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2015年高考数学《新高考创新题型》之2:函数与导数(含精析)


之 2.函数与导数(含精析)
一、选择题。 1.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ?? ? x ? ,若区 间 ? a, b ? 上 f ?? ? x ? ? 0 ,则称函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凹函数” ,已知 f

? x ? ?

1 5 1 x ? mx 4 20 12

?2 x 2 在 ?1,3? 上为“凹函数” ,则实数 m 的取值范围是(
A. ( ??,



31 ) 9

B. [

31 , 5] 9

C. (??,3]

D. ? ??,5?

2.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f ( x) ? ?

?1, x ? Q ?0, x ? ?RQ

被称为狄利克雷函数,其中 R 为实数集, Q 为有理数集,则关于函数 f ( x ) 有如下四个命题: ①

f ? f ? x ?? ? 0



②函数

f ? x?

是偶函数;

③任取一个不为零的有理数 T ,

f ? x ? T ? ? f ? x?

对任意的 x ? R 恒成立;

④存在三个点 A? x1, f ( x1 ) ? , B ? x2 , f ( x2 ) ? , C ? x3 , f ( x3 ) ? ,使得 ?ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( A.1 ) C. 3 D.4

B.2

3 .设函数 f ?x ? 的定义域为 D , 若函数 f ?x ? 满足条件:存在 ?a, b? ? D , 使 f ?x ? 在 ?a, b? 上的值域是

?a b? f ?x ? 为“倍缩函数” f ?x? ? log2 2 x ? t 为“倍缩函数” 则称 ,若函数 ,则的范围是( , ? ?2 2? ?
A. ? ,?? ?

?

?



?1 ?4

? ?

1? B. ?0,

? 1? C.? 0, ? ? 2?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

4.函数 f ? x ? ? ?

2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 , 直线 y ? m 与函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点,从小到大, 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

交点横坐标依次记为 a, b, c, d ,有以下四个结论 ① m ? ?3,4?

② abcd ? 0, e 4

?

?
? ? 1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

③ a ? b ? c ? d ? ? e5 ?

④若关于 x 的方程 f ?x ? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 m 取值唯一. 则其中正确的结论是( A. ①②③ B. ①②④ ) C. ①③④ D. ②③④

5. f ( x) 是定义在 D 上的函数, 若存在区间 [m, n] ? D , 使函数 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为 [ km, kn] , 则称函数 f ( x) 是 k 型函数.给出下列说法:

4 不可能是 k 型函数; x 1 ②若函数 y ? ? x 2 ? x 是 3 型函数, 则 m ? ?4 , n ? 0 ; 2
① f ( x) ? 3 ? ③设函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x( x ? 0) 是 k 型函数, 则 k 的最小值为 ④若函数 y ?

4 ; 9

(a 2 ? a) x ? 1 2 3 (a ? 0) 是1 型函数, 则 n ? m 的最大值为 . 2 a x 3
) B.②③ C.②④ D.①④

下列选项正确的是( A.①③

6.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 , x ? [0,1] .定义: f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,??,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , n ? 2,3, 4,
阶不动点的个数是( A. 2n 个 )
2

满足 f n ( x) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f ( x ) 的 n 阶不动点.则 f ( x ) 的 n

B. 2 n 个

C. 2(2 ? 1) 个
n

D. 2 个

n

二、填空题。 7.若函数 f ?x ? 同时满足:①对于定义域 上的任意 x ,恒有 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ②对于定义域上的任意

x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,恒有
⑴ f ?x ? ?

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? 0 ,则称函数 f ?x ? 为“理想函数” 。给出下列四个函数中: x1 ? x2
2

1 x

⑵ f ?x ? ? x



f ?x ? ?

?? x 2 2x ?1 , ⑷ ? ? f x ? ? 2 2x ?1 ?x

x?0 x?0

,能被称为“理想函

数”的有_

_ (填相应的序号) 。

8. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的 集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ? x ? 组成的集合: 对于函数 ? ? x ? , 存 在 一 个 正 数 M , 使 得 函 数

? ? x ? 的 值 域 包 含 于 区 间 ? ?M , M ? . 例 如 , 当
. ? x现有如下命题: B

3 ?1 ? x? ? x , ?2 nx ? ? , A ? ?x ? s i 时, ?1 ? x ??2?

