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2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)一轮总复习12-1


第1讲

随机抽样

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突破· 高频考点

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知识梳理

1.简单随机抽样
(1)定义:一般地,从个体数为N的总体中逐个不放回地 取出 n个个体作为样本(n<N),如果每个个体都有 相同 的机会被取 到,那么

这样的抽样方法称为简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法: 抽签法 和 随机数法 .

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2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本. (1)采用随机的方式将总体中的N个个体 编号 ;
N N N (2)将编号接间隔 k 分段,当 n 是整数时,取 k= n ;当 n 不是 整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个 N′ 数 N′能被 n 整除,这时取 k= n ,并将剩下的总体重新编 号;

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(3)在第一段中用 简单随机抽样 确定起始的个体编号l;
(4) 按 照 一 定 的 规 则 抽 取 样 本 , 通 常 将 编 号 为 l , l + k , l + 2k,?,l+(n-1)k的个体抽出.

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3.分层抽样
(1)当总体由 差异明显的几个部分 组成时,为了使样本更

客观地反映总体情况,将总体中的个体按不同的特点分成层 次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比实施 抽样,这种抽样方法叫分层抽样.

(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层; ②计算各层的个体数与总体的个体数的比; ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本 容量;

④在每一层抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).
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辨析感悟

1.对简单随机抽样的认识
(1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中,某一个个体被抽 到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大. (×) (2)从100件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件,连续 拿5次,是简单随机抽样. 2.对系统抽样的理解 (×)

(3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体. (√)
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.(×)
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3.对分层抽样的理解
(5) 分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有 关. (×)

(6)(2014· 郑州模拟改编 ) 某校即将召开学生代表大会,现从 高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽

取.

(√)

(7)(2013· 湖南卷改编 ) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同 一种产品,数量分别为 120 件、 80 件、 60 件.为了解它们的 产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容 量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,

则n=13.
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(√)
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[感悟·提升]
两点提醒 一是简单随机抽样(抽签法和随机数法 )都是从总

体中逐个地进行抽取,都是不放回抽样.如(2). 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都 相等,如(1)、(4)、(5).

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考点一 简单随机抽样

【例1】 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本. (2) 盒 子 里 共 有 80 个 零 件 , 从 中 选 出 5 个 零 件 进 行 质 量 检 验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后 再把它放回盒子里.

(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
(4)某班有56名同学,指定个子最高的 5名同学参加学校组织 的篮球赛.
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(1)不是简单随机抽样.由于被抽取的样本总体的个体数是

无限的,而不是有限的. (2)不是简单随机抽样.由于它是放回抽样. (3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐 个”抽取. (4)不是简单随机抽样.因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中 特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.

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规律方法 (1)简单随机抽样需满足;①抽取的个体数有限;②逐 个抽取;③是不放回抽取;④是等可能抽取. (2) 简单随机抽样常有抽签法 ( 适用总体中个体数较少的情况 ) 、 随机数表法(适用于个体数较多的情况).

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【训练1】 下列抽样试验:①从某厂生产的5 000件产品中抽取
600件进行质量检验;②从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中 抽取6件进行质量检验;③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18 件)产品中抽取6件进行质量检验;④从某厂生产的5 000件产 品中抽取10件进行质量检验.适合用抽签法的有________. 答案 ②

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考点二 系统抽样
【例2】 (2012·山东卷改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32 人做问卷调查.为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组 后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 [1,450] 的人做问卷 A ,编号落入区间 [451,750] 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C. 则抽到的人中, 做问卷B的人数为________.

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解析

从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人, 则每 30 人抽取一

人,因为第一组抽到的号码为 9,则第二组抽到的号码为 39,第 n 组抽到的号码为 an=9+30(n-1)=30n-21,由 451≤30n- 236 257 21≤750,得 15 ≤n≤ 10 ,所以 n=16,17,?,25,共有 25- 16+1=10 人.

答案 10

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规律方法 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也
较大. (2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先 从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔. (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确 定,其他编号便随之确定.

