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山东省临沂市沂水二中北校区2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)


山东省临沂市沂水二中北校区 2015 届高三上学期 10 月月考数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1. (5 分)已知集合 A={x|1<x<3},B={x|1<log2x<2},则 A∩B 等于() A.{x|0<x<3} B.{x|2<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x<4}

2. (5 分)设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=() A. B. = C. 2 = D.10 ,命题 q:△ ABC 是等边三角形,

3. (5 分)在△ ABC 中,设命题 p: 那么命题 p 是命题 q 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 4. (5 分)设 A.a>b>c B.a>c>b
3

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,则 a,b,c 的大小关系是() C.b>a>c D.b>c>a

5. (5 分)已知函数 f(x)=ax﹣x 在区间[1,+∞)上单调递减,则 a 的最大值是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 6. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≥0 时 f(x)的图象如图所示,则 f(﹣ 2)=()

A.﹣3

B.﹣2

C.﹣1

D.2

7. (5 分)函数 y=sin(x﹣ A.x=

)的一条对称轴可以是直线() C.x=﹣ π D.x=

B.x= π

8. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 bcosC+ccosB=2b, 则 =() A.2
x

B.
2

C.

D.1

9. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x﹣2)=f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣ x ,函数 g(x)= 点的个数为() A.13
2

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,6]内的零

B. 8

C. 9

D.10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11. (5 分)在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an﹣2(n∈N+) ,则该数列中相邻两项的乘积是负 数的为.

12. (5 分)向量 =(1,sinθ) , =(1,cosθ) ,若 ? = ,则 sin2θ=.
2

13. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立, 则实数 m 的取值范围是. 14. (5 分)设 f1(x)=cosx,定义 fn+1(x)为 fn(x)的导数,即 fn+1(x)=f′n(x)n∈N , 若△ ABC 的内角 A 满足 f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)= ,则 sin2A 的值是.
*

15. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=cos(2x﹣ )图象的一条对称轴是 x=

②在同一坐标系中,函数 y=sinx 与 y=lgx 的交点个数为 3 个; ③将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度可得到函数 y=sin2x 的图象;

④存在实数 x,使得等式 sinx+cosx= 成立; 其中正确的命题为(写出所有正确命题的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). x 2 16. (12 分)已知集合 A={x|2 <8},B={x|x ﹣2x﹣8<0},C={x|a<x<a+1}. (Ⅰ)求集合 A∩B; (Ⅱ)若 C?B,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)设命题 p:函数 y=kx+1 在 R 上是增函数,命题 q:曲线 y=x +(2k﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点,如果 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,求 k 的取值范围. 18. (12 分)在平面直角坐标系中,角 α,β 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1,2cos θ) 在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,﹣1)在角 β 的终边上,且 (1)求 cos2θ; (2)求 P,Q 的坐标并求 sin(α+β)的值. 19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 3(b +c )=3a +2bc. (Ⅰ)若 ,求 tanC 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ ABC 的面积 ,且 b>c,求 b,c.
2 2 2 2 2 2



20. (13 分)定义在实数集上的函数 f(x)=x +x,g(x)= x ﹣2x+m. (1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈[﹣4,4]恒成立,求实数 m 的取值范围. 21. (14 分)已知点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )是函数 f(x)=2sin(ωx+φ) 图象上的任意两点,且角 φ 的终边经过点 若|f(x1)﹣f(x2)|=4 时,|x1﹣x2|的最小值为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. . ,

2

3

山东省临沂市沂水二中北校区 2015 届高三上学期 10 月 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1. (5 分)已知集合 A={x|1<x<3},B={x|1<log2x<2},则 A∩B 等于() A.{x|0<x<3} B.{x|2<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x<4} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 直接求出集合 B,然后求出 A∩B 即可. 解答: 解:因为集合 A={x|1<x<3}, B={x|1<log2x<2}={x|2<x<4}, 所以 A∩B={x|2<x<3}. 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的基本性质,集合的基本运算,考查计算能力.

