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顿悟排列组合80题-chenjian


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顿悟排列组合 80 题
【分堆(分组)与分配】
1、8 本不同的书,按照以下要求分配,各有多少种不同的分法? ⑴一堆 1 本, 一堆 2 本, 一堆 5 本; ⑵甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 5 本; ⑶三人,一人 1 本, 一人 2 本, 一人 5 本; ⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人;⑸平均分成四堆; ⑹分成三堆,一堆 4 本,一堆 2 本,一堆 2 本; ⑺给三人一人 4 本, 一人 2 本, 一人 2 本。 2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不 同的分配方法种数共有______ 3、6 名旅客安排在 3 个房间,每个房间至少安排一名旅客,则安排方法种数共多少种? 4、把 A、B、C、D 四个小球平均分成两组,有_________种分法 5、七个人参加义务劳动,按下列方法分组有______种不同的分法 (1)分成三组,分别为 1 人、2 人、4 人; (2)选出 5 个人再分成两组,一组 2 人,另一组 3 人。 6、 四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒子中, 恰有一个空盒的放法有_____种。 7、5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 (A)480 (B)240 (C)120 (D)96 (E)80 8、将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为 A.70 B.140 C.280 D.840 E. 80 9、将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在不同组,则不同分组方法的种数为 A.220 B.240 C.420 D.210 E. 180 10、从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有 一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方 案共有 A.300 B.240 C.144 D.96 E. 280 11、某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同 去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有___种. (A)480 (B)600 (C)430 (D)500 (E)480 12、将 9 本不同的书分成 3 堆,问: (1)每堆 3 本,有多少种不同的分法?若分给三人, 每人 3 本, 又有多少种不同分法? (2) 一堆 5 本, 其余两堆各 2 本, 有多少种不同的分法? 若分给甲,乙,丙 3 人,①每人拿一堆,有多少种不同的分法?②若甲得 5 本,乙与丙各 得 2 本,又有多少种分法?(3)如果一堆 4 本,一堆 3 本,一堆 2 本,又有多少种的分法?

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【排队、排座位(元素--位置) :相邻捆绑与相间插空】
13、6 人排成一排照相,甲不排在左端,乙不排在右端,共有______种不同的排法。 14、6 个人围圆桌而坐,一共有_________种不同的排法。 15、7 人照相,要求排成一排,甲乙两人相邻但不排在两端,不同的排法共有______种。 A.1440 B.960 C.720 D.480 E. 280 16、某人射击 8 枪,命中 4 枪,其中恰有 3 枪连中的不同种数有________种 A.72 B.24 C.20 D.19 E. 28 17、3 个男生和 4 个女生站成一排,男生不能相邻,有_________种不同的排法 18、现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有_________种. (A) P6 ? P 5
3 5

(B) P 8 ?P 6 ?P 3 (C) P 5 ?P 3
8 6 3 3

3

(D) P 8 ?P 6
8

4

(E) P 8 P 6

8

4

19、 A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排 法种数有 A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 E、28 20、1 名老师和 4 名同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有____种 21、有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 个人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 (E)280 22、电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求 首尾必须播放公益广告,则共有______种不同的播放方式. 23、不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁两种不能 排在一起,则不同的排法种数共有 A、12 B、20 C、24 D、48 E、28 24、有 6 个座位连成一排,安排 3 人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有 A、36 B、48 C、72 D、96 E、38 25、5 人站成一排,其中 A 不在左端也不和 B 相邻的排法种数为 A、48 B、54 C、60 D、66 E、38 26、由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 A、72 B、60 C、48 D、52 E、38 27、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相 邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个. . A、182 B、146 C、196 D、576 E、380 28、有 8 个不同元素排成两排,每排 4 个元素,其中 a、b 不可以相邻和相对,有多少种排 法? 29、标号为 1,2,3,4 的红球与标号为 1,2 的白球排成一排,要求每个白球的两边都有红球,且要
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求 2 号白球与 4 号红球排在一起,一共有_____种不同的排法。 30、有红,黄,蓝三种颜色的球各 7 个,每种颜色的 7 个球分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,从 中任取 3 个标号不同的球,这 3 个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数是 多少?