①设函数 f ? x ? 的定义域为 D,则“ f ? x ? ? A ”的充要条件是“ ?b ? R, ?a ? D, f ? a ? ? b ” ; ②函数 f ? x ? ? B 的充要条件是 f ? x ? 有最大值和最小值; ③若函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域相同,且 f ? x ? ? A, g ? x ? ? B,则f ? x ? ? g ? x ? ? B ④若函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ?

x ? x ? ?2, a ? R ? 有最大值 ,则 f ? x ? ? B . x ?1
2

其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)

? 3? 9.如图,在第一象限内,矩形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别在函数 y=lo g 2 x, y ? x , y ? ? ? 2 ? ? ,的 ? ? 2
1 2

x

图像上, 且矩形的边分别平行两坐标轴, 若 A 点的纵坐标是 2, 则 D 点的坐标是



10.若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间 [a, b] ? D (其中 a<b),使得当 x∈[a,b]时,f (x)的取值范围恰为[a,b],则称函数 f(x)是 D 上的“正函数”,若 f ( x) ? x ? k 是 (??,0) 上的正函
2

数,则实数 k 的取值范围是

三、解答题。 11.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的

?1? 含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ? ? 16 ?
常数) ,如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:

t ?a

(a 为

y 毫克 1

t
O

小时

0.1

(1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式; (2) 据测定, 当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时, 学生方可进教室。 那么药物释放开始, 至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售 的统计规律:每生产产品 x (千台) , 其总成本为 G ? x ? (万元) ,其中固定成本为 3.2 万元,并且每生产 1 千台的生产成本为 4 万元(总成本=

??0.5 x 2 ? 8 x ? 1.2,0≤x≤5 固定成本+生产成本) .销售收入 R?x ? (万元)满足 R ? x ? ? ? ,假定该产品产销 , x ?5 ?3x ? 11.4
平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题: (Ⅰ)写出利润函数 y ? f ?x ? 的解析式(利润=销售收入 ? 总成本) ; (Ⅱ)工厂生产多少千台产品时,可使盈利最多?

13.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k (1 ? k ? 4 且 k ? R ) 个单位的洗衣液在一定量水 的洗衣机中, 它在水中释放的浓度 y(克/升) 随着时间 x(分钟) 变化的函数关系式近似为 y ? k ? f ( x) ,

? 16 ? 1 ? 0 ? x ? 5? ? ?9 ? x 其中 f ( x) ? ? .根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于 4 (克/升)时,它才能起 ?11 ? 2 x 2 ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?
到有效去污的作用. (Ⅰ)若投放 k 个单位的洗衣液,3 分钟时水中洗衣液的浓度为 4 (克/升) ,求 k 的值 ; (Ⅱ)若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?

1.C
' 【解析】由已知条件得 f ( x ) ?

1 4 1 3 x ? mx ? 4 x ,则 f '' ( x) ? x3 ? mx2 ? 4 ,所以 x3 ? mx 2 ? 4 ? 0 在 4 3 4 4 4 ?1,3? 恒成立,则 m ? x ? x 2 ,因为 x ? x 2 在 ?1,3? 递增,所以 x ? x 2 ? ?3 ,所以 m ? ?3 .

4.A 【解析】当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4 ,当 x ? 0 时, f (0) ? 3 ,由图可得,当
2 2

直线 y ? m 与函数 f ?x ? 的图像相交于四个不同的点,则 m ? ?3,4? ,故①正确;由①得 c ? (

1 1 , ], e2 e

d ?[e5 , e6 ) , a ? b ? ?2 , 2 ? ln c ? 2 ? ln d ,所以 2 ? ln c ? ln d ? 2 ,即 cd ? e 4 ,故 abcd ? e 4ab ,
由 于

?a ? b 2 0 ? ab ? ? a ( ?b ) ? ( ) ? ( , 2

故) a

1? 0 ? b c, e 4d

?













e4 e4 1 1 a ? b ? c ? d ? ?2 ? c ? d ? ?2 ? c ? ,由对号函数的图像得 y ? c ? ,当 c ? ( 2 , ] 递减,故 e e c c 1 5 e4 1 ? e ? c ? ? 2 ? e6 ,所以 e c e
1 1 ? ? a ? b ? c ? d ? ?e 5 ? ? 2, e 6 ? 2 ? 2 ? e e ? ? ,故③正确;若关于 x 的方程

f ?x? ? x ? m 恰有三个不同实根,则 y ? f ( x) 的图像与 y ? ? x ? m 有三个不同交点,过 y ? f ( x) 的图
像 上 (? 1 , 4和 ) (0,3) 的 直 线 y ? ? x ? 3 正 好 与 y ? 2 ? l n x 相切,故有三个公共点,而与

f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 相切的直线 y ? ? x ?
错误,综上,正确的命题有①②③.

