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2012届高考文科数学考点测试题14


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第 2 章第 6 课时
一、选择题 2-x 的定义域是( lg x

1.函数 y=

) B. {x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2}

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2

}

?2-x≥0 ? 解析: 要使函数有意 义只需要?x>0 ?lg x≠0 ?
解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1 <x≤2}. 答案: D 2.设 a=lge,b=(lge)2,c=lg e,则( A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.c>b>a )

1 解析: ∵0<lge<1,∴lge> lge>(lge)2. 2 ∴a>c>b. 答案: B 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x) =( ) A. log2x 1 C.log x 2 1 B. x 2 D.x2

1 1 解析: 由题意 f(x)=log ax,∴a=logaa = , 2 2 1 ∴f(x)=log x. 2 答案: C

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4.已知 0<loga2<logb2,则 a、b 的关系是( A.0<a<b<1 C.b>a>1 B.0<b<a<1 D.a>b>1

)

1 1 解析: 由已知得,0< < ?log2a>log2b>0. log2a log2b ∴a>b>1. 答案: D 2-x 5.函数 y=log2 的图象( 2+x A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 2-x 解析: ∵f(x)=log2 , 2+x 2+x 2-x ∴f(-x)=log2 =-log2 . 2-x 2+x )
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B.关于直线 y=-x 对称 D.关于直线 y=x 对称

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∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.故选 A. 答案: A

6.(2010· 天津卷)设函数 f(x)= 是( )
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若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

若 a>0,则由 f(a)>f(-a)得

log2a>log1a=-log2a,即 log2a>0,∴a>1.
2

若 a<0,则由 f(a)>f(-a)得 log1(-a)>log2(-a),
2

即-log2(-a)>log2(-a), ∴lo g2(-a)<0,∴0<-a<1,即-1<a<0. 综上可知,-1<a<0 或 a>1.

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答案: C 二、填空题
? x ?e ,x≤0, 1 7.设 g(x)=? 则 g?g?2??=________. ? ? ?? ? ?ln x,x>0,

1 1 解析: g?2?=ln <0, ? ? 2
1 1 1 1 ∴g?g?2??=g?ln2?=eln2= . ? ? ?? ? ? 2

答案:

1 2

8.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________. 解析: 令 u=x2-2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x2-2x>0 的减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x2-2x)的减区间是(-∞,0). 答案: (-∞,0)
?3x 1 ? 9.已知函数 f(x)=? ? ?log2x


x≤0 x>0

,则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值

范围是________. 解析: 当 x≤0 时,由 3x 1>1,得 x+1>0,即 x>-1. ∴-1<x≤0. 当 x>0 时,由 log2x>1,得 x>2. ∴x 的取值范围是{x|- 1<x≤0 或 x>2}. 答案: {x|-1<x≤0 或 x>2} 三、解答题 10.已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的单调性.? 解析: (1)由 ax-1>0,得 ax>1.当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0.


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∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞);

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当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<ax1<ax2, 故 0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1),∴f(x1)<f(x2), 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 1 11.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,试求 ? ? a 的取值范围.? 解析: ∵f(x)=logax, 则 y=|f(x)|的图象如右图. 1 1 由图示,要使 x∈?3,2?时恒有|f(x)|≤1,只需?f?3??≤1, ? ? ? ? ?? 1 即-1≤loga ≤1, 3 1 - 即 logaa 1≤loga ≤logaa, 3 1 - 亦当 a>1 时,得 a 1≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 - 当 0<a<1 时,得 a 1≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 1 综上所述,a 的取值范围是?0,3?∪[3,+∞). ? ? 12.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解析: (1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)= log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3).
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令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 又 y=lo g4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0,则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

?a>0, ? 1 因此应有?12a-4 解得 a= . 2 ? 4a =1, ?
1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2

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