【隔板法-相同元素分配】
31、方程 a ? b ? c ? d ? 10 的正整数解有多少组? 32、现有 30 块糖,分给 6 个小朋友,(1)每人至少分 1 块,有多少种分法? (2)每人至少分 2 块,有多少种分法? 33、将 20 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,要求每个盒子中的球 数不少于它的编号数,求放法总数。

【可重复问题---人房模型】
34、将三封信投入 4 个信箱,问在下列两种情形下各有______种投法? (1)每个信箱至多只许投入一封信; (2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 35、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共 有____种. (A) P 4
3

(B) 4 3

(C) 3 4

3 (D) C 4

(E) P4

4

【定序问题-无区别元素问题】
36、书架上某层有 6 本书,新买了 3 本书放进该层,要保持原来 6 本书原有顺序,有____ 种不同插法。 37、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有 3 面红旗、2 面白旗,把 5 面 旗都挂上去,可表示不同信号的种数是_______ 38、文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节目,如果保持这些节目的 相对顺序不变,拟再添 2 个小品节目,则不同的排列方法有______ 39、今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 不同的方法. (A)1800 (B)1600 (C)1320 (D)1260 (E)1880 种

40、某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么 安排这 6 项工程的不同排法种数是
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(A)18

(B)36

(C)20

(D)50

(E)80

【对号与不对号-元素对应问题】
41、将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方 格的标号与所填数字均不相同的填法有 A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 E、8 42、设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投 入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同, 问有____ 种不同的方法。 43、将标号为 1,2,…10 的 10 个放入标号为 1,2,…10 的 10 个盒子内,每个盒内放一 个球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入的方法共有 种. (A)120 (B)240 (C)260 (D)220 (E)80

【特殊要求元素选取(多元素、多要求) :合理分类与准确分步】
44、某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱买杂志(每种至 多买一本,10 元钱刚好用完),则不同买法的种数是_______ 45、从 6 台甲机器和 5 台乙机器中任意选取 5 台,其中至少有甲机器与乙机器各两台,则不同 的取法有__________种. 46、4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一 道作答,选甲题答对得 10 分,答错得-10 分;选乙题答对得 9 分,答错得-9 分.若 4 位 同学的总分为零,则这 4 位同学不同得分的种数为 (A)48 (B)36 (C)24 (D)18 (E)80 47、完成某项工作需 4 个步骤,每一步方法数相等,完成这项工作共有 81 种方法.改革后完 成这项工作减少了一个步骤,则改革后完成该项工作有_____种方法. 48、由 1 到 30 个数,挑三个相加使它们的和必须被 3 整除,有多少种方法? 49、平面上有 10 个点,有且只有 4 点在一直线上,其他任何 3 点不共线,问能组成多少个 不同的三角形? 50、假设在 200 件产品中,有 3 件次品,现在从中任意抽出 5 件,其中至少有 2 件次品的 抽法有________种。 51、有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三 项任务,不同的选法种数是 A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 E、2880 52、用 1、2、3、4、5、6 这六个数字可组成______个无重复数字且不能被 5 整除的五位数。 53、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地 上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有__________种。 54、某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值 2 天, 其不同的排法共有_____种.
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www.chenjian.cc? (E)480

(A)5040

(B)1260

(C)210

(D)630

55、已知 ax 2 ? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a 、 b ? {1,2,3,4} ,则解不同的一元二次 方程的个数_______ 56、现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张,100元人民币 2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是 (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 (E)1080 57、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级 去,其他可自由选择,则不同的分配方案有 (A)16 (B)18 (C)37 (D)48 (E)80 58、从 1,2,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重 复数字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有______个。 59、某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加西部开发建设,其中 甲同学不到第一个城市,乙不到第二个城市,共有__________种不同派遣方案。 60、 6 个身高不同的人分成 2 排,每排 3 人,每排从左到右,由低到高,且后排的人比他 身前的人高,问有多少种排法? 61、甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 (A)48 (B)12 (C)24 (D)30 (E)80 62、甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 (B)180 (C)300 (D)345 (E)380 63、从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 (A)70 (B) 80 (C) 100 (D)140 (E)80 64、从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法 A.120 B.96 C.60 D.48 E. 80 65、政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到 会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 A.14 B.16 C.20 D.12 E. 18 66、从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数为 A 85 B 56 C 49 D 28 E 80 67 、移动公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从 “XXXXXXX0000” 到 “XXXXXXX9999”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一 律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.200 B.4096 C.5904 D.8320 E. 6880
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68、在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植一垄。 为有利于生长, 要求 A、 B 两种作物的间隔不小于 6 垄, 则不同的选垄方法共有____ 种。 69、从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项 工作,则不同的选派方案共有 A. 36 B. 12 C. 18 D. 48 E. 28 70、有 11 名翻译人员,其中 5 名英语翻译员,4 名日语翻译员,另 2 人英语、日语都精通。 从中找出 8 人,使他们组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英文,另 4 人翻译日文,这两 个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出____张。 71、某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,从 中选出会英语和日语各 1 人,有______种不同的选法。 72、 从编号 1,2,3,4,5,6 的六个小球中任取 4 个,放在标号为 ABCD 的四个盒子中, 每盒一球, 且 2 号球不能放在 B 中,4 号球不能放在 D 中,则不同放法的种数 A、96 B、180 C、252 D、280 E、290 73、一个口袋内装有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取出一个红球记 2 分,取出一个 白球记 1 分,从口袋中取 5 个球,使总分不小于 7 分的取法有多少种? A、180 B、186 C、196 D、206 74、把同一排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少 1 张, 至多 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 A.168 B.96 C.72 D.144 E.188 75、5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号 参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1,2 号中至少有 1 名新队 员的排法有________种. (A)48 (B)36 (C)43 (D)50 (E)80 76、 在由数字 1、 2、 3、 4、 5 组成的所有没有重复数字的五位数中, 大于 23145 且小于 43521 的数共有 (A)56 (B)57 (C)58 (D)60 (E)80 77、球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛.3 名主力队员要安排在第一、 三、 五位置, 其余 7 名队员选 2 名安排在第二、 四位置, 不同的出场安排共有_____种. (A)256 (B)252 (C) 118 (D) 238 (E)280