15 与 y ? 2 ? ln x 有两个交点,故此时也有三个公共点,故④ 4

5 4 3 2 1 –4 –3 –2

y

a

–1 b O c –1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

5.C 【解析】由题意知 k ? 0 , m ? n .

对①若

f ( x) ? 3 ?

4 x 是 k 型函数,因为 f ( x) 在区间 (??, 0) 与 (0, ??) 上都是增函数

所以方程 3 ?

4 ? kx 有两个不同的非零实根, x

2 即方程 kx ? 3x ? 4 ? 0 有两个不同的非零实根,

9 2 时,方程 kx ? 3x ? 4 ? 0 有两个不同的正实数根 16 4 这时 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为 [ km, kn] , 所以函数 f ( x ) ? 3 ? 是 k 型函数, 故①错误. m, n(m ? n) , x 1 对②,若函数 y ? ? x 2 ? x 是 3 型函数 , 则存在区间 [ m, n ] ,使函数 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为 2 1 [3m,3n] ,函数 y ? ? x 2 ? x 的对称轴是 x ? 1 ,下面分三种情况讨论: 2
所以当 ? ? 9 ?16k ? 0 ,且 k ? 0 时,即 0 ? k ? ( a ) 当 m ?1 时 , 函 数 y ? ?

1 2 x ? x 在 [ m, n ] 上 的 值 域 为 2

1 ? 1 2 ? ? n ? n, ? m2 ? m ? , 所 以 有 ? 2 2 ? ?

1 1 1 ? n 2 ? n ? 3m , ? m 2 ? m ? 3n ,以上两式相减得到 ? (n 2 ? m 2 ) ? 4(m ? n) ,因为 m ? n ,所以 2 2 2

1 n ? m ? 8 ,即 n ? 8 ? m ,所以 ? m 2 ? m ? 3(8 ? m) ,整理得 m2 ? 8m ? 48 ? 0 ,此方程无实数根; 2 1 2 1 (b)当 m ? 1, n ? 1 时,有 3n ? ? ? 1 ? 1 ,即 n ? ,矛盾; 6 2
(c)当 n ? 1 时,有

? 1 2 ?? 2 m ? m ? 3m ? ?m ? ?4 ? 1 2 . ?? n ? n ? 3n 时,可得 ? n ? 0 2 ? ? ?m ? n ? ?
综上所述,②正确. 对③,函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x( x ? 0) 是 k 型函数, 利用导数知识可得 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x( x ? 0) 在区 间 ( ?1, ? ) 上是减函数,在区间 (? , 0) 上是增函数,若 n ? 0 ,且 m ? (?1, ? ) 则函数在区间 [m, n] 上

1 3

1 3

1 3

4 4 4 4 ,要使 km ? ? ,只要取 k ? ? ,显然这时 k ? ,且函 9 27 27 27 m 4 数 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为 [ km, kn] ,所以 k 的最小值不是 ,因此③不正确. 9
的最大值为 0,最小值为 f ( ? ) ? ? 对④, 若函数 y ?

1 3

(a 2 ? a) x ? 1 (a 2 ? a) x ? 1 ( a ? 0 ) ? x 有两个不同的非零解,即 是 型函数 , 则 1 a2 x a2 x

a 2 x 2 ? (a 2 ? a) x ? 1 ? 0 有两个不同的非零解 m , n .由 ? ? 0 得 a ? ?3 或 a ? 1 ,
所以 n ? m ?

(a 2 ? a) 2 ? 4a 2 3 2 4 2 3 (当 a ? 3 时取等号) , ? ? 2 ? ?1 ? ? 4 a a a 3 3
2 3 .故选 C. 3

所以 n ? m 的最大值为 6.D.

1 ? 2 x, 0? x? ? 1 ? 2 【解析】函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? ,当 x ? [0, ] 时, f1 ( x) ? 2 x ? x ? x ? 0 , 2 ? 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 ? ? 2
当 x ? ( ,1] 时 , f1 ( x) ? 2 ? 2x ? x ? x ? , ∴ f1 ( x) 的 1 阶 不 动 点 的 个 数 为 2 , 当 x ? [ 0 ,

1 ], 4 1 1 2 f1 ( x) ? 2 x , f 2 ( x) ? 4 x ? x ? x ? 0 ,当 x ? ( , ] , f1 ( x) ? 2 x , f 2 ( x) ? 2 ? 4 x ? x ? x ? ,当 4 2 5

