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[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《导数的概念》教案(广东曾劲松)


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《导数的概念》教案
广东省深圳市深圳中学 曾劲松

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A 版)数学选修 2-2 第 一章第一节的《变化率与导数》《导数的概念》是第 2 课时. ,

教学内容分析
1.导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念

之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导 数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、 不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济 学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 2.本课内容剖析 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是 因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习 导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函 数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生 学习和研究函数. 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一 时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是 瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的.

进行导数概念教学时还应该看到, 通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬 时速度; 从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变 化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想.

教学目的
1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向 于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就 是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念;

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Http://www.fhedu.cn 3.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤; 4.通过导数概念的构建,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验; 5.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律 的重要过程.

教学重点
通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求,抽象概括出函数导数的概念.

教学难点
使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义, 由此得出函数在某点平均变化 率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此得出导数的概念.

教学准备
1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法; 2.为学生每人准备一台 Ti-nspire CAS 图形计算器,并对学生进行技术培训; 3.制作《数学实验记录单》及上课课件.

教学流程框图
教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律,使学生在操作感知的基础上形成导 数概念的表象, 再通过表象抽象出导数概念, 并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一 步体会导数的本质. 教学的主要过程设计如下:

复 习 准 备 体 会 模 型 提 炼 模 型 形 成 概 念 应 用 概 念 小 结 作 业

理解平均速度与瞬时速度 的区别与联系.

感受当△t→0 时,平均速 度逼近于某个常数.

从形式上完成从平均速度 向瞬时速度的过渡. 由物体运动的瞬时速度推 广到函数瞬时变化率,并 由此得出导数的定义. 理解导数概念,熟悉求导 的步骤,应用计算结果解 释瞬时变化率的意义. 通过师生共同小结,使学 生进一步感受极限思想对 人类思维的重大影响.

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教学过程设计
预计时 教学内 间 (分) 容 教师活动 (1)提问:请说出函数从 x1 到 x2 的平均变化率公式. (2)提问:如果用 x1 与增量△x 表示平均变化率的公式是怎样的? (3)高台跳水的例子中,在时 学生活动 回答问题后理解: ( 1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) . x2 ? x1 ( 2 )
f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) .

教学评价 (1)复习 过程应使 学生明确 函数的平 均变化率 表示.

?x 65 间段 [0, ] 里的平均速度是零, 而实 1.复习 (3) 学生在教师的 49

5 分钟

际上运动员并不是静止的.这说明平 均速度不能准确反映他在这段时间 设 计 意 里运动状态. 图: 让学 (4)提问:用一个什么样的量 生 理 解 来反映物体在某一时刻的运动状 平 均 速 态? 度与瞬 (5)提问:我们如何得到物体 时 速 度 在某一时刻的瞬时速度?例如,要求 的 区 别 物体在 2S 的瞬时速度,应该怎么解 与联系, 决? 感受到 (6)我们一起来看物理中测即 平 均 速 时速度(瞬时速度)的视频: 度在时 间间隔 很小时 可以近 似地表 示瞬时 速度.

准备

讲述中思考用什么 量来反映运动员的 运动状态.

(4) 让学生体会并 明确瞬时速度的作 用. (5)学生思考.

(6) 学生观看视频 并思考.

(2)应使 学生明确 平均速度 与瞬时速 度 的 关 系,为下 一阶段实 验活动作 铺垫.

(7)提问:这里所测得的真的 是瞬时速度吗? (8)提问:怎样使平均速度更 好的表示瞬时速度? (9)在学生回答的基础上讲述:

(7) 期望或引导答 出“是平均速度” . (8)学生回答,得 出“时间间隔越小

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Http://www.fhedu.cn 真正的瞬时速度根本无法通过 仪器测定,我们将平均速度作为瞬时 速度的近似值; 为了使平均速度更好的表示瞬 时速度,应该让时间间隔尽量小. 越好! ” (9) 学生体会教师 所 讲结论.