【涂色问题】
78、如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给 地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜 色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着 色方法共有 种.

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79、四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻 两个区域不能同色的方法有_______________ 80、将 3 种作物种植在一排的 5 块试验田里,每块种植 一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同 的种植方法共有_____种. A.42 B.48 C.52 D . 66 E、38

答案与解析
5 2 1 1、⑴属非平均分组问题,仅仅分组,分组与顺序无关,是组合问题,共有 C8 C 3 C1 种不同的

分法;⑵属非平均分组定向分配问题,先分组,再分配, 但是是定向分配不涉及排序,共有
1 种不同的分法;⑶属非平均分组不定向分配问题,先分组,再分配, 与顺序有关, C85 C 32 C1 5 2 1 3 需排序,共有 C 8 C 3 C1 A3 种不同的分法;⑷属平均分组不定向分配问题,先分组有

2 2 2 C82C62C4 C2 C82C62C42C2 4 种分法,再分配, 与顺序有关, 有 P4 种排列,共有 ( ) P44 种不同的分 4 4 P4 P4 2 2 C82C62C4 C2 种不同分法; 4 P4

配方法; ⑸属平均分组问题, 分组与顺序无关, 是组合问题, 有

⑹属部分平均分组问题,分组与顺序无关,有 C8

4

2 2 C4 C2 种不同分法;⑺属部分平均分组不 P22 2 2 C4 C2 3 ) P3 种不同分法。 P22

定向分配问题,先分组,再分配,与顺序有关,有 (C8 2、用分步计数的原理,分两大步:

4

1 1 1 第一大步:先把 3 名医生分配到 3 所学校共有 C 3 C 2 C1 种(分三小步) ; 2 2 2 第二大步:再把 6 名护士分配到 3 所学校共有 C 6 种(分三小步) ; C4 C2

3、整体分三类:
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4 6

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1 1 C2 C1 ①先把 6 名旅客分成 1,1,4 三组,有 C 种分法,再分配到 3 个房间有 P33 种情 2 P2 1 1 C2 C1 3 ) P3 ? 90 种安排方法; P22

况,由分步计数原理可得有 (C6

4

1 2 3 ②先把 6 名旅客分成 1,2,3 三组,有 C 6 C 5 C 3 种分法,再分配到 3 个房间有 P33 种情
1 2 3 况,由分步计数原理可得有 (C6 C5 C3 ) P33 ? 360 种安排方法;

2 2 C62C4 C2 ③先把 6 名旅客分成 2,2,2 三组,有 种分法,再分配到 3 个房间有 P33 种情 3 P3 2 2 C62C4 C2 3 ) P3 ? 90 种安排方法; 3 P3

况,由分步计数原理可得有 (

由分类计数原理,知共有不同的安排种数为 90+360+90=540(种)。 4、先取两个 C 4 ,再取两个 C 2 ,如果先取的是 AC,剩下 BD,或者先取的是 BD,剩下 AC,而
2 2

AC BD

BD ? AD ? 这两种分法对于分组是同一种;同理 AC ? BC

BC ? ? 这两种分法对于分 AD ?

组是同一种;

AB CD ? C 42C 22 这两种分法对于分组是同一种;所以,共有 ? 3 (种)。 ? CD AB ? P22

1 2 种,再由剩下的 6 个人中选出 2 人的方法有 C6 种,剩下的 4 5、(1)选出 1 人的方法有 C 7 4 1 4 种,依分步计数原理得分组的方法有 C7 人为一组有 C 4 ? C62 ? C4 ? 105 种. 2 3 (2) 可直接从 7 人中选出 2 人的方法有 C7 种, 再由余下的 5 个人中选 3 人的方法有 C5 种, 2 3 所以依分步计数原理,分组的方法有:C7 ? C5 ? 210 种。也可先选取 5 人,再分为两组 5 有 C7 ? C52 ? C33 ? 210 种。

6、恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为 1,1,2。实际上可转化为先将四个不 同的小球分为三组,两组各 1 个,另一组 2 个,分组方法有

C 4 C 3 C 2 (种),然后将这三 2 P2

1

1

2

组再加上一个空盒进行全排列,即共有

C 4 C 3 C 2 P4 4 =144(种)。 2 P2

1

1

2

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4

7、首先把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.第一步:从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成
2 一本书,有 C 5 种方法;第二步:再把 4 本书分给 4 个学生,有 P4 种方法.由乘法原理, 2 共有 C 5 ? P4 ? 240 种方法,故选 B.