2. (5 分)设 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ ,则| + |=() A. B. C. 2 D.10

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 通过向量的垂直,求出向量 ,推出 ,然后求出模.

解答: 解:因为 x∈R,向量 =(x,1) , =(1,﹣2) ,且 ⊥ , 所以 x﹣2=0,所以 =(2,1) , 所以 =(3,﹣1) , ,

所以| + |=

故选 B. 点评: 本题考查向量的基本运算,模的求法,考查计算能力. 3. (5 分)在△ ABC 中,设命题 p: 那么命题 p 是命题 q 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 ,命题 q:△ ABC 是等边三角形,

=

=

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据正弦定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:由正弦定理可知 ,若 = = =t,





即 a=tc,b=ta,c=bt, 3 即 abc=t abc,即 t=1, 则 a=b=c,即△ ABC 是等边三角形, 若△ ABC 是等边三角形,则 A=B=C= ,则 = = =1 成立,

即命题 p 是命题 q 的充要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用正弦定理是解决本题的关键.

4. (5 分)设 A.a>b>c B.a>c>b

,则 a,b,c 的大小关系是() C.b>a>c D.b>c>a

考点: 对数值大小的比较;不等式比较大小. 分析: 根据指数函数和对数函数的单调性判断出 abc 的范围即可得到答案. 解答: 解:∵a=2 >2 =1 0=ln1<b=ln <lne=1 c= <log31=0
0.1 0

∴a>b>c 故选 A. 点评: 本题主要考查指数函数和对数函数的单调性, 即当底数大于 1 时单调递增, 当底数 大于 0 小于 1 时单调递减. 5. (5 分)已知函数 f(x)=ax﹣x 在区间[1,+∞)上单调递减,则 a 的最大值是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 根据 f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,可得 f'(x)≥0 在区间[1,+∞)上恒成 立,建立等量关系,求出参数 a 最大值即可. 3 2 3 解答: 解:∵f(x)=ax﹣x ∴f′(x)=a﹣3x ∵函数 f(x)=ax﹣x 在区间[1,+∞)上单 调递减, 2 ∴f′(x)=a﹣3x ≤0 在区间[1,+∞)上恒成立, 2 ∴a≤3x 在区间[1,+∞)上恒成立, ∴a≤3. 故选 D. 点评: 本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及恒成立等基础知识, 考查综合分析和 解决问题的能力.
3

6. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≥0 时 f(x)的图象如图所示,则 f(﹣ 2)=()

A.﹣3

B.﹣2

C.﹣1

D.2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2, 故选:B 点评: 本题主要考查函数值的计算, 根据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题 的关键.

7. (5 分)函数 y=sin(x﹣ A.x=

)的一条对称轴可以是直线() C.x=﹣ π D.x=

B.x= π

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为: x=kπ+ 解答: 解:由 x﹣ ∴函数 y=sin(x﹣ 当 k=1 时,x= π, ∴方程为 x= π 的直线是函数 y=sin(x﹣ 故选:B. 点评: 本题考查正弦函数的对称性,求得其对称轴方程为:x=kπ+ 属于中档题. (k∈Z)是关键, )的一条对称轴, =kπ+ (k∈Z)得:x=kπ+ (k∈Z) , (k∈Z) , (k∈Z) , 从而可得答案.

)的对称轴方程为:x=kπ+

8. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 bcosC+ccosB=2b, 则 =() A.2 B. C. D.1

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦, 进而利用两角和公式对等号左边 进行化简求得 sinA 和 sinB 的关系,进而利用正弦定理求得 a 和 b 的关系. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=2b, ∴sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinB, ∴ =2, = ,

由正弦定理知 ∴ = =2,

故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用, 三角函数恒等变换的应用. 考查了学生分析和运 算能力. 9. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()
x 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 分别画出 y=2 , y=x 的图象, 由图象可以函数与 x 轴有三个交点, 且当 x<﹣1 时, y<0,故排除 BCD,问题得以解决. x 2 解答: 解:y=2 ﹣x , 令 y=0, 则 2 ﹣x =0, x 2 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,如图所示, 由图象可知,有 3 个交点, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x 的图象与 x 轴有 3 个交点, 故排除 BC, 当 x<﹣1 时,y<0, 故排除 D 故选:A.
x 2

