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11月26日数学错题答案解析


2014-11-26 数学错题答案解析
P117 7.已知定圆 F1:x +y +10x+24=0,定圆 F2:x +y -10x+9=0.动圆 M 与定圆 F1、F2 都外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程.
2 2 2 2

分析:根据两圆外切的充要条件转化为双曲线的定义求解. 解:圆 F1:(x+5) +y =1,圆 F2:(x-5)

+y =4 , 所以 F1(-5,0),半径 r1=1;F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R,则|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, 所以|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|=10.
2 2 2 2 2

所以 M 点的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支且 a=

,c=5,所以 b =25-

2

.

所以动圆圆心 M 的轨迹方程为

=1(x≤-

).

点拨:将相切问题转化为动点到两定点的距离的问题,应联想能运用圆锥曲线定义解题.

x2 y2 11.双曲线 m - m ? 5 =1 的一个焦点到中心的距离为 3,那么 m=______.
解:(1)当焦点在 x 轴上,有 m>5, 则 c2=m+m-5=9, ∴m=7; (2)当焦点在 y 轴上,有 m<0,
1

2014-11-26 数学错题答案解析
则 c2=-m+5-m=9, ∴m=-2; 综上述,m=7 或 m=-2. 故答案为 7 或-2.

12.已知方程 kx2+y2=4,其中 k∈R,试就 k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型. 解 (1)当 k=0 时,方程变为 y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线; (2)当 k=1 时,方程变为 x2+y2=4 表示圆心在原点,半径为 2 的圆;

y2 y2 ? ?1 4 ?4 k (3)当 k<0 时,方程变为 ,表示焦点在 y 轴上的双曲线.
x2 y2 ? 4 4 k (4)当 0<k<1 时,方程变为 =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆; x2 y2 ? 4 4 (5)当 k>1 时,方程变为 k =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆.
13.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)若点 M 在双曲线上,F1、F2 为左、右焦点,且 MF1+MF2=6 3,试判别△MF1F2 的形状. 13.解 x2 y2 (1)椭圆方程可化为 + =1,焦点在 x 轴上,且 c= 9-4= 5, 9 4 2 2 x y 故设双曲线方程为 2- 2=1, a b 9 4 ? ?a2-b2=1, 则有? 解得 a2=3,b2=2,

?a2+b2=5, ?

x2 y2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 3 2 (2)不妨设 M 点在右支上, 则有 MF1-MF2=2 3, 又 MF1+MF2=6 3, 故解得 MF1=4 3,MF2=2 3,
2

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又 F1F2=2 5, 因此在△MF1F2 中,MF1 边最长, 2 2 MF2 2+F1F2-MF1 而 cos∠MF2F1= <0, 2· MF2· F1F2 所以∠MF2F1 为钝角,故△MF1F2 为钝角三角形. 11.根据下列条件,求双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); 9 16 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4 x2 y2 11.解 (1)设所求双曲线方程为 - =λ (λ≠0), 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ= , 4 x2 y2 1 所以双曲线方程为 - = , 9 16 4 4x2 y2 即 - =1. 9 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0).由题意易求 c=2 5. a b 又双曲线过点(3 2,2), ?3 2?2 4 ∴ 2 - 2=1. a b 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8

12.已知双曲线的一条渐近线为 x+ 3y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同的焦距,求双曲线 的标准方程. 12.解 x2 y2 椭圆方程为 + =1,可知椭圆的焦距为 8 3. 64 16

①当双曲线的焦点在 x 轴上时, x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b a +b =48, ? ? ∴?b 3 ? ? a= 3 ,
2 2

?a2=36, ? 解得? 2 ?b =12. ?

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 36 12 ②当双曲线的焦点在 y 轴上时, a +b =48, ? ? y x 设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),∴?a 3 a b ? ?b= 3 ,
2 2 2 2

?a2=12, ? 解得? 2 ?b =36. ?

