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2012届高三理科数学小综合专题练习——概率统计


2012 届高三理科数学小综合专题练习——概率统计
东莞中学吴强老师提供 一、选择题 1. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 的概率为 0 .3 ,质量不小于 4 .8 5 g 的概率为
0 .3 2 ,那么质量在 ?4 . 8 , 4 . 85 ? (单位:g)范围内的概率是

A. 0 .6 8

B. 0 .6 2

C. 0 .3 8

D. 0 .0 2

2.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5,4)(13,5) , , , , ;变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13,1) r1 表示变 , , , , , 量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A. r2 ? r1 B. 0 ? r2 ? r1 C. r2 ? r1 ? 0 D. r2 ? 0 ? r1

3. 在长为 12cm 的线段 A B 上任取一点 M ,并以线段 A M 为边作正方形,则这个正方形的面积介 于 3 6 cm 与 8 1cm 之间的 概率为 A.
1 4
2

2

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 6

4.右图是 2 0 1 0 年“唱响九江”电视歌手大奖赛中,七位专家评委为 甲 甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m, n 为数字 0 ~ 9 中 的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分 的平均数分别为 a 1 , a 2 ,则一定有 A. a 1 ? a 2 C. a 2 ? a 1 B. a 1 , a 2 的大小与 m 的值有关 D. a 1 , a 2 的大小与 m, n 的值都有
0 7 9 5 4 5 m 18 4 4 6 4 7 9 9 n



5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套有 3 只,白色手套 1 只.现从中随机地抽取 两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜.试问:甲乙获胜的机会 是 A.一样多 二、填空题 6.在 200 件产品中, 192 有件一级品, 8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; B.甲多 C.乙多 D.不确定

1

②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品; ④在这 200 件产品中任意选出 9 件,至少一件是一级品, 其中 是必然事件; 是不可能事件; 是随机事件 (只
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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须填事件代号,如果没有请填“无” ) 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显示年收 入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程
? y ? 0 . 254 x ? 0 . 321

.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加

____________万元. 8.已知随机变量 服从正态分布 N ( 2 , ? ) , P (? ? 4 ) ? 0 . 84 ,则 P (? ? 0 ) ?
2



9.已知随机变量 ? 的概率分布规律为 P (? ? n ) ? 则 P ( 1 ? ? ? 5 ) 的值为
2 2

a ( n ? 1, 2,3, 4) ,其中 a 是常数, n ( n ? 1)



10.如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生偶数 次的概率为 三、解答题 11.某中学的高二(1)班男同学有 4 5 名,女同学有 1 5 名,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人 的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组 里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的 两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 6 8, 7 0, 7 1, 7 2, 7 4 ,第二次做试验的同 学得到的试验数据为 6 9, 7 0, 7 0, 7 2, 7 4 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. .

2

12.某班同学利用春节进行社会实践,对 [25, 55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符 合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,得到 如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (2)从年龄段在 [40, 50) 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动,其 中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率.

13.为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将这 200 只家兔随 机地分成两组.每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射 药物 A 和药物 B 后的实验结果.(疱疹面积单位: m m )
2

(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

3

(2)完成下面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注 射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

附: K 2 ?

n(ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

14.某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如下数据: 月 份 1 2 73 78 2 3 72 74 3 4 71 70 4 3 73 72 5 4 69 66 6 5 68 60

产量 x 千件 甲单位成本 y 元/件 乙单位成本 y 元/件

(1)试比较甲乙哪个单位的成本比较稳定. (2)求甲单位成本 y 与月产量 x 之间的线性回归方程. (其中已计算得: x 1 y 1 ? x 2 y 2 ? ? ? x 6 y 6 ? 1481 ,结果 保留两位小数) (3)当月产量为 12 千件时,单位成本是多少?

4

15.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3



3
王新敞
奎屯 新疆

假设两人射击是否击中目标,相互
王新敞
奎屯 新疆

4

之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ...

⑵假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 ... 多少? ⑶设甲连续射击 3 次,用 ? 表示甲击中目标的次数,求 ? 的数学期望 E ? 与方差 D ? . (结果可以用分数表示)

5

2012 届高三理科数学小综合专题练习——概率统计 参考答案
一、选择题

题号 选项 二、填空题 6.

1 C

2 D

3 A

4 C

5 A

④ , ② , ①③ ; 7. 0.254 ; 8.

; 9.

5 , 6

10.

1

?1 ? ? 1 ? 2 p ? n ? ? 2?

三、解答题
P ? n m ? 4 60 ? 1 15 1
? 某同学被抽到的概率为 1 5

11.解:(1)

45

?

x 4,

设有 x 名男同学,则 6 0

?x?3

? 男、女同学的人数分别为 3,1

(2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为

a1 , a 2 , a 3 , b

,则选取两名同学的基本事件有

( a 1 , a 2 ), ( a 1 , a 3 ), ( a 1 , b ), ( a 2 , a 1 ), ( a 2 , a 3 ), ( a 2 , b ), ( a 3 , a 1 ), ( a 3 , a 2 ), ( a 3 , b ), ( b , a 1 ), ( b , a 2 ), ( b , a 3 )

共 1 2 种,其中有一名女同学的有 6 种
P ? 6 12 ? 1 2

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

(3)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 5

? 71


2

x2 ?