点评: 本题主要考查了图象的识别和画法, 关键是掌握指数函数和幂函数的图象, 属于基 础题. 10. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x﹣2)=f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣ x ,函数 g(x)= 点的个数为() A.13
2

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,6]内的零

B. 8

C. 9

D.10

考点: 函数的零点;函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+2)=f(x) ,知函数 y=f(x) (x∈R)是周期为 2 的函数,进而根据 f(x) 2 =1﹣x 与函数 g(x)= 的图象得到交点为 9 个.

解答: 解:因为 f(x﹣2)=f(x) ,所以函数 y=f(x) (x∈R)是周期为 2 函数. 2 因为 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x ,所以作出它的图象, 利用函数 y=f(x) (x∈R)是周期为 2 函数,可作出 y=f(x)在区间[﹣5,6]上的图象,如 图所示:

故函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间 [﹣5,6]内的零点的个数为 9, 故选 C.

点评: 本题的考点是函数零点与方程根的关系, 主要考查函数零点的定义, 关键是正确作 出函数图象,注意掌握 周期函数的一些常见结论:若 f(x+a)=f(x) ,则周期为 a;若 f(x+a)=﹣f(x) ,则周期 为 2a; 若 f(x+a)= ,则周期为 2a,属于基础题.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11. (5 分)在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an﹣2(n∈N+) ,则该数列中相邻两项的乘积是负 数的为 a23?a24. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 把等式 3an+1=3an﹣2 变形后得到 an+1﹣an 等于常数,即此数列为首项为 15,公差 为﹣ 的等差数列,写出等差数列的通项公式,令通项公式小于 0 列出关于 n 的不等式,求 出不等式的解集中的最小正整数解,即可得到从这项开始,数列的各项为负,这些之前各项 为正,得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项. 解答: 解:由 3an+1=3an﹣2,得到公差 d=an+1﹣an=﹣ , 又 a1=15, 则数列{an}是以 15 为首项,﹣ 为公差的等差数列, 所以 an=15﹣ (n﹣1)=﹣ n+ 令 an=﹣ n+ <0,解得 n> , ,即数列{an}从 24 项开始变为负数,

所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是 a23a24. 故答案为:a23?a24 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值, 掌握确定一个数列为等差数 列的方法,是一道综合题.

12. (5 分)向量 =(1,sinθ) , =(1,cosθ) ,若 ? = ,则 sin2θ=



考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题. 分析: 由 解答: 解:∵ ∴sin2θ= = = = 可求 =

故答案为: 点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示, 三角函数的二倍角公式的应用, 属于基 础试题 13. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立, 则实数 m 的取值范围是(﹣ ,0) .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用二次函数的性质可得 此求得 m 的范围. 2 解答: 解:∵二次函数 f(x)=x +mx﹣1 的图象开口向上, 对于任意 x∈[m, m+1], 都有 ( f x) <0 成立, ∴ , , 由



,解得﹣

<m<0,

故答案为: (﹣

,0) .

点评: 本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 14. (5 分)设 f1(x)=cosx,定义 fn+1(x)为 fn(x)的导数,即 fn+1(x)=f′n(x)n∈N , 若△ ABC 的内角 A 满足 f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)= ,则 sin2A 的值是 .
*

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由已知分别求出 f2(x) ,f3(x) ,f4(x) ,f5(x) ,可得从第五项开始,fn(x)的 解析式重复出现,每 4 次一循环,结合 f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)= 求出 cosA,进一 步得到 sinA,则答案可求. 解答: 解:∵f1(x)=cosx, ∴f2(x)=f1′(x)=﹣sinx, f3(x)=f2′(x)=﹣cosx, f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f4′(x)=cosx, … 从第五项开始,fn(x)的解析式重复出现,每 4 次一循环. ∴f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0.

∴f2013(x)=f4×503+1(x)=f1(x)=cosx. ∵f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)= . ∴cosA= . ∵A 为三角形的内角, ∴sinA= . .