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 12 36 由①②可知,双曲线的标准方程为
3

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x2 y2 y2 x2 - =1 或 - =1. 36 12 12 36 例 4、给定双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 B(1,1)是否能作直线 m ,使它与所给的双曲线交 2

于两点 Q1、Q2 且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如果 不存在,说明理由。 解析:对于圆、椭圆这种封闭的曲线,以其内部一点为中点的弦是存在的,而对于双曲线, 这样的弦就不一定存在,故求出 k 值后需要用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点。 解:假设存在直线 m 过点 B 与双曲线交于两点 Q1、Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点,当直 线 m 的斜率不存在时,显然与双曲线只有一个交点;当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,由 ? 2 y 2 得 ?1 ?x ? ? 2
(2 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 2k ) x ? (k 2 ? 2k ? 3) ? 0 ,由根与系数关系得 x1 ? x2 ?
2k 2 ? 2k ?2 k2 ? 2

解得 k ? 2 ,当 k ? 2 时, ? (2k 2 ? 2k )2 ? 4(2 ? k 2 )(k 2 ? 2k ? 3) ? ?8 ? 0 。故不存在满足 题意的直线 m 。 定理 在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)中,焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意 a2 b2

一点, ?F1 PF2 ? ? ,则 S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

.

y P P

证明:记 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 ,由椭圆的第一定义得

r1 ? r2 ? 2a,? (r1 ? r2 ) 2 ? 4a 2 .
在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1 r2 cos ? ? (2c) 2 .
2 2

F1

O

F

2

x

配方得: (r1 ? r2 ) ? 2r1 r2 ? 2r1 r2 cos ? ? 4c .
2 2

即 4a ? 2r1 r2 (1 ? cos ? ) ? 4c .
2 2

? r1 r2 ?

2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 ? . 1 ? cos ? 1 ? cos ?

由任意三角形的面积公式得:

S ?F1PF2

1 sin ? ? r1 r2 sin ? ? b 2 ? ? b2 ? 2 1 ? cos ?

2 sin

2 ? b 2 ? tan ? . ? 2 2 cos 2 2 2

?

cos

?

4

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? S ?F1PF2 ? b 2 tan . 2
同理可证,在椭圆

?

y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0)中,公式仍然成立. a2 b2

x2 y 2 3.已知 P 是椭圆 5 + 4 =1 上一点,F1 和 F2 是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积。
设|F1P|=x,|PF2|=y,c= 5 ? 4 =1 ∴|F1F2|=2,

x 2 ? y 2 ? 4 20 ? 2 xy ? 4 3 2 xy 2 xy 在△PF1F2 中利用余弦定理可得 cos30°= = = 2
求得 xy=16(2- 3 )

1 ∴△PF1F2 的面积为 2 ×sin30°xy=4(2- 3 )

定点 F1,F2,且|F1F2|=8,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=8,则点 P 的轨迹是( A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段



解析: ∵|PF1|+|PF2|=8,且|F1F2|=8 ∴|PF1|+|PF2|=|F1F2| ①当点 P 不在直线 F1F2 上时,根据三角形两边之和大于第三边, 得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题意; ②当点 P 在直线 F1F2 上时, 若点 P 在 F1、F2 两点之外时,可得|PF1|+|PF2|>8,得到|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题 意; 若点 P 在 F1、F2 两点之间(或与 F1、F2 重合)时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,符合题意. 综上所述,得点 P 在直线 F1F2 上且在 F1、F2 两点之间或与 F1、F2 重合,

5

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故点 P 的轨迹是线段 F1F2. 故选:D P28 如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且

, (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

的直线被 C 所截线段的长度。

解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,P 的坐标为(xp,yp) ,由已知 ∵P 在圆上,





,即 C 的方程为 的直线方程为 ,

。 ,

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 设直线与 C 的交点为

将直线方程 即 ∴ ∴线段 AB 的长度为 ,

代入 C 的方程,得





。 3.已知点 M(4,0) 、N(1,0) ,若动点 P 满足
6

?MN ?? ? ??? ? 6 | ??? | MP NP

.