4

8、先从其他 7 个人选一个给甲乙,剩下六个人分为两组,有

1 3 3 C7 ? C6 ? C3 ? 70 ,选 A。 2!

9、从正面思考,先从其他 7 人里面选 2 人给甲,再从剩下 5 人选 2 人给乙,最后三人成一
2 组,有 C7 ? C52 ? C33 ? 210 ,选 D。或者从反面思考,用总数减去两人在同一组的。

10、巴黎甲乙不能去,那就其他 4 个人选一个去,然后剩下 5 个人,选 3 个去其他 3 个城
1 市,最后排列下。 C 4 ? C53 ? 3! ? 240 ,选 B. 2 3 11、分为三类:(1)甲丙去(乙不去): C5 ? 4! ? 240 ;(2)乙去(甲丙不去): C5 ? 4! ? 240 ; 4 (3)甲乙丙都不去: C5 ? 4! ? 120 ,共 600 种,选 B。

3 3 3 C9 C 6 C3 12、 (1)此分堆是“均分”问题,且不计顺序即组别,故分堆方法共有 种,若分给 P33 3 3 3 C9 C 6 C3 3 3 3 3 P3 = C9 C6 C3 。 3 P3

三人,则有顺序即组别,故分组方法为

(2)有两堆均分,故为

5 2 2 C9 C4 C2 堆,分给甲,乙,丙 3 人,①每人拿一堆,有顺序即分 P22

5 2 2 5 2 2 C9 C4 C2 3 C9 C4 C2 2 P P2 种。 组,故为 种,②由于乙与丙分得的堆是有序的即分组,故为 2 3 P2 P22

(3)是“非均匀分”分堆,哪一堆 4 本,哪一堆 3 本,哪一堆 2 本没明确,故为 C 9 C 5 C 2

4

3

2

种。 13、先让 6 个人全排,减去甲在左端的情况,再减去乙在右端的情况,加上甲既在左端乙 又在右端的情况,故排法有 6!? 2 ? 5!? 4! ? 504 种。 14、记住环排公式即可:n 个人坐在一圈有(n ? 1) 种,故有 (6 ? 1) ! ? 120 种。 !
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15、先将其余 5 人进行全排,有 5!种,再将甲乙打包看为 1 人,插入 5 人之间的空位中, 由于两人不能在两端,有 4 个空可以选,由于甲乙左右可以排序,故最终有
1 ! 5 !C4 ?2 =960 种。

16、原题不便于操作,将其改编为下题:8 个相同的球摆成一排,其中 A、B、C 三球必须 相邻且与顺序无关,另一球 D 不得与前 3 球相邻的排法有几种? 先排其余 4 球(对应 于未中的 4 枪,显然与顺序无关) ,然后在 4 球之间及其两端共 5 空任选 2 空插入 ABC 及 D,故有 P52 ? 20 种排法.选 C. 17、采用插空法,先把 4 个女生排好,在两端和她们之间有 5 个空位,如___女___女___女 ___女____,再将 3 个男生放到这 5 个位子中的 3 个位子上,就保证任何两个男生都不 会相邻了,这样,男生有 P53 种排法,女生有 P4 种排法,所以共有 P53 · P4 种排法。 18、在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人 不相邻的方法数,即 P 8 ?P 6 ?P 3 ,故选 B.
8 6 3 4 4

19、把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, P44 ? 24 种, 答案:D. 20、老师在中间三个位置上选一个有 P31 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 P44 种方法;所以 共有 P31 P44 ? 72 种。 21、先将前排中间的 5 号、6 号、7 号座位和待安排 2 人的取出,再将剩下的 18 座位排成 一列,然后妆待安排 2 人的座位插入这 18 座位之间及两端的空隙中,使这 2 人的座位
2 互不相邻,有 P 19 种方法;但在前排的 4 号与 8 号座位、前排的 11 号与后排的 1 号座

位之间可以同时插入待安排 2 人的座位满足条件,有 2 P2 种方法。由分类计数原理得
2 2 ,选(B) 。 到不同排法的种数有 P 19 ? 2 P 2 ? 342 ? 4 ? 346 (种)