∴sin2A=2sinAcosA= 故答案为: .

点评: 本题考查了导数及其运算,关键是找到函数解析式规律性,是中档题. 15. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=cos(2x﹣ )图象的一条对称轴是 x=

②在同一坐标系中,函数 y=sinx 与 y=lgx 的交点个数为 3 个; ③将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度可得到函数 y=sin2x 的图象;

④存在实数 x,使得等式 sinx+cosx= 成立; 其中正确的命题为①②(写出所有正确命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: ①由 x= 时,y=﹣1,可得结论;②利用函数图象,求解;③根据图象的平移 sin(x+ ) ,x= )≤ < ,可以判断. )图

规律可得结论;④根据 sinx+cosx= 解答: 解:①函数 y=cos(2x﹣ 象的一条对称轴是 x= ,正确;

时,y=﹣1,所以函数 y=cos(2x﹣

②在同一坐标系中,画出函数 y=sinx 和 y=lgx 的图象,

所以结合图象易知这两个函数的图象有 3 交点,正确;

③将函数 y=sin (2x+ 即 y=sin(2x﹣ ④sinx+cosx=

) 的图象向右平移

个单位长度可得到函数 y=sin[2 (x﹣

) +

],

)的图象,故不正确; sin(x+ )≤ < ,故不存在实数 x,使得等式 sinx+cosx= 成立;

故答案为:①②. 点评: 本题利用三角函数图象与性质, 考查命题的真假判断与应用, 考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. (12 分)已知集合 A={x|2 <8},B={x|x ﹣2x﹣8<0},C={x|a<x<a+1}. (Ⅰ)求集合 A∩B; (Ⅱ)若 C?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (I)解指数不等式求出 A,解二次不等式求出 B,进而可得集合 A∩B; (Ⅱ)若 C?B,则
x x 2

,解不等式组可得实数 a 的取值范围.
x 3

解答: 解: (Ⅰ)由 2 <8,得 2 <2 ,x<3. (3 分) 2 解不等式 x ﹣2x﹣8<0,得(x﹣4) (x+2)<0, 所以﹣2<x<4. (6 分) 所以 A={x|x<3},B={x|﹣2<x<4}, 所以 A∩B={x|﹣2<x<3}. (9 分) (Ⅱ)因为 C?B, 所以 (11 分)

解得﹣2≤a≤3. 所以,实数 a 的取值范围是[﹣2,3]. (13 分) 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合的交集运算,解不等式,难 度不大,属于基础题. 17. (12 分)设命题 p:函数 y=kx+1 在 R 上是增函数,命题 q:曲线 y=x +(2k﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点,如果 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,求 k 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 易得 p:k>0,q: 或 ,由 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,可得 p,q
2

一真一假,分别可得 k 的不等式组,解之可得. 解答: 解:∵函数 y=kx+1 在 R 上是增函数,∴k>0, 2 又∵曲线 y=x +(2k﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点,

∴△=(2k﹣3) ﹣4>0,解得

2





∵p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,∴命题 p,q 一真一假, ①若 p 真 q 假,则 ,∴ ;

②若 p 假 q 真,则

,解得 k≤0,

综上可得 k 的取值范围为: (﹣∞,0]∪[ , ] 点评: 本题考查复合命题的真假,涉及不等式组的解法和分类讨论的思想,属基础题. 18. (12 分)在平面直角坐标系中,角 α,β 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1,2cos θ) 在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,﹣1)在角 β 的终边上,且 (1)求 cos2θ; (2)求 P,Q 的坐标并求 sin(α+β)的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;同角三角函数间的基本关系;二 倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用向量数量积运算得出 sin θ﹣2cos θ=﹣1,再利用二倍角余弦公式求出 cos2θ. (2)由(1)可以求出 P,Q 的坐标,再利用任意角三角函数的定义求出 α,β 的正、余弦 值.代入两角和的正弦公式计算. 解答: 解(1) ∵
2 2 2 2 2 2



