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1.3--空间几何体的表面积与体积


本章内容
1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积

第一章小结

1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积

1.3.1

柱体、锥体、台体 的表面积与体积

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1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算? 2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算? 3. 柱体、锥体、台体的体积怎样计算? 4. 组合体的体积怎样计算?

1. 柱体、锥体、台体的表面积 问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积 怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么 样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计 算它们的表面积吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各 个多边形组成, 各多边形的面积之和即为它们的表 面积.

1. 柱体、锥体、台体的表面积 问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积 怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么 样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计 算它们的表面积吗? 圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组 成. 将侧面展开成平面, 就能求侧面积.

例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC ? SD = a ? a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4? a 2= 3a 2 . 4
S

C

问题 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面 后各是什么图形? 这些图形的面积你会计算吗? ︵
O? · h r O S

·
S圆柱侧 = 2p rh.

l r O

·

变 态 三 角 形



(变态梯形)
r? O?
r O

S圆锥侧 = 1 cl =p rl. 2

S圆台侧 = 1 l (c? + c) =p l (r+r?). 2

例2. 如图, 一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm, 盆底直径为 15 cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5 cm, 盆 壁长 15 cm, 为了美化花盆外观, 需要涂油漆. 已知 每平方米用100毫升油漆, 涂100个这样的花盆需要多 少油漆 (p 取3.14, 结果精确到 1 毫升, 可用计算器)? 解: 因为花盆的盆口是空的, 所以外观表面积是侧面积加盆底 面积, 再减去渗水孔的面积. S = S侧 + S底 - S小孔 = 15p [( 20 ) + (15 )]+ p (15 )2 - p (1.5 )2 2 2 2 2 ≈999.1 (cm2) = 0.09991 (m2), 100?0.09991?100≈999.1 (毫升). 答: 大约需要1000毫升油漆.

练习: (补充) 如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为10 cm 的正方形, 上底是边长为 6 cm 的正方形, 侧面是全等 的梯形, 梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积.

练习: (课本27页)
第 1、 2 题 .

练习: (补充) 如图是一个四棱台, 它的下底是一个边长为10 cm 的正方形, 上底是边长为 6 cm 的正方形, 侧面是全等 的梯形, 梯形的高为 8 cm, 求这个棱台的表面积. 解: 此棱台的表面由上底、下底

和侧面的 4 个梯形组成, 它的表面
积为:

S = S上底 + S下底 + 4S梯形
= 62 + 102 + 4? 1 ? 8? (10 + 6) 2 = 392 (cm2),

即这个棱台的表面积为392平方厘米.

练习: (课本27页) 1. 已知圆锥的表面积为 a m2, 且它的侧面展开 图是一个半圆, 求这个圆锥的底面直径. 解: 设圆锥的底面半径为 r, 母线长为 l, 因为侧面展开图是一个半圆, 所以有 2 p r = p l, 得 l = 2 r, 又由表面积得 pr 2 + 1 pl 2 = a, 2 1 2 pr + p (2r )2 = a, l 2 3 p a r , 解得 r = 3p 则直径 2r = 2 3ap , 3p 2 3ap cm. 答: 这个圆锥的底面直径是 3p

2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧

6 25 5 12

= 2?[6 3 ?(24 + 12)]+ 6?12? 5 + 6p ? 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.

2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧

6 25 5 12

= 2?[6 3 ?(24 + 12)]+ 6?12? 5 + 6p ? 25 0.11 ?15.795 ≈1.737 ≈1579.485 (mm2(kg), ), 2, 10000 个零件的表面积约为 15794850 mm 答: 电镀 10000个零件约需要锌1.74千克. 约合15.795平方米.

2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S?为上底面积, = 1 ( Sh大 - S?h小 ), 3 h 为台高). h ? S ? = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 ?V台 = h( S + SS? + S?). 3

例3. 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是 7.8 g / cm3) 六角螺帽共重 5.8 kg, 已知底面是正六边形, 边 长为 12 mm, 内孔直径为 10 mm, 高为 10 mm, 问 这堆螺帽大约有多少个 (p 取 3.14)?
解: 每一个螺帽的体积为 V = V棱柱-V圆柱

= 6 3 ? (12 + 24)?10 - 52p ?10 ≈2956 (mm3) = 2.956 (cm3), 7.8?2.956=23.0568 (g) = 0.0230568 (kg), 5.8?0.0230568≈252 (个).
答: 这堆螺帽大约有252个.

【练习】

习题 1.3 A组 第 3 题.