1 2

2 3

1 3 3 2 x ? ( , ] , f1 ( x) ? 2 ? 2 x , f 2 ( x) ? 4 x ? 2 ? x ? x ? , 当 x ? ( , 1, ] f1 ( x) ? 2 ? 2 x , 2 4 4 3 4 f 2 ( x) ? 4 ? 4 x ? x ? x ? 5
∴ f 2 ( x) 的 2 阶不动点的个数为 2 ,以此类推, f ( x ) 的 n 阶不动点的个数是 2 个. 7. ? 4 ? 【解析】根据题中理性函数的说明需满足:定义域为 R 的奇函数,且在定义域内为单调递减函数。图中 所给四个函数⑴定义域不是 R 排除,⑵为偶函数排除;⑶为定义在 R 上的奇函数,当其为减函数,也排 除,⑷经检验符合题意.故选⑷. 8.①③④
2 n

b?R, ? a?D, f (a 【解析】( 1 )对 于 命 题 ①“ f (x ”即 函 数 f ( x) 值 域 为 R ,“ ? )? A ) ?b”
表示的是函数可以在 R 中任意取值,

b?R,? a?D, f (a 故 有 :设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D ,则“ f (x ”的 充 要 条 件 是“ ? )? A ) ?b”
∴命题①是真命题; ( 2 ) 对 于 命 题 ② 若 函 数 f (x )? B, 即 存 在 一 个 正 数 M , 使 得 函 数 f ( x) 的 值 域 包 含 于 区 间

[? MM , ]. ∴ ?M ? f ? x? ? M. 例 如 : 函 数 f ( x) 满 足 ?2 ? f ? x ? ? 5 , 则 有 ?5 ? f ? x ? ? 5 , 此
时 , f ( x) 无 最 大 值 , 无 最 小 值 . ∴ 命 题 ② “ 函 数 f (x )? B的 充 要 条 件 是 f ( x) 有 最 大 值 和 最 小值.”是假命题; ( 3 ) 对 于 命 题 ③ 若 函 数 f ( x) , g ( x ) 的 定 义 域 相 同 , 且 f ? x? ? A, g ? x ? ? B , 则 f ( x) 值 域 为 R , f ? x ? ? ? ??, ??? , 并 且 存 在 一 个 正 数 M , 使 得 ?M ? g ? x ? ? M . ∴ .∴命题③是真命题. f ? x? ? g R 则 f ? x? ? g? x ? ?x? . ?? B

( 4) 对 于 命 题 ④ ∵ 函 数 ∴ 假 设 a ? 0 ,当 x → 题意不符;

x f( x )? a l n ( x ? 2 ) ? 2 ( x ? ?2 , a ? R ) 有 最 大 值 , x? 1
x 2) → ?? ,则 f ( x) → ?? .与 → 0 ,ln( x + 2) → ?? ,∴ a ln( x + x +1
2

?? 时 ,

假 设 a ? 0 ,当 x → ?2 时 , 题意不符.∴ a ? 0 .

x 2 2) → ?? ,则 f ( x) → ?? .与 → - ,ln( x + 2) → ?? ,∴ a ln( x + x +1 5
2

x x ? ?2 x +1 1 当 x ? 0 时, x ? ? 2,∴ 0 ? x
即 函 数 f ( x) =
2

1 x? 1 x

?

1 1 ,即 0 ? f ? x? ? ; 2 2

当 x ? 0 时 , f ? x? ? 0 ; 当 x ? 0 时, x ?

1 1 ?? 2,∴ ? ? x 2

1 ? 0 , 即 ? ? f ? x? ? 0 . 1 2 x? x

1

∴?

1 1 ? f ? x ? ? . 即 f (x )? B. 故 命 题 ④ 是 真 命 题 . 2 2

故 答 案 为 ①③④. 9. ?

?1 9 ? , ? ? 2 16 ?
1 1 ,即 D 点的横坐标 ,且 B 点的纵坐标是 2。即 2 2
4

【解析】因为 A 点的纵坐标是 2,即 2 ? log 2x ?x ?
2
1 2

? 3? 9 9 2 ? x ? x ? 4, 即 B 点的横坐标 4 , 亦即 C 点的横坐标 4 , 则y ?? 即 C 点的纵坐标 是 ? 2 ? ? ? 16 , 16 ? ?
则 D 点的坐标是 ?



?1 9 ? , ? ? 2 16 ?

