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专题10 立体几何-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析]


一.基础题组 1.
【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】已知 m, n 为异面直线, m ? 平 面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则( A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ?

相交,且交线平行于 l )

2.

【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】某三棱锥的三视图如所示,该 )

三棱锥的体积为(

A.20 【答案】B 【解析】

B.

40 3

C.56

D.60

试题分析:根据三视图可知该三棱锥为一个底面是直角三角形,高为 4 的棱锥,于是

V?

1 ?1 40 ? ,故选 B. ? ? ? 4 ? 5? ? 4 ? 3 ?2 3 ?

考点:本小题主要考查三视图、体积计算

3. 【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】设 m, n 是空间两条直线,? , ?
是空间两个平面,则下列选项中不正确 的是( ... ) A.当 m ? ? 时, “ n // ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时, “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时, “ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时, “ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件

4.

【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图,则 ) B. 2 5 0

该几何体的体积为( A. 2 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

6.

【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】一个几何体的三视图如图所示, ( )

则该几何体的体积是

A.64

B.72

C.80

D.112

7. 【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】已知四棱锥 P-ABCD 的三视
图如下图所示,则四棱锥 P-ABCD 的四个侧面中的最大的面积是 A.3 B.2 5 C.6 D.8 ( )

10.【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】 某几何体的三视图如图所示,
其体积为 .



【答案】 【解析】

? 3

试题分析:根据三视图可知该几何体是圆锥的一半,发现底面圆的半径为 1,高为 2,所以体 积V ?

1 1 ? ? ? ? ? 12 ? 2 ? . 2 3 3

考点:三视图、圆锥体积公式.

11.

【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】一个几何体的三视

图如图所示,则该几何体的体积为_____.

12.

【山西省山大附中 2014 届高三 9 月月考数学理】三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视

图和左视图如图所示,则棱 BD 的长为___ ______.

【答案】 4 2 【解析】 试题分析:由 主 视 图 知 CD ? 平 面 A B C, 设 AC 中 点 为 E , 则 B E ? AC ,且

AE ? C E? 2 ;

二.能力题组 1.
【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】正方形 AP1P2P3 的边长为 4,

点 B,C 分别是边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 折成一个三棱锥 P-ABC(使 P1,P2,P3 重 合于 P) ,则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为 A.24π B.12π C.8π ( ) D.4π

【结束】

2. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿
高 AD 翻折, 使点 B 与点 C 间的距离为 1, 此时四面体 ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】 【解析】

13? 3
D, A 底面


, DC ? 试题分析:根 据 题 意 可 知 , 三 棱 锥 B ? A C D 的 三 条 侧 棱 B D? A D
是 正

考点:表面积计算

三.拔高题组 1. 【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】已知轴对称平面五边形 ADCEF (如
图 1) , BC 为对称轴, AD ? CD , AD ? AB ? 1 , CD ? BC ? 3 ,将此图形沿 BC 折叠 成直二面角,连接 AF 、 DE 得到几何体(如图 2) . (I)证明: AF ∥平面 DEC ; (II)求二面角 E ? AD ? B 的余弦值.

由已知易得平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (1,0,0) ,

∴ cos ? n, n1 ??

21 21 ,∴二面角 E-AD-B 的余弦值为 . 7 7

考点:立体几何线面平行的证明、二面角的求解,考查学生的空间想象能力和空间向量的使 用.

2.

【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

2 D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= 2 AB. (Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

→ 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.

考点:线面平行关系,二面角,空间向量的求解.

3.

如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,

PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2 PF ? FA .
(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 BEF ; (Ⅱ)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.

4. 【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所
在平面互相垂直,
AD ? CD, AB // CD , AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合。 2

(Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 积.
6 时,求三棱锥 M ? BDE 的体 6

4 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 3 ;
【解析】

试题分析: (Ⅰ)主要利用空间向量、线面垂直可证面面垂直; (Ⅱ)通过作平行线转化到三 角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解; 试题解析: (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

考点:本小题主要考查立体几何线平行的证明、体积的求解,考查学生的空间想象能力和空 间向量的使用.

5. 【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】 (本题满分 14 分)如
图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且

AB ? 1, BC ? 2 , ?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C -A1D-E 的余弦值.

试题解析:(Ⅰ)依题意, BE ? EC ? 所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60 又 ?CED ?
0

1 BC ? AB ? CD , 2

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 2
…………2 分

0 所以 ?AED ? 90 , DE ? AE

因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE …………3 分

p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1, ? 3,0) ,

6. 【2014 届广东高三六校第一次联考理】已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯
视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值;

(3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ? BQ 并说明理由.

E F D C B

A

1 ? (4 ? 1) ? 4 ? 10 2 1 1 40 ∴ V ? ? S梯形BCED ? AC ? ? 10 ? 4 ? . 3 3 3 40 即该几何体的体积 V 为 .----------------------------------3 分 3
∴ S梯形BCED ? (2)解法 1:过点 B 作 BF//ED 交 EC 于 F,连结 AF,

解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E(0,0,4)

∴ DE ? (0, ?4,3), AB ? (?4, 4,0) ,∴ cos ? DE , AB ?? ?

2 2 5

考点:1.三视图;2.锥体的体积;3.异面直线所成角;4 探究性问题证明线线垂直;5.利用空 间向量解决几何问题.

7.

【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】 (本题满分 12 分)已知四棱锥

P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, 且 PD ? 底面ABCD ?DAB ? 60? , E 为 AB 的中点.
(1)证明: DC ? 平面PDE ; (2)若 PD ? 3 AD ,求面 DEP 与面 BCP 所成二面角的余弦值.

试题解析: (1)证明: PD ? 底面ABCD

? PD ? AB , 连接DB, 在菱形ABCD中,?DAB ? 60?

??DAB为等边三角形 …………………2 分 又 E为AB的中点 PD ? DE =D ? AB ? 底面PDE …………………4 分

AB / / CD ,? AB ? DE 又

? CD ? 底面PDE …………………6 分

(2)如图,分别以DE , DB, DP所在直线为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系
设AD ? a,则PD ? 3a
? D(0, 0, 0), B( 3 1 a, a, 0), C (0, a, 0), P(0, 0, 3a) …………………8 分 2 2


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