3. 如图, 将一个长方体沿相邻三 个面的对角线截出一个棱锥, 求棱锥 B 的体积与剩下的几何体体积的比. 解: 设长方体的长、宽、高分别 为 a、b、c, 则长方体的体积为 V长方体 = abc,

S

b a c
C

A

三棱锥看成如图的 S-ABC, 则体积为 V三棱锥 = 1 ( 1 ac)b = 1 abc, 3 2 6 ∴ 棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为 V棱锥 V三棱锥 = 1. = V剩 V长方体 -V三棱锥 5

【课时小结】
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 各个面多边形的面积之和. 2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面积加侧面积. 底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r?).

【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积 柱体体积: V柱 = Sh. 锥体体积: V锥 = 1 Sh 3 台体体积: V台 = 1 h( S + SS? + S?). 3

习题 1.3 A组
第 1、2、4、5、6 题.

习题 1.3 A组 1. 五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分 别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱 长是 13 cm, 求它的侧面面积.

解: 所求侧面面积是5个等腰梯形之和, 8 一个梯形的高为 h = 132 - (18 - 8 )2 = 12, 2 ∴ S侧 = 5? 1 (8 + 18)?12 18 2 = 780 (cm2),
答: 这个五棱台的侧面积是780平方厘米.

13

2. 已知圆台的上下底面半径分别是 r、R, 且侧面 面积等于两底面积之和, 求圆台的母线长. 解: 由已知得

p l (R+r) = p (R2+r2),
2 2 R + r , 解得 l = R+ r

R2 + r 2 . 即圆台的母线长为 R+ r

4. 如图, 一个三棱柱形容器中盛有水, 且侧棱 AA1 = 8, 若侧面 AA1B1B 水平放置时, 液面恰好过 AC, BC, A1C1, B1C1 的中 C1 C 点. 当底面ABC 水平放置 B1 B 时, 液面高为多少? A1 解: 如图中盛有水部分 A

是一个四棱柱, 其高为AA1=8, 底面积是 3 △ABC面积的 , 则水的体积为 4 A? V水 = 3 S?ABC ? 8 = 6S△ABC, 4 当底面ABC水平方置时, V水=h· S△ABC = 6S△ABC, h 得 h = 6. 答: 液面高为 6 个单位. A

C?

B?

C
B

5. 如图是一个烟筒的直观图 (单位: cm), 它的下部是一个四棱台 (上、下底 面均是正方形, 侧面是全等的等腰梯形) 形物体; 上部是一个四棱柱 (底面与四 棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形) 形物体, 为防止雨水的侵蚀, 增加美观, 需要粘贴瓷砖, 需要瓷砖多少平方厘米 (结果精确到 1 cm2)? 解: 此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和. 棱台侧面的梯形高为 h = 102 - ( 50 - 40 )2 = 5 3 , 2 1 ∴ S = S台侧+S柱侧 = 4? ? 5 3 ? (40 + 50) + 4? 40? 80 2 (答略) ≈14359 (cm2).

6. 我国铁路路基是用碎石 铺设的 (如图), 请你查询北京 到上海的铁路长度, 并估计所 用碎石方数 (结果精确到 1 m3).
资料: 京沪铁路全长1462 km, 京沪高铁全长1318 km. 解: 按普铁计算, V = 1 (2 + 3.5)? 0.3?1462000 2 = 1260150 (m3),

答: 估计需要1260150方碎石.

1.3.2
球的体积 和表面积
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1. 球的体积公式是怎样的? 是用什么方 法得到的? 2. 球的表面积公式是怎样的? 是用什么 方法得到的?

1. 球的体积 问题 1. 球的体积能像柱体和锥体那样求得吗? 将一个西瓜切成很薄的一些片, 每片可以近似地看 作一个什么几何体? 由此请你想一想, 用什么样的 方法求得球的体积? 将球体如图切片: 抽出其中的一片, 这圆片近似于一个圆柱, 根据圆柱的体积公式即可求 圆片的体积, 各圆片的体积之和即为球的 体积.



已知球的半径为 R, 取半球 (如图). V球= 2 V半球 .
R

将半球均匀地切成 n 片, 各片体积分别为 V1, V2, V3, …, Vn, 则 V球 = 2(V1+V2+ … +Vn).