3? ? ? ? 1, ? ? 4? 10. ?
【解析】因为函数 f(x)=x +k 是(-∞,0)上的正函数,所以 a<b<0, 所以当 x∈[a,b]时,函数单调递减,则 f(a)=b,f(b)=a, 即 a +k=b,b +k=a,两式相减得 a -b =b-a,即 b=-(a+1) , 代入 a +k=b 得 a +a+k+1=0,由 a<b<0,且 b=-(a+1) ,∴a<-(a+1)<0,
2 2 2 2 2 2 2

1 1 ?a ? ?a ? 1 ? ?a ? ? 即, ? ,? ? 2 解得-1<a<- 2 . ? a ?1 ? 0 ? ? a ? ?1
故关于 a 的方程 a +a+k+1=0,在区间(-1,2

1 )内有实数解, 2

记 h(a)=

1 1 1 1 3 ,则 h(-1)>0,h(- )<0,即 1-1+k+1>0 且 ? ? k ? 1 ? 0 解得 k>-1 且 m<- 即 2 2 4 4 2

3? ? ? ? 1, ? ? 3 4?. -1<m<- ;故答案为: ? 4
11. 【解析】从函数图象可以看出,当 0 ? t ? 0.1 时, y 与 t 是正比例函数关系,可设 y ? kt (k ? 0) ,图象过

?1? 点 (0.1,1) ,用待定系数法求 k 便可,而当 t ? 0.1 时, y ? ? ? ? 16 ?
(1)由图知,当 0 ? t ? 0.1 时,可设 y ? kx , 由于点 ? 0.1,1? 在直线上可得 k ? 10 。此时 y ? 10t

t ?a

,图象过点 (0.1,1) ,用待定系数法求出 a

便可,最后把函数关系写成分段函数形式;第二步分两种情况解不等式,一句话分段函数问题分段解决.

? 1? 当 t ? 0.1 时,由 1 ? ? ? ? 16 ?

0.1? a

可得 a ? 0.1

? 10 t (0 ? t ? 0.1) ? 综上 y ? ?? 1 ?t ?0.1 (t ? 0.1) ?? ? ?? 16 ?
由题意可知 y ? 0.25 ,即 y ?

1 1 1 1 . 当 0 ? t ? 0.1 时, 10t ? ? t ? ,则 0 ? t ? ;当 t ? 0.1 时, 40 4 4 40 1 1 1 3 3 或t ? ( )t ?0.1 ? ? t ? ;所以 0 ? t ? 40 16 4 5 5

因此由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室。 12. (Ⅰ) f ( x) = R ? x ? ? G ? x ? ? ? 赢利最大,且最大值为 3.6 万元. 【解析】 (Ⅰ) 由已知分析的出总成本 G ? x ? ? 3.2 ? 4x. 再根据利润=销售收入 ? 总成本, 即可求出 y ? f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 5 时,函数为减函数,当 0≤ x ≤5 时,函数为二次函数,取对称轴 x ? 4 时,可 取得函数的最大值. (Ⅰ)由题意得 G ? x ? ? 3.2 ? 4x. ∴ f ( x) = R ? x ? ? G ? x ? ? ?

??0.5x2 ? 4 x ? 4.4,0≤x≤5 ? 8.2 ? x, x ? 5

;(Ⅱ)当工厂生产 4 千台产品时,可使

??0.5x2 ? 4 x ? 4.4,0≤x≤5 ? 8.2 ? x, x ? 5



(Ⅱ)当 x ? 5 时,∵函数 f ( x) 递减,∴ f ( x) < f (5) =3.2(万元) .

当 0≤ x ≤5 时,函数 f ( x) ? ?0.5 ? x ? 4 ? ? 3.6,
2

所以当 x ? 4 时, f ( x) 有最大值为 3. 6(万元) . 所以当工厂生产 4 千台产品时,可使赢利最大,且最大值为 3.6 万元. 13.(Ⅰ) k ?

12 ; (Ⅱ)14. 5 16 ? 1) ? 4 ,求得 k 的值; 9? x

【解析】 (Ⅰ)将 x ? 3 代入 k (

? 16 4( ? 1) ? 0 ? x ? 5? ? ? 9? x (Ⅱ)当 k ? 4 时, y ? ? ,当 0 ? x ? 5 时,由 y ? 4 ,解得 1 ? x ? 5 ;当 ?4(11? 2 x 2 ) ? 5? x ? 16 ? ? 45 ?
5 ? x ? 16 时,由 y ? 4 ,解得 5 ? x ? 15 ;所以 1 ? x ? 15 ,故有效去污时间


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