69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 5

? 71

s1 ?
2

(6 8 ? 7 1) ? ? (7 4 ? 7 1)
2

? 4

5



s2 ?
2

(6 9 ? 7 1) ? ? (7 4 ? 7 1)
2

2

? 3 .2

5

第二同学的实验更稳定.

12.解: (1)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为 率直方图如下:

0 .3 5

? 0 .0 6 .频

6

第一组的人数为

120 0 .6

? 2 0 0 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ?

200 0 .2

? 1000 . 195 300 ? 0 .6 5 .

由题可知, 第二组的频率为 0. 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 3, 所以 p ? 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 .

(2)因为 [ 4 0, 4 5) 岁年龄段的“低碳族”与 [ 4 5, 5 0 ) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 60 : 30 ? 2 : 1 , 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [ 4 0, 4 5) 岁中有 4 人, [ 4 5, 5 0 ) 岁中有 2 人. 设 [ 4 0, 4 5) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [ 4 5, 5 0 ) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领队 的有 ( a , b ) 、 ( a , c ) 、 ( a , d ) 、 ( a , m ) 、 ( a , n ) 、 ( b , c ) 、 ( b , d ) 、 ( b , m ) 、 ( b , n ) 、 ( c , d ) 、 ( c , m ) 、
( c , n ) 、( d , m ) 、( d , n ) 、( m , n ) , 15 种; 共 其中恰有 1 人年龄在 [ 4 0, 4 5) 岁的有 ( a , m ) 、( a , n ) 、
( b , m ) 、 ( b , n ) 、 ( c , m ) 、 ( c , n ) 、 ( d , m ) 、 ( d , n ) ,共 8 种.

所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [ 4 0, 4 5) 岁的概率为 P ?

8 15

.

13.解:

(1)

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面积的中
7

位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位 数. (2)表 3 疱疹面积小于 70 m m 2 注射药物 A 注射药物 B 合计
2

疱疹面积不小于 70 m m 2
b ? 30

合计
100

a ? 70

c ? 35
105
2

d ? 65
95

100
n ? 200

K

?

200 ? ( 70 ? 65 ? 35 ? 30 ) 100 ? 100 ? 105 ? 95
2

? 24 . 56

由于 K

? 10 . 828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱

疹面积有差异”.

14. 解: (1) y 1 ?
y2 ?
s1 ?
2

73 ? 72 ? 71 ? 73 ? 69 ? 68

? 71

6 78 ? 74 ? 70 ? 72 ? 66 ? 60 6

? 70
2

1? ( 73 ? 6? 1 ? ( 78 ? 6 ?

? 71 )

2

?
2

( 72 ? 71 )

2

?
2

( 71 ? 71 )

?
2

( 73 ? 71 )
?

2

?
2

( 69 ? 71 )
?

2

?
2

( 68 ? 71 )
?

2

? ? 3 . 68 ? ?
2

s2 ?
2

? 70 )

?

( 74 ? 70 )
2

?

( 70 ? 70 )

( 72 ? 70 )

( 66 ? 70 )

( 60 ? 70 )

? ? 33 . 3 ? ?

因为 y 1 > y 2 (2) x ?
21 6

s1 < s 2
6 2

2

所以甲产品的价格稳定
6

, y ? 71 , ? x i ? 79 , ? x i y i ? 1481 ,
i ?1 i ?1

1481 ? 6 ?

21 6

? 71
2

代入公式得: b ?

? 21 ? 79 ? 6 ? ? ? ? 6 ?

? ? 1 . 82 , a ? 71 ? ? ? 1 . 82 ? ?

21 6

? 77 . 37

故线性回归方程为: y ? 77 . 37 ? 1 . 82 x . (3)y=56.5

15.解: (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次,相当于

8

3 次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A 1 )=1- ( ) = 答:甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为
3 19 27

2

3

19
王新敞
奎屯 新疆

27



(2) 记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立, 故 P(A2)=
1 4

×

1 4

×

3 4

×

1 4

+

1 4

×

1 4

×

3 4

×
3

3 4
王新敞
奎屯 新疆

=

3 64



答:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是
2 3

64

(3)根据题意 ? 服从二项分布, E ? ? 3 ?
1 1 27

? 2 , D? ? 3 ?

2? 2 ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 3? 3 2

另解: p (? ? 0 ) ? C 3 ? ( ) ?
0 3

3

2 2 1 1 12 2 p (? ? 2 ) ? C 3 ? ( ) ? ( ) ? 3 3 27

2 1 2 6 1 p (? ? 1) ? C 3 ? ( ) ? ( ) ? 3 3 27 2 3 1 0 8 3 p (? ? 3 )? C 3 ? ( ? ) ( ?) 3 3 27

?
p

0
1 27

1
6 27 ? 2? 12 27
2

2
12 27 ? 3? 6 27

3
8 27 8 27 ? ?2 ? 2? ?
2

E? ? 0 ?

1 27

? 1? 1

6 27

? 2 , 12 27 ? ?3 ? 2 ? ?
2

D? ? ? 0 ? 2 ? ?
2

27

? ?1 ? 2 ? ?

8 27

?

2 3

.

9


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