1(mod 10 ). x 4 即,使 3 ≡1(mod 10 )成立的最小正整数 x=500,从而 l-n、m-n 都是 500 的倍数, 设 l-n=500k,m-n=500h,(k,h∈N*,k>h). 由 m+n>l,即 n+500h+n>n+500k,?n>500(k-h)?500,故 n?501.
x
4 500 4

x

4

取 n=501,m=1001,l=1501,即为满足题意的最小三个值. ∴ 所求周长的最小值=3003. 三、(本题 50 分) 1 2 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形, 其中 n=q +q+1, l? q(q+1)2+1, 2

q?2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q+2 条 连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC、 CD、DA 组成的图形).

现设任一点连的线数?n-2.且设 b0=q+2?n-2.且设图中没有四边形.于是当 i≠j 时,

Bi 与 Bj 没有公共的点对,即|Bi∩Bj|?1(0?i,j?n-1).记 B0 =V\B0,则由|Bi∩B0|?1,
- - - 得|Bi∩ B0 |?bi-1(i=1,2,?,n-1),且当 1?i,j?n-1 且 i≠j 时,Bi∩ B0 与 Bj∩ B0 无公共点对.从而



n-1 - - B0 中点对个数? ∑ (Bi∩ B0 中点对个数).即 i=1 n-1 2 n-1 C2 C|Bi∩- ? ∑ C2 n-b0 ?i∑ B 0| =1 i=1 bi-1 n-1 1n-1 1 1 n-1 2 = ∑ (b2 -3bi+2)? [ ( ∑ bi) -3 ∑ bi+2(n-1)](由平均不等式) i 2i=1 2 n-1 i=1 i=1
1 1 1 2 2 = [ (2l - b0) - 3(2l - b0)+2(n - 1)] = [(2l - b0) - 3(n - 1)(2l - 2 n -1 2(n-1)

b0)+2(n-1)2]
1 2 = (2l-b0-n+1)(2l-b0-2n+2)(2l?q(q+1) +2=(n-1)(q+1)+2) 2(n-1) 1 ? [(n-1)(q+1)+2-b0-n+1][(n-1)(q+1)+2-b0-2n+2] 2(n-1)

1 = [(n-1)q+2-b0][(n-1)(q-1)+2-b0].(两边同乘以 2(n-1)即 2(n-1) (n-1)(n-b0)(n-b0-1)?(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0).(n-1?q(q+1)代入) 得 q(q+1)(n-b0)(n-b0-1)?(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0).(各取一部分因数 比较) ① 但(nq-q-n+3 -b0)-q(n-b0 -1)=(q- 1)b0-n+3(b0 ?q+2)?(q-1)(q+2)-n+3= 2 q +q+1-n=0.② (nq - q+2 - b0) - (q+1)(n - b0) = qb0 - q - n+2 ? q(q+1) - n+2 = 1 > 0. ③

由假设,不存在处在不同行的 2 个红点对,使此四点两

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