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2.体 会模 型

(1)向学生提出数学实验任务: 已知跳水运动员在跳水过程中距离水 面 的 高 度 与 时 间 的 函 数 h(t)= - 4.9t2+6.5t+10, 请你用计算器完成下列表格 中 t0=2 秒附近的平均速度的计算并填充好 表格,观察平均速度的变化趋势. 数学实验记录单(1) x>0 时,在[2, 2+x] 内 , x<0 时,在[2+x, 2] 内 ,

15 分 钟

设 计 h(2) ? h(2 ? x) h(2 ? x) ? h(2) v? 意图: v ? x ?x 让 学 X x 生 在 v v 信 息 0.1 -0.1 技 术 0.01 -0.01 平 台 0.001 -0.001 上,通 0.0001 -0.0001 过 定 0.00001 -0.00001 量 分 0.000001 - 析 感 0.000001 受 平 你认为运动员在 t0=2 秒处的瞬时速度 均 速 为 m/s. 度 在 时 间 (2)提问:x、g(x)的含义各是什么? 间 隔 越 来 越 小 时 向 瞬 时 (3) 提问: 观察你自己的实验记录单, 速 度 你能发现平均速度有什么变化趋势吗? 逼 近 先展示一个同学的实验结果,并让他 的 过 说说他的发现,再将计算器的结果投影, 程. 引导同学们一起观察. (4) 将学生分四个组, 让他们分别完 成 t0=1.6、1.7、1.8、1.9 时的实验记录 单(2)的填写,说出他们观察的结果,并 将 4 个结果写列在黑板上.

(1)学生在 TI-nspire Http://www.fhedu.cn CAS 上完成以下操作: ( 1 ) 应 使 学 生 在 技 术 平 (2)学生操作得出如下 台 上 结果,完成数学实验记 通 过 录单(1)的填写: 多 次 实 验 感 受 到 平 均 速 度 在 ?t → 0 时趋 近 于 一 个 常数, 并 理 解 这 (3)让学生讲他所发现 个 常 的规律. 数 的 意义. (2) (4)学生分 4 个组再次 应 使 实验,分别完成本组的 学 生 数学实验记录单(2)的 从 感 填写,并观察平均速度 性 上 的变化趋势,回答教师 获 得 的提问. 求 瞬 时 速 度 的 方法.

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t0=1.6 t0=1.7 t0=1.8 t0=1.9 t0=2

v →-9.18 v →-10.16 v →-11.14 v →-12.12 v →-13.1

在学生实验与观察的基础上指出: 当 ?t 趋近于 0 时, 平均速度都趋近于 一个确定的常数, 这个常数就是瞬时速度.

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Http://www.fhedu.cn (1)提问:你认为通过实验所得结果(常数) (1) 学生 就是瞬时速度吗?这个数据到底是精确值还是近似 思考,也 值? 可 以 讨 论. (2)让学生动笔化简 t0=2 对应的平 (2) 学生 化简 t0=2 均速度的表达式. (化简结果为 ?4.9?t ? 13.1 ) 处对应的 (3)引导学生从化简的表达式中发现当△t?0 平均速度 的 表 达 时, ?4.9?t ? 13.1 ?-13.1. 式,观察 3.提炼 (4)让学生动手化简 t0=1.6 对应的平均速度的 当 △ t?0 模型 时平均速 表达式. (化简结果为 ? 4.9?t ? 9.18 ) 度表达式 设计意 启发学生归纳出结论:△t?0 时,平均速度所趋 的变化趋 图: 使学 近的这个常数是可以得到的,它不是近似值,是一个 势. 生 认 识 精确值,它与变量△t 无关,只与时刻 t0 有关. (3) 学生 到平均 (5)提问:我们得到了 t0=1.6、1.7、1.8、1.9 化 简 速 度 当 时的瞬时速度, 但这还不足以代表所有时刻的瞬时速 t0=1.6 处 时 间 间 度,能不能用同样的办法,得到 t0 时的瞬时速度? 对应的平 隔趋向 启发学生化简平均速度的表达式,并与学生一 均速度的 于零时 起总结出: 表达式, 的极限 观察当△ ?f h(t 0 ? ?t ) ? h(t 0 ) 就是瞬 t?0 时平 ? ?t ?t 时速度, 均速度表 为给出 达式的变 ? ?9.8t0 ? 4.9?t ? 6.5 ? ?9.8t0 ? 6.5(?t ? 0) . 导数概 化趋势. h?t 0 ? ?t ? ? h?t 0 ? 念提炼 (6)教师讲解:用 lim 表示 v ?t 出一个 (3) 学生 ?t ?0 具体的 所 趋 近 的 常 数 , 即 化简任意 ?t 0 ? ?t ? ? h?t 0 ? h 极限模 时刻 t0 处 ? ?9.8t 0 ? 6.5 .今后把这个常 lim0 ?t 型. 对应的平 ?t ? 均速度的 数叫做在 t ? t 0 处,当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 的 表达式, 极限.比如,-13.1 是在 t ? 2 处,当△t 趋近于 0 时 观察当△ h?2 ? ?t ? ? h?2 ? t?0 时平 的极限. 均速度表 ?t 达式的变 化趋势. (4) 学生 根据教师 的讲解理 解平均速
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应使学 生通过 动手计 算,得 到平均 速度在 ?t →0 时趋近 于一个 常数, 并且这 个常数 就是瞬 时 速 度.使 学生理 解极限 符号表 示的意 义.