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【训练2】 (1)从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹

中随机抽取 5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码
间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 ________. ①5,10,15,20,25;②3,13,23,33,43;③1,2,3,4,5;④2,4,6,16,32. (2)(2014· 临沂模拟 ) 某班共有 52 人,现根据学生的学号,用

系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 3 号、 29
号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 ________

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解析 (1)间隔距离为10,故可能编号是3,13,23,33,43.
(2)因为29号、42号的号码差为13,所以3+13=16,即另外一个 同学的学号是16. 答案 (1)② (2)16

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考点三 分层抽样
【例3】 (2014·兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布 如下表(每名同学只参加一个小组) (单位:人) 篮球组 书画组 乐器组

高一
高二

45
15

30
10

a
20

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学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽
样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮 球组被抽出12人,则a的值为________.
解析 30 12 因为 = ,所以解得 a=30. 45+15+30+10+a+20 45+15

答案 30
规律方法 进行分层抽样的相关计算时, 常利用以下关系式巧解: 样本容量n 该层抽取的个体数 (1) = ; 总体的个数N 该层的个体数 (2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之 比.
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【训练3】 (1)(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学
生人数之比为 3∶3∶4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ________名学生. (2) 某单位有职工 750人,其中青年职工 350人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用 分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7

人,则样本容量为________.

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解析

3 3 (1)高二年级学生人数占总数的 = 10 . 样本容量为 3+3+4

3 50,则高二年级抽取:50×10=15(名)学生. (2)由题意知,青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数= 350∶250∶150=7∶5∶3.由样本中青年职工为 7 人得样本容量 为 15.

答案 (1)15 (2)15

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1.三种抽样方法的联系 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个 个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和 公平性.若样本容量为 n,总体的个体数为 N,则用这三种方 n 法抽样时,每个个体被抽到的概率都是N.

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2.各种抽样方法的特点

(1)简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无明显层
次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样 法抽取的个体带有随机性,个体间无固定间距. (2)系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总体;各 个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样

时,采用简单随机抽样.
(3)分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的 情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统 抽样.
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创新突破10——抽样方法与概率的交汇问题
【典例】 (2012·天津卷)某地区有小学21所,中学14所,大学7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学 生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分 析,

①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.

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突破1:确定分层抽样中的每层所占的比例. 突破2:用列举法列出所有可能抽取的结果.

突破3:利用古典概型的计算公式计算.
解 (1) 由分 层 抽 样的 定 义 知, 从 小 学中 抽 取 的学 校 数目为

21 14 6× =3;从中学中抽取的学校数目为 6× = 21+14+7 21+14+7 7 2;从大学中抽取的学校数目为 6× =1,所以从小学、 21+14+7 中学、大学分别抽取的学校数目为 3,2,1.

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(2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所 中学分别记为 A4,A5,大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可 能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2, A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3, A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可 能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 种. 3 1 所以 P(B)=15=5.

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[反思感悟] 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联
系,计算量和阅读量都比较大,且一般会有图表,求解时容易 造成失误,平时需注意多训练此类型的题目.

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【自主体验】

(2014·潮州模拟)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年
龄状况和接受教育程度 ( 学历 ) 的调查,其结果 ( 人数分布 ) 如 下表: 学历 本科 35岁以下 80 35~50岁 30 50岁以上 20

研究生

x

20

y

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(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取 一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至少有 1 人学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法 抽取 N 个人,其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 5 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率为39, 求 x,y 的值.

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(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样

30 m 本,设抽取学历为本科的人数为 m,∴50= 5 ,解得 m=3. 抽取的样本中有研究生 2 人,本科生 3 人,分别记作 S1,S2;B1, B2,B3. 从中任取 2 人的所有等可能基本事件共有 10 个:(S1,B1),(S1, B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2), (B1,B3),(B2,B3), 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:(S1,B1), (S1,B2),(S1,B3),(S2,B1)(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2). 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人学历为研究生的概率为10.
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10 5 (2)由题意,得 N =39,解得 N=78. ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20, 48 20 10 ∴ =50= , 80+x 20+y 解得 x=40,y=5. 即 x,y 的值分别为 40,5.

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