2

22、分二步:首尾必须播放公益广告的有 P2 种;中间 4 个为不同的商业广告有 P4 种,从 而应当填 P2 · P4 =48. 从而应填 48. 23、其中甲、乙两种必须排在一起,将甲乙打包,有 2!种;然后跟其他一起排列,有 2!
2 4

2

4

! ! 2 !C3 2 ? 24 种,选 C. 种;丙、丁两种不能排在一起,采用插空,故共有 2
2

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24、先让 3 个人坐好,有 3!种;此时剩下三个空位,将 2 个打包,与 1 个空位插空,有
2 3 !C4 2 ! ? 72 种。选 C。

25、设从左至右位置依次为 12345。当 A 不在两端时,是 A 从 234 三个位置中选择一个位 置站好,B 选择不与 A 相邻的另外两个位置 1 或者 5 站好,剩下三个人全排;有
1 1 1 C3 C2 3 ! ? 36 种;当 A 在右端时,B 有 3 种选择,其他人全排,有 C3 3 ! ? 18 种;所以总

共有 36+18=54 种。选 B。 26、先不考虑零的特殊性,将这六个数奇偶数字相间的排列共有 2×3!×3!=72,其中 0 排在首位的有 3!2!=12,把不合题意的减去得到 72-12=60.选 B。 27、首先把 1 和 2 相邻、3 与 4 相邻、5 与 6 相邻,当做三个元素进行排列有 3!种,三对 相邻的元素内部各还有一个排列 2!, 这三个元素形成四个空, 把 7 和 8 在这四个位置排

! 2!2!2! P4 ? 576 选 D. 列有 P4 种,因此得到这种数字的总数有 3
2 2

28、首先把两个元素安排好,其他的元素就可以随意坐,但此题仍然需要分类 第一类情况:a 在 4 个角位的任一个,则 b 可以坐的位置如图(空白格) ,

a ? ? ? ※?
? ※? a 在四个角上的情况都相同, 所以有C4 ? C5 ? P6 种方案
1 1 6

第二类情况:a 在除 4 个角位的任一个,则 b 可以坐的位置如图(空白格) ※? ? ? ? a? ? ? ※? ? ※? ?

1 1 1 1 1 1 这时有C 4 ? C4 ? P66 种方案 ? 共有C4 ? C5 ? P66 ? C4 ? C4 ? P66

29、解法:分类法,首先首尾只能是红球 分两类,首尾不包含红球 4 和首尾有红球 4 第一类用插入法求解,1,2,3 三个红球排好后(为 3*2=6 种) ,中间就有了两个空,剩下 的三个球可以以八种组态插入到这两个空里。故此类总数为 6*8=48 第二类用对称法求解,红 4 在首和红 4 在尾的排列总数是相等的。红 4 在首,则下个球必 定为白 2,再下个球为红球,如此下去,尾部的球必为白球,这样子各个位置的球的类型也 就确定了,得到的排列总数为 12.同理,红 4 在尾也为 12,则此类总数为 24.
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故总数为 48+24=72。 30、先考虑数字:1 2 3 4 5 6 7 里面取 3 个不相邻的数字; 设最小的数字为 1 则有 3+2+1=6 种选择;最小的数字为 2 则有 2+1=3 种选择 最小的数字为 3 则有 1 种选择;当最小数字不小于 4 时,不可能了 则一共有 10 种可能性;接下去考虑这 3 个球的颜色,也就是 3 个球的全排列 3!= 6 所以一共有 6*10=60 种取法。 31、设想有 10 个相同的球并放成一行,选取 3 块隔板任意插入其中,则每一种插入方法都
3 对应一个正整数解.由于 10 球之间共有 9 空,任选 3 空插入隔板,有 C9 ? 84 种插入方

法,所以方程 a ? b ? c ? d ? 10 的正整数解有 84 个. 32、(1)将 30 块糖排成一行,在之间的 29 个空位中插入 5 个隔板,就可以将其分为 6 份,
5 种分法;(2)每人至少 2 块糖,先让每个小朋友取一块糖, 分别给 6 个小朋友,故有 C29 5 还剩下 24 块糖,然后每人再至少分 1 块就可以了,故有 C23 种分法.

