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用二分法求方程的近似解


2005.2.25

一、提出问题
能否求解下列方程 (1)lgx=3-x, (2)x2-2x-1=0, (3)x3+3x-1=0 . 能否解出上述方程的近似解?(精确到0.1)

二、方法探究
(1) 不解方程,如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . (精确到0.1) +
2 2

-

+
2.5

3 3

f(2)<0,f(3)>0 ?2<x1<3

f(2)<0,f(2.5)>0 ? 2<x1<2.5 f(2.25)<0,f(2.5)>0 ?2.25<x1<2.5 f(2.375)<0,f(2.5)>0 ?2.375<x1<2.5
f(2.375)<0,f(2.4375)>0? 2.375<x1<2.4375

+
2.5 3
3 3

2
2 2

2.25

- +
2.375 2.5

- +
2.375 2.475

二、方法探究

(2)能否简述上述求方程近似解的过程?
(3)二分法(bisection method):象上面这种求方程 近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用 方法。

三、自行探究
利用计算器,求方程 lgx=3- x的近似解.(精确到0.1) 解:画出y=lg x及y=3 -x的图象,观察图象得,方程lgx=3 - x 有唯一解,记为x,且这个解在区间(2,3)内。 设 f (x)=lgx+x -3

三、自行探究
根所在区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 区间端点函数值符号 f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0 中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 中点函数值 符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

(2.5625,2.625) f(2.5625)<0,f(2.625)>0

因为2.5625,2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的 近似解为x1≈2.6 .

四、归纳总结
用二分法求方程 f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间

(1)图象法

先画出y= f(x)图象,观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围; 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所 处的范围。 (2)函数性态法 把方程均转换为 f(x)=0的形式,再利用函数y=f(x)的有关性质 (如单调性),来判断解所在的区间。

四、归纳总结
2、不断二分解所在的区间

若 x1 ? (a, b),不妨设f (a) ? 0, f (b) ? 0
a?b a?b ) ? 0,由 f (a) ? 0 ,则 x1 ? ( a, ) (1)若 f ( 2 2

a?b a?b , b) ) ? 0 , f (b) ? 0, x1 ? ( 由 则 (2)若 f ( 2 2

a?b a?b (3)若 f ( ) ? 0 ,则 x1 ? 2 2 对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.

四、归纳总结
3、根据精确度得出近似解
当 x1 ? (m, n),且m, n根据精确度得到的近似值均为同 一个值P时,则x1≈P ,即求得了近似解。

五、知识拓展
如何利用excel来帮助研究方程的近似解?

六、请你思考

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点 发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般 至少需要检查接点的个数为 个。

课堂小结

算法:如果一种计算方法 对某一类问题(不是个
别问题)都有效,计算可以一步一步地进行,每 一步都能得到惟一的结果, 我们常把这一类问题 的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。

算法特点: 算法是刻板的、机械的,有时要进行
大量的重复计算,但它的优点是一种通法,只 要按部就班地去做,总会算出结果。更大的优 点是它可以让计算机来实现。

谢谢大家, 再 见!
ouweiguo-2004@163.com


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