=(1,2cos θ) ,

2

=(sin θ,﹣1) ,

2



∴sin θ﹣2cos θ=﹣1, ∴ ∴ . , , ,

(2)由(1)得: ∴ ∴







由任意角三角函数的定义,



同样地求出 ∴





点评: 本题考查向量的数量积运算、 任意角三角函数的定义、 利用三角函数公式进行恒等 变形以及求解运算能力. 19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 3(b +c )=3a +2bc. (Ⅰ)若 ,求 tanC 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ ABC 的面积 ,且 b>c,求 b,c.
2 2 2

考点: 余弦定理的应用. 专题: 综合题;解三角形. 2 2 2 分析: (Ⅰ)由 3(b +c )=3a +2bc,利用余弦定理,可得 cosA,根据 即可求 tanC 的大小; (Ⅱ)利用面积及余弦定理,可得 b、c 的两个方程,即可求得结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵3(b +c )=3a +2bc,∴ ∴cosA= ,∴sinA= ∵ ∴ ∴ ∴tanC= ; ,∴
2 2 2 2 2



=

,∴

(Ⅱ)∵ABC 的面积

,∴bc= ①

∵a=2,∴由余弦定理可得 4=b +c ﹣2bc× ∴b +c =5② ∵b>c,∴联立①②可得 b= ,c= .
2 2

点评: 本题考查余弦定理,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.
2 3

20. (13 分)定义在实数集上的函数 f(x)=x +x,g(x)= x ﹣2x+m.

(1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈[﹣4,4]恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求切线方程,就是求 k=f′(1) ,f(1) ,然后利用点斜式求直线方程,问题得 以解决; (2)令 h(x)=g(x)﹣f(x) ,要使 f(x)≥g(x)恒成立,即 h(x)max≤0,转化为求最 值问题. 2 解答: 解: (1)∵f(x)=x +x ∴f′(x)=2x+1,f(1)=2, ∴f′(1)=3, ∴所求切线方程为 y﹣2=3(x﹣1) , 即 3x﹣y﹣1=0; (2)令 h(x)=g(x)﹣f(x)= x ﹣2x+m﹣x x= x ﹣3x+m﹣x ∴h′(x)=x ﹣2x﹣3, 当﹣4<x<﹣1 时,h′(x)>0, 当﹣1<x<3 时,h′(x)<0, 当 3<x<4 时,h′(x)>0, 要使 f(x)≥g(x)恒成立,即 h(x)max≤0, 由上知 h(x)的最大值在 x=﹣1 或 x=4 取得, 而 h(﹣1)= ∵m+ ∴ 即m , . ,h(4)=m﹣ , ,
2 3 2﹣ 3 2

点评: 导数再函数应用中,求切线方程就是求某点处的导数,再求参数的取值范围中,转 化为求函数的最大值或最小值问题. 21. (14 分)已知点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )是函数 f(x)=2sin(ωx+φ) 图象上的任意两点,且角 φ 的终边经过点 若|f(x1)﹣f(x2)|=4 时,|x1﹣x2|的最小值为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. . ,

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数的定义求出 φ 的值,由|f(x1)﹣f(x2)|=4 时,|x1﹣x2|的最小 值为 ,可得函数的周期,从而可求 ω,进而可求函数 f(x)的解析式;

(2)利用正弦函数的单调增区间,可求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,等价于 ,由此可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)角 φ 的终边经过点 ∴ ,…(2 分) ∵ ,∴ .…(3 分) ,得 , ,

由|f(x1)﹣f(x2)|=4 时,|x1﹣x2|的最小值为 即 ∴ (2)由 可得 ∴函数 f(x)的单调递增区间为 (3 ) 当 于是,2+f(x)>0, ∴mf(x)+2m≥f(x)等价于 由 ,得 时, ,∴ω=3…..(5 分) …(6 分) , ,…(8 分)

k∈z…(9 分) ,…(11 分)

…(12 分) 的最大值为 …(13 分) .…(14 分)

∴实数 m 的取值范围是

点评: 本题考查函数解析式的确定,考查三角函数的性质,考查分离参数法的运用,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.


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