33、方法 1:先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 0,1,2,3 个球,有 1 种方法;再
3 =286 种. 把剩下的 14 个球,分成 4 组,每组至少 1 个,有 C13

方法 2:第一步先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 1,2,3,4 个球,有 1 种方法;
3 =286 种方法。 第二步把剩下的 10 个相同的球放入编号为 1,2,3,4 的盒子里,有 C13

34、(1)显然是无重复排列问题,投法的种数为 P43 ? 24 (2)是可重复排列问题,投法的种数为 43 ? 4 ? 4 ? 4 ? 64 35、四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有 3 种选取方法,由乘法 原理共有 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 种. 36、9 本书按一定顺序排在一层有 P99 ,考虑到其中原来的 6 本书保持原有顺序,原来的每 一种排法都重复了 P66 次,所以有 P99 ÷ P66 种。 37、5 面旗全排列有 P55 种挂, 由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法, 故有
4

P55 ? 10 P33 P22

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38、先让 6 个节目全排列,再除以 4 个节目的全排列,有

6! ? 30 种方法。 4! 9! 39、先让 9 个球全排列,再除以每种颜色球的全排列,有 ? 1260 种方法,选 D。 2! 3!4!
项工程的排序,相当于有甲、乙、 (丙丁)三个对象的定序,故有

40、由于工程丁必须在工程丙完成后立即进行,所以将丙丁打包看成一个对象,总共看成 5

5 ! ? 20 ,选 C. 3!

41、先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其 它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B.
2 42、从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利

用枚举法分析, 如果剩下 3, 4, 5 号球与 3, 4, 5 号盒子时, 3 号球不能装入 3 号盒子, 当 3 号球装入 4 号盒子时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号
2 球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2C5 ? 20 种. 3 43、恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入的方法 C10 2 ? 240 ,选 B.

44、由于 1 元 1 本的杂志只有 3 本,1 元 1 本的杂志不可能只买 1 本或 3 本.否则所用钱数 为奇数,再买 2 元 1 本的杂志无论买几本所用钱数都是偶数,其和不可能为 10 元这个 偶数.所以小张用 10 元钱去买,有且只有如下两种买法.
5 如果全买 2 元 1 本的杂志,则 10 元钱可以买 5 本,有 C8 ? C83 ? 56 种方法; 2 如果 1 元 1 本的杂志买 2 本, 则 2 元 1 本的杂志可以买 4 本, 由乘法原理, 有 C84 ? C3 ? 210

种方法;由加法原理,不同买法的种数是:56+210=266.
2 45、由题,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取 2 台,有 C 6 3 2 3 种方法; 第二步是在组装计算机任意选取 3 台, 有 C5 种方法, 据乘法原理共有 C 6 ? C5 3 种方法.同理,完成第二类办法中有 C 6 ? C 52 种方法.据加法原理完成全部的选取过程共 2 3 3 有 C6 ? C5 ? C6 ? C 52 ? 350 种方法.

46、4 位同学的总分为零,有且只有如下 3 种情况.
2 =6 种情况; (1)若 4 人全部选甲题,其总分和为零必须 2 人答对另 2 人答错,有 C4

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2 (2)若 4 人全部选乙题,同理也有 C4 =6 种情况;

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(3) 若 4 人中两人选甲题, 另两人选乙题, 其总分和为零必须各 1 人答对另 1 人答错,
2 2 有 A4 A2 =24 种情况.由加法原理,不同的得分种数为 6+6+24=36,∴选 B.

47、设原来每个步骤有 x 种方法,则 x ? 81,? x ? 3 .
4

48、首先对事件中的元素分类,1---30 个数中有些数除 3 余 1(下图集合 A) ,有些余 2(下 图集合 B) , 有些能整除 (下图集合 C) 。 所以从 A, 或 B, 或 C 中取 3 个数相加定符合题意; 另外从三个集合中分别取一个数相加,也符合。 A B C

? 1? ? ? 4? ? 7? ……? ? 28?

? 2? ? 5? ? 8? ……? ? 29?

? 3? ? 6? ? 9? ……? ? 30?

答案为: C10 ? C10 ? C10 ? C10 C10 C10
3 3 3 1 1 1

49、因为共线的 4 点不能组成三角形,分为一类;其他 6 个点分为一类。组成三角形的可 能为: (1)共线 4 点中的两点,线外一点; (2)共线 4 点中的一点,线外两点; (3)其他 6 点中的任意三点。所以,答案为 C 4 C 6 ? C 4 C 6 ? C 6 。另外一种思路是在总数中减去不符合
2 1 1 2 3

题设的: C10 ? C 4
3

3



50、“至少有件次品”是指“恰有 2 件次品或恰有 3 件次品”,因此可分成两类求解。解法 1:
2 3 (直接法)第一类,2 件次品 3 件合格品,有 C 3 C197 种;第二类,3 件次品 2 件合格品, 3 2 3 3 2 有 C3 + C3 C197 种。由分类计数原理得抽法为 C 32 C197 C197 =3783976(种)。 5 1 4 解法 2: (间接法)不论次品,合格品抽法共有 C 200 ,恰有 1 件次品的抽法种数有 C 3 C197 , 5 5 1 4 5 没有次品的种数为 C197 ,至少有 2 件次品为 C 200 - C3 =3783976(种)。 C197 - C197