R, rk 厚度为 每片近似地看成一个圆柱, n rk 从下到上第 k 片的下底半径为 R 2 2 = R n2 - (k - 1)2 , rk = R - [(k - 1) ] n n 2 ( k 1 ) 1 ], 则第 k 片的体积为 Vk = p rk2 R = pR3[ 3 n n n 2 2 2 ( 1 1 ) ( 2 1 ) ( n 1 ) 1+ ? + ] ∴V球 = 2pR3 [ 1 - 3 + 1 3 3 n n n n n n

k- 1片

R

rk

2 2 2 ( 1 1 ) ( 2 1 ) ( n 1 ) 1+ ? + ] ∴V球 = 2pR3 [ 1 - 3 + 1 3 3 n n n n n n

2 2 2 ( 1 1 ) ( 2 1 ) ( n 1 ) 1 1 1 + ?+ ] ∴V球 = 2pR3 [ - 3 + 3 3 n n n n n n 2 2 2 2 0 + 1 + 2 + ? + ( n 1 ) = 2pR3[ 1 ] 3 n 1 1 3 = 2pR [1 - 3 (n - 1) n (2n - 1)] n 6 1 1 1 3 = 2pR [1 - + - 2 ], 3 2n 6n 当半球切得的片数无限多, R 即 n 无限大时, 各片体积越精确, 此时, 1 - 1 2 接近于 0, rk 2n 6n 4 于是, V球 = pR3 . 3

例(补充). 某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9g/cm3). 每个钢球重 145 kg, 并且外径等于 50 cm, 试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的. 如 果是空心的, 请你计算出它的内径 (p 取 3.14, 结果精 确到1 cm). 解: 按外径求出钢球的体积为 4 50 V = p ( )3≈65449.847 (cm3), 3 2 如果是实心球, 则球重应为 7.9?65449.847≈517053.791 (g) ≈517.054 (kg) >145 kg, ∴ 球是空心的. 设内径为 r, 则

例(补充). 某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9g/cm3). 每个钢球重 145 kg, 并且外径等于 50 cm, 试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的. 如 果是空心的, 请你计算出它的内径 (p 取 3.14, 结果精 确到1 cm). 解: 按外径求出钢球的体积为 4 50 V = p ( )3≈65449.847 (cm3), 3 2 如果是实心球, 则球重应为 4 50 4 3 7.9?[ p ( ) - pr 3 ] = 145000. 3 2 3 7.9?65449.847≈517053.791 (g) 解得 r≈22.4 (cm), ≈517.054 (kg) >145 kg, 2r≈44.8 .(cm). ∴ 球是空心的 答: 这个球是空心球 , 它的内径约为44.8 cm. 设内径为 r, 则

练习: (补充) 已知球 O1、球O2、球O3 的体积比为 1 : 8 : 27, 求它们的半径比.
解: 由题意得 V1: V2: V3 = 1 : 8 : 27, 即 4 pR1 3 : 4 pR2 3 : 4 pR3 3 = 1:8 : 27, 3 3 3 得 R13 : R23 : R33 = 1 : 8 : 27, ∴ R1 : R2 : R3 = 1 : 2 : 3, 即 球 O1、球O2、球O3 的半径之比为 1 : 2 : 3.

2. 球的表面积 问题2. 在求球的体积时, 我们用切片的方法将 球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示, 怎 样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积? 如图, 将球表面进行经纬网状 分割成 n 小片, 将每小片的四顶点与球心连结, · 截割出 n 个近似棱锥. 其底面积为分别为S?1、S?2、 … S?n, 高近似为R. 4 pR3 = 1 S? R + 1 S? R + ?+ 1 S? R 则球体积 3 1 3 2 3 n 3 1 ? + S2 ? + ?+ Sn ?) = R( S1 3

2. 球的表面积 问题2. 在求球的体积时, 我们用切片的方法将 球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示, 怎 样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积? 如图, 将球表面进行经纬网状 分割成 n 小片, 将每小片的四顶点与球心连结, · 截割出 n 个近似棱锥. 其底面积为分别为S?1、S?2、 … S?n, 高近似为R. 1 RS = , 1 1 S? R 4 pR3 = 1 球表面 3 ? ? S R + S R + ? + 则球体积 1 2 n 3 3 3 3 2 解得 S表球面 = 4 pR . 1 ? + S2 ? + ?+ Sn ?) = R( S1 3

例4 如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证: 2; (1) 球的体积等于圆柱体积的 3 (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积. O R· 证明: (1) V球 = 4 pR3; 3 V柱 = pR2· 2R = 2pR3.
4 pR3 V球 3 2, = = V柱 2pR3 3 得 V球 = 2V柱 . 3 2. 即球的体积等于圆柱体积的 3

例4 如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证: 2; (1) 球的体积等于圆柱体积的 3 (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积. RO 证明: (2) ∵S球面= 4pR2,
S柱侧 = 2pR· 2R = 4pR2, ∴ S球面= S柱侧.