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(1)求动点 P 的轨迹 C; (2)在曲线 C 上求一点 Q,使点 Q 到直线 l:x+2y-12=0 的距离最小. 解: (1)设动点 P(x,y) ,又点 M(4,0) 、N(1,0) ,

??? ??? ? ??? MP =( x-4 , y ), MN ==( -3 , 0 ), NP =( x-1 , y ). …(3 分)


?MN ?? ? ??? ? 6 | ??? | MP NP

,得-3( x-4 )=6

(1 ? x) 2 ? (? y ) 2 ,…(4 分)

x2 y2 ? 3 =1, ∴(x2-8x+16)=4(x2-2x+1)+4y2,故 3x2+4y2=12,即 4
∴轨迹 C 是焦点为(±1,0) 、长轴长 2a=4 的椭圆; …(7 分)

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣(1 分) . (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最值等于平行于直线 l:x+2y-12=0 且与椭圆 C 相切的直线 l1 与直线 l 的距离. 设直线 l1 的方程为 x+2y+m=0(m≠-12) . …(8 分)

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? x ? 2 y ? m ? 0 ,消去 y 得 4x2+2mx+m2-12=0(*) 由? .
依题意得△=0,即 4m2-16(m2-12)=0,故 m2=16,解得 m=±4.

| 4 ? 12 | 16 5 当 m=4 时,直线 l1:x+2y+4=0,直线 l 与 l1 的距离 d= 1 ? 4 = 5 | ?4 ? 12 | 8 5 当 m=-4 时,直线 l1:x+2y-4=0,直线 l 与 l1 的距离 d= 1 ? 4 = 5

8 5 16 5 8 5 由于 5 < 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 5 ..…(12 分)
当 m=-4 时,方程(*)化为 4x2-8x+4=0,即(x-1)2=0,解得 x=1.

3 3 由 1+2y-4=0,得 y= 2 ,,故 Q( 1 , 2 ).

…(13 分)

3 ∴曲线 C 上的点 Q( 1 , 2 )到直线 l 的距离最小. …(14 分)
1.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为
7

1 ,焦距为 8,则该椭圆的方 2

2014-11-26 数学错题答案解析
程 .

解析:由题意知, 2c ? 8, c ? 3,? e ?

c 4 1 ? ? ,? a ? 8, 从而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 48 , a a 2
y 2 x2 ? ?1 64 48

? 方程是

y 2 x2 ? ?1. 64 48

答案:

2.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的最短距离为

3 ,,求此椭圆的标准方程.
x2 y2 ? ?1 b 解析:当焦点在 x 轴时,设椭圆方程为 a ,
由题意知 a=2c,a-c= 3 , 解得 a=2 3 ,c= 3 .

x2 y2 ? ?1 9 所以 b2=9,所求的椭圆方程为 12 x2 y2 ? ?1 同理,当焦点在 y 轴时,所求的椭圆方程为 9 12 .
3.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,A、B 是椭圆的顶点,P 是椭圆 上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率是( )

b2 如图,∵PF1⊥x 轴,∴点 P 的坐标(-c, a )

kAB=-

b a

b2 ,kPF2=- 2ac

∵PF2∥AB,

∴kAB=kPF2,即-

b a

b2 =- 2ac

8

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整理,得 b=2c, ∴a2=b2+c2=5c2,即 a= 5 c

c 5 ? 5 ∴e= a
1.已知 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵

2 坐标等于短半轴长的 3 ,则椭圆的离心率为______.

x2 y2 ? ?1 b 设椭圆的标准方程为 a (a>b>0) b2 当 x=c 时,y= a ?
2 ∵椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 3

b2 2 ? b 3 ∴ a
2 a ∴b= 3

∴c=

a 2 ? b2 ?