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51、 先考虑分组, 即 10 人中选 4 人分为三组, 其中两组各一人, 另一组二人, 共有

C10 C 9 C 8 2 P2

1

1

2

(种)分法。再考虑排列,甲任务需 2 人承担,因此 2 人的那个组只能承担甲任务,而一 个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有

C10 C 9 C 8 P2 2 =2520 种选法。 2 P2

1

1

2

52、由所有 1~6 这 6 个数组成的五位数有 P66 个,去掉 1~6 这 6 个数组成可被 5 整除的五 位数 P54 个。因此,所求的五位数共有 P66 - P54 =720-120=600 个。 53、在这里黄瓜是特殊的元素,必须选出有 1 种选法,然后再从其它 3 个品种中选出 2 种
2 3 2 种选法,最后进行排列有 A3 种排法。由分步计数原理,共有 1· C 3 · P33 种。 有 C3

54、一周 7 天各不相同,人与人也不相同可以分配的方法是:2,2,3。

C72C52 3 ! ? 630 种. 根据从左往右法直接列出式子: 2 !
55、从集合 {1,2,3,4} 中任意取两个元素作为 a 、 b ,方程有 P4 个,当 a 、 b 取同一个数时方 的……”所以在上述解法中要去掉同解情况, 程有 1 个, 共有 P4 ? 1 ? 13 个. “求解集不同 ....
2 2

由于 ?

?a ? 1 ? a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 4 同解、 ? 同解,故要减去 2 个。共有 13 ? 2 ? 11 个解集不 和? 和? ?b ? 2 ?b ? 4 ?b ? 1 ?b ? 2

同的一元二次方程. 56、除 100 元人民币以外每张均有取和不取 2 种情况,100 元人民币的取法有 3 种情况,再 减去全不取的 1 种情况,所以共有 2 9 ? 3 ? 1 ? 1535 种. 57、用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即: 4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 37 种方案. 58、合条件四位数的个位必须是 0、5,但 0 不能排在首位,故 0 是其中的特殊元素,应优 先安排,按照 0 排在首位,0 排在十位、百位和不含 0 为标准分为三类:
1 1 2 3 0 排在个位能被 0 整除的四位数有 P 1 ? C4C4 P 3 ? 144 个, 1 1 1 2 0 排在十位、百位,但 5 必须排在个位有 P21 P 1 C 4 C3 P 2 =48 个, 1 1 2 3 不含 0,但 5 必须排在个位有 P 1 ? C3 C 4 P 3 ? 108 个,

?

?

?

?

?

?

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由分类计数原理得所求四位数共有 300 个。 59、因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
4 ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 P 8 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方 3 3 3 法,然后安排其余学生有 P 8 方法,所以共有 3 P 8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 3 P 8

种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城
2 种 , 共 有 7 P82 方 法 . 所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为 市 有 P 8

P84 ? 3P83 ? 3P83 ? 7 P82 ? 4088 种.
60、5 种。穷举法。6 个人,为 1,2,3,4,5,6,即 1 5 1,5,6,三数固定,把 2,3,4,在里面摆放。 61、可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C 4 C 4 =36,再求出两人所选两门都相同和都不 同的种数均为 C 4 =6,故只恰好有 1 门相同的选法有 24 种。
1 1 62、分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C62 ? 225 种选法; 2 1 1 (2) 乙组中选出一名女生有 C5 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

6
2 2

2

1 C 4 =5×6=30 种,两男一女,有 C 52 C 4 =10×4=40 种,共 70 种 63、直接法:一男两女,有 C 5 3 3 间接法:任意选取 C 9 =84 种,其中都是男医生有 C 5 =10 种,都是女医生有 C 4 =4 种,

2

1

1

于是符合条件的有 84-10-4=70 种. 64、5 人中选 4 人则有 共有
4 C5 C1 C2 C1 种,周五一人有 4 种,周六两人则有 3 ,周日则有 1 种,故

4 C5 C1 C 2 × 4 × 3 =60 种,故选 C.
3 2 1 C6 ? C2 ? C4 ? 20 ? 4 ? 16 ,故选 B. 2 C1 2 ? C 7 ? 42 ,另一类是

65、由间接法得

66、解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: 甲乙都去的选法有
1 C2 2 ? C 7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C.