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Http://www.fhedu.cn 度的极限 的意义.

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(1)给出下列图示:

5

4.形 成概 念 设 计 意图: 完 成 从 运 动 物 体 的 瞬 时 速 度 到 函 数 瞬 时 变 化 率 的 过 渡,形 成 导 数 的 概 念 并 给 出 定 义.

(2)针对上述图示,教师在启发后提问: 通过前面的学习,我们知道平均速度就是函数 h(t)的平 均变化率.瞬时速度就是函数 h(t)的瞬时变化率.同时,我 们已经知道:平均速度在△t→0 时的极限就是瞬时速度.那 么,你能否说说,一般情况下,函数的平均变化率与瞬时变 化率是一个什么关系? (3)在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的 关系后提问:函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示? 教师介绍如下的的表示方法: 函数 f(x)在 x= x0 处的瞬时变化率可表示为

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim . ?x ? 0 ?x ?x ?0 ?x lim
(4)教师给出导数的定义: 函数 f ( x ) 在 x ? x 0 处的瞬时变化率

(1) 在 教 师 的 启 发 下 思 考 函 数 的 平 均 变 化 率 与 瞬 时 变 化 率 之 间 的 关系.

(2) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f 回 答 lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x 教 师 ?x f ( x0 ? ?x) ? f (的) 提 x0 ? y 称为 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或lim ? x ? x , 0 ?x ?0 ?x 问. 即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (3) . f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 理 解 ?x 函 数 导 数 的 概 念 与 导 数 的 表 示 方
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应 使 学 生 从 “平 均 速 度 的 极 限 是 瞬 时 速 度” 这 个 具 体 的 模 型 中 抽 象 出 导 数 的 概 念, 并 能 理 解 导 数 是 一 个 极限, 明 确 导 数 的 表 示.

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Http://www.fhedu.cn 法. (1)提问:你能说说求函数 y=f(x) 在 x= x0 处的导数的步骤吗? 教师在学生说的基础上要总结出步 骤. 5.应用概 (2)讲解例 1: 念 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加 设计意图: 热.如果第 x(h)时,原油的温度(单 让学生进 2 ? 位: C )为:f(x)=x -7x+15(0≤x≤8).计 一步理解 导数概念, 算第 2(h) 和第 6(h)时,原油温度的 体 会 导 数 瞬时变化率,并说明它们的意义. 的应用价 强调: 值,熟悉求 第 2 小时的瞬时变化率为-3,说明 导 数 的 步 在第 2 小时附近,原油大约以 3 ? C / h 的 .. .. 骤. 速度下降. (3)提出练习:计算 3h 时原油温 度的瞬时变化率,表述你所得结果的意 义. (1) 学生思 考并交流求 函 数 在 x0 处的导数的 步骤. (2) 在教师 讲解完后完 成教师提出 的练习. (3)求出 回 f ?(3) 后, 答 f ?(3) 的 意义. (1)检查 学生是否 清楚求导 数的步骤. (2)检查 学生能否 准确地求 出函数在 某点的导 数. (3)应使 学生能利 用计算结 果解释导 数(即瞬时 变化率)的 意义.

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Http://www.fhedu.cn (1)让学生小结并交流. (2)教师总结: 本节课学习了导数的概念, 在这个过 6.小结作 程中我们看到: 数学使不可能的事情变成 业 现实; 设计意图: 导数的概念表明: 当自变量的增量趋 让学生通 向于零时, 函数在某点的平均变化率的无 过总结,进 限地趋向于函数在该点的瞬时变化率, 这 一步体会 是非常重要的极限思想. 导数的意 求导数的步骤大致分为以下三步: 义及极限 第一步,求函数增量; 的思想,训 第二步,求平均变化率并化简; 练学生的 第三步,求平均变化率的极限,即导 概 括 能 数. 力.通过布 作业: 置作业,巩 A 层:P10/2,3,4. 固所学内 B 层:A 层+补充. 容. (补充)已知 y=x3.求: (1) y?
x?0

思考本节课 所学内容, 可以彼此之 间交流自己 的小结,回 答 教 师 提 问.

5

(1)使学 生不仅能 从知识的 角度看所 学过的内 容,还能体 会到寓于 知识中的 数学思想 与方法. (2)分层 次提供作 业,是为了 满足不同 层次学生 的需求.

; (2) y?

x ?1 .

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