5 a 3

c 5 ? 3 ∴e= a
3a x2 y2 ? ?1 b 设 F1、 F2 是椭圆 E:a =1(a>b>0)的左、 右焦点, P 为直线 x= 2 上一点, △F2PF1
是底角为 30°的 腰三角形,则 E 的离心率为( 等 )

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∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形 ∴|PF2|=|F2F1|

3a ∵P 为直线 x= 2 上一点

3a ∴2( 2 -c)=2c c 3 ∴e= a = 4
x2 y2 1.已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦点 F1 的距离为 16 8 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点). 1.解:连接 ON,ON 是△PF1F2 的中位线,

1 所以|ON|= |PF2|. 2 因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10, 1 所以|PF2|=2 或 18,|ON|= |PF2|=1 或 9. 2 例 6. 已知 A,B 两地相距 2000m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 4s, 且已知当时的声速是 330m/s,求炮弹爆炸点所在的曲线方程. 【解析】由题知爆炸点 P 应满足 | PA | ? | PB |? 330 ? 4 ? 1320 ? 2000 , 又 | PA |?| PB |, 所以点 P 在以 AB 为焦点的双曲线的靠近于 B 点的那一支上. 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,
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2a ? 1320, 2c ? 2000 得 a ? 660, c ? 1000,
∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? 564400 ∴点 P 所在曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 435600 564400

【总结升华】应用问题,应由题干抽象出数学问题即数学模型,在解决数学问题之后, 再回归到实际应用中. 举一反三: P35 在抗震救灾行动中,某部队在如图所示的 P 处空降了一批救灾药品,急需把这批药品 沿道路 PA, PB 送到矩形灾民区 ABCD 中去, 已知 PA=100 km, PB=150 km, BC=60 km, ∠APB=60°,试在灾民区确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送药较近,而另 一侧的点沿道路 PB 送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程. 解:灾民区 ABCD 中的点可分为三类,第一类沿道路 PA 送药较近,第二类沿道路 PB 送药较近,第三类沿道路 PA,PB 送药一样远近,由题意可知,界线应该是第三类点的轨 迹.设 M 为界线上的任意一点,则有 PA+MA=PB+MB,即 MA-MB=PB-PA=50(定 值).界线为以 A,B 为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示.

以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 设所求双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0), a2 b2 ∵a=25, 2c=AB= 1002+1502-2×100×150×cos60°=50 7, ∴c=25 7,b2=c2-a2=3750, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1,因为 C 的坐标为(25 7,60),所以 y 的最大值为 60, 625 3750 x2 y2 此时 x=35.因此界线的曲线方程为 - =1(25≤x≤35,y>0). 625 3750

P21 证 明 与 两 条 坐 标 轴 的 距 离 之 积 是 常 数 k (k ? 0) 的 点 的 轨 迹 方 程 是
xy ? ? k 。

证明: (1)设 M(x0,y0)是轨迹上的任意一点,因为点 M 与 x 轴 的距离为
y0

,与 y 轴的距离为

x0

,所以

x0 ? y0 ? k 即 ( x0 , y0 ) 是方程

xy ? ? k 的解.

(2) 设 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程 xy ? ? k 的解, 那么 x1 y1 ? ? k 即 x1 ? y1
11

?k

2014-11-26 数学错题答案解析
而 x1
, y1

正是点 M 1 到 x 轴, y 轴的距离,因此点 M 1 到两条直线的距离

的积是常数 k ,点 M 1 是曲线上的点。 由⑴⑵可知, xy ? ? k 是与两条坐标轴的距离之积是常数 k (k ? 0) 的点的 轨迹方程。
例 2:若曲线 y2-xy+2x+k=0 过点(a,-a)(a∈R),求 k 的取值范围

思维突破: 点?a,-a?在曲线上→ ?a,-a?适合方程→ 分离参数k →求值域,得k的范围

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自主解答:∵曲线 y2-xy+2x+k=0 过点(a,-a), ∴a2+a2+2a+k=0. ∴k=-2a2-2a 1 a+ 2 1 =-2 2 + . 2 1 ∴k≤ . 2 ∴k 的取值范围是 -∞, 1 2.

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2014-11-26 数学错题答案解析

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