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4

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67 、 10000 个 号 码 中 不 含 4 、 7 的 有 8 =4096 , 所 以 这 组 号 码 中 “ 优 惠 卡 ” 的 个 数 为 10000-4096=5904,选 C。 68、先考虑 A 种在左边的情况,有三类:A 种植在最左边第一垄上时,B 有三种不同的种 植方法;A 种植在左边第二垄上时,B 有两种不同的种植方法;A 种植在左边第三垄上 时, B 只有一种种植方法。又 B 在左边种植的情况与 A 在左边时相同。故共有

2 ? (3 ? 2 ? 1) =12 种不同的选垄方法。
69、分两类:若小张或小赵入选,则有选法 法
2 2 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A. 1 1 3 C2 C 2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有选

70、假设先安排英文翻译,后安排日文翻译。第一类,从 5 名只能翻译英文的人员中选 4
4 4 人任英文翻译, 其余 6 人中选 4 人任日文翻译 (若“多面手”被选中也翻译日文) , 则有 C 5 C6 ;

第二类, 从 5 名只能翻译英文的人员中选 3 人任英文翻译, 另从“多面手”中选 1 人任英文翻
3 1 4 译,其余剩下 5 人中选 4 人任日文翻译,有 C 5 C 2 C 5 ;第三类,从 5 名只能翻译英文的人

员中选 2 人任英文翻译, 另外安排 2 名“多面手”也任英文翻译, 其余剩下 4 人全部任日文翻
2 2 4 译,有 C 5 C 2 C 4 。三种情形相加即得结果 185。

71、“完成一件事”指从 9 人中选出会英语与日语各 1 人,由题意可知,9 人中仅会英语的有 6 人,既会英语又会日语的有 1 人,仅会日语的有 2 人.因此可根据此人是否当选将所有选 法分为三类:(1)此人不当选有 6×2 种;(2)此人按日语当选有 6×1 种;(3)此人按英语当选有 2×1 种。根据加法原理,共有 6×2+6×1+2×1=20 种不同的选法。 72、 (1)不管条件,从 6 个球中任取 4 个进行全排列:有 C6 4! ? 360 种;
4

(2)令 2 在 B 中,在剩下的 5 个球中任取 3 个进行全排列:有 C5 3! ? 60 种;
3

(3)令 4 在 D 中,在剩下的 5 个球中任取 3 个进行全排列:有 C5 3! ? 60 种;
3

(4)令 2 在 B 中,4 在 D 中,在剩下的 4 个球中任选 2 个进行全排列:有 C4 2! ? 12 种;
2

综上:因此不同的方法为:360-60-60+12=252 种,选 C。 73、设取 x 个红球,y 个白球,于是:

,其中



备考交流 YY 万人群(7201531)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? “神书”听课网址:yy.chenjian.cc?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 陈剑 编

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因此所求的取法种数是: C4 C6 ? C4 C6 ? C4 C6 ? 186 .选 B。
2 3 3 2 4 1

74、先从 4 个人中选 2 人,这 2 人每人会拿到 2 张票,有 6 种; 编号为 1~6 的电影票按连续编号可以分为:13,24,35,46 共 4 组. 被选出的 2 人分别可以从这 4 组中人选一组,第 1 人有 4 种选法,第 2 人有 4 种选法,则 12 种; 剩余的 2 人 2 张票用排列数 2!=2;所以总的分法 6*12*2=144 种,选 D. 75、⑴3 名有 1 名老队员则在 1 或 2 或 3,故有 C2C3 P 3 ? 36 ; ⑵3 名有 2 名老队员则在 1 和
1 1 2

3,2 和 3,故有 2C3 P2 ? 12 ,所以共有 48 种。选 A。
1 2

76、23145---------------25431 有 17 个(不包括 23145) 31245---------------35421 有 4*3*2*1=24 个; 41235---------------43521 有 17 个 (不包括 43521) , 所以共 17+24+17=58 个,选 C. 77、三名主力在第一、三、五位置时全排列 3!=6;二、四位置在七名队员中选出两位=

C 72 ? 21 ,再全排列 2!=2,则 6*21*2=252,选 B.
78、当使用四种颜色时,知有 48 种着色方法;当仅使用三种颜色时:从 4 种颜色中选取 3
3 种方法,先着色第一区域,有 3 种方法,剩下 2 种颜色涂四个区域,只能是一 种有 C 4

种颜色涂第 2、4 区域,另一种颜色涂第 3、5 区域,有 2 种着色方法,由乘法原理有
3 C4 ? 3 ? 2 ? 24 种.综上共有: 48 ? 24 ? 72 种.

79、依题意只能选用 4 种颜色,要分四类: (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 P44 ; (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 P44 ;
4 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 P44 ; 4 (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ;所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 P44 =120

80、将 3 种作物种植在 5 块试验田里(连成一排)每块种一种作物,且相邻的试验田不能种同 一种作物,就是第一块可以种 3 种不同的植物,第二块与第一块不同,就只能种 2 种不 同的植物,余下的几块都只能种 2 种不同的植物。但要注意:这样会造成 5 块田只种 2 种植物的情况,应排除之。故 C 3C 2C 2C 2C 2?2C 3? 42 ,选 A.
1 1 1 1 1 2

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