·

即 球的表面积等于圆柱的侧面积.

练习: (课本28页)

第 1、 2、 3 题 .

练习: (课本30页) 1. 将一个气球的半径扩大 1 倍, 它的体积增大 到原来的几倍?
解: 设原来气球的半径为R, 则扩大后的半径 为2R,
4 pR3 , 所以原来气球的体积为 3 扩大后气球的体积为 4 p (2R)3= 8( 4 pR3 ). 3 3 答: 气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍.

2. 一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是 a cm, 求球的体积. 解: 如图, 由正方体与球的对称性,
D 1 · O D · C1 · C ·

正方体的对角线长就是球的直径. ∵正方体的棱长为a cm,
3 a cm, ∴球的半径 R = 2 则 球的体积为 V = 4 pR3 3 = 4 p ( 3 a)3 3 2 3 = pa 3 (cm 3 ). 2

A1

·

·

B1 ·

· A

· B

3. 一个球的体积是 100 cm3, 试计算它的表面积 (p 取 3.14, 结果精确到 1 cm2). 解: 由 4 pR3 = 100解得 3 R≈2.879 (cm), 则球的表面积为 S = 4pR2 ≈104 (cm2). 答: 这个球的表面积约为104平方厘米.

【课时小结】
1. 球的体积
V球 = 4 pR3 . 3

2. 球的表面积

S表球面 = 4pR2.

习题 1.3 B组 第 1、 2、 3 题 .

习题1.3 B 组 1. 如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三 视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图, 单位: cm, p 取 3.14, 结果精确到 1 cm3).
4
8 20 2

正视图
20 12

解: 这个奖杯由球、 4 四棱柱、四棱台组成. 表面积: S=S台全+S柱侧+S球表面 侧视图 棱台侧面梯形的高为 42 + 22 = 2 5 , 1 ? S = 20?16 + 12? 8 + 2? ? 2 5 ? 2 (12 + 20 + 16 + 8) +(8+4)?2?20 +4p ?22 ≈1197 (cm2).

16 8

俯视图

习题1.3 B 组 1. 如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三 视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图, 单位: cm, p 取 3.14, 结果精确到 1 cm3).
4
8 20 2

正视图
20 12

解: 这个奖杯由球、 4 四棱柱、四棱台组成. 体积: V=V台+V柱+V球 侧视图
= 1 ? 2? (12? 8 + 20?16 + 12? 8? 20?16 ) 3 4 +4?8?20 + ? 3.14? 23 3 ≈1067 (cm3). (答略)

16 8

俯视图

2. 已知三棱柱ABC-A?B?C?的侧面均是矩形, 求 证: 它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面 积. C? B? A? 证明: 如图, 设 AB=a, BC=b, CA=c, AA?=h, SABB?A? + SACC?A? = ah+ch = h(a+c), h SBCC?B? = bh, cC b
∵ a+c>b, ∴ h(a+c)>bh, 即 SABB?A? + SACC?A? > SBCC?B? .
A

a

B

同理可证 SABB?A? + SBCC?B? >SACC?A? , SBCC?B? + SACC?A? > SABB?A? . ∴ 任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.

3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几 何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积 之间的关系. A 解: 先画出直观图如下:
A B C C

(1) 以AB为轴:
A

B

(3) 以AC为轴:
A

(2) 以BC为轴: B

C

B C

3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几 何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积 之间的关系. A 解: 三视图如下:
A B C C

(1) 以AB为轴:

B

正视图

侧视图

·
俯视图

3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几 何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积 之间的关系. A 解: 三视图如下: (2) 以BC为轴:
A B C B C

正 视 图 俯 视 图

·
侧视图

3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几 何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积 之间的关系. A 解: 三视图如下:
B C

(3) 以BC为轴:
A
B C

正视图

侧视图

·
俯视图

3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几 何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积 之间的关系. A c 解: 三种情况下所得几何体 a 的体积: A A B b C 2 2 a c V = 1 pab2 . a 1 a b 1 V3 = p . c 3 b C B 3 c B b 2 2 a C A ? b ? ab2 , c 1 2 V2 = pba . 2 2 a c a b ? ba2 , 3 B b C c 如果 a>b, 则 V2>V1, ∴ V3<V1, 反之也成立; V3<V2.


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