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数学论文:《高中课程标准实验教科书必修《数学2》(苏教版)教学问答》


高中课程标准实验教科书必修《数学 2》 (苏教版)教学问答
问:如何解决数学必修 2 内容过多、课时不足的问题? 答:数学必修 2 包括第 1 章“立体几何初步” 和第 2 章“平面解析几何初 步”.从实际教学情况来看,教师普遍认为第 1 章内容多、课时紧,教和学都比 较吃力. 根据《普通高中数学课程标准(实验)》,第 1 章约需 18 课时,而传统的 “直线、平面、简单几何体”需 36 课时,因此,仍按原来的模式教学是行不通 的,也不符合课标的要求.教学时要注意下面的问题: (1)只需了解“角” (异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及 其平面角)与“距离” (点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两 个平行平面间的距离)的概念,但对计算不作要求. 由于文科学生不学“空间向量与立体几何” (选修 2-1 第 3 章) ,因此必修 2“立体几何初步”的学习重点应放在定性研究上,增加或补充“角”与“距离” 的计算是不妥的. (2)判定定理只要通过直观感知、操作确认后归纳得出(可借助长方体模 型) ,不必证明(在“空间向量与立体几何”中予以证明) . (3)与以往教材不同,新教材增强了选择性和层次性,平时教学应着力于 核心内容的讲解, 不必面面俱到. 例如, 教材中穿插的 “阅读” 、 “链接” 、 “EXCEL” 等栏目就是非必学内容.习题中的“思考·运用”“探究·拓展”属于选做题目, 、 切忌一网打尽. 为解决第 1 章的教学困难,建议采取以下措施: (1)顺序调整:必修 2 两章的内容相对独立,第 2 章的学习要容易一些, 内容又相对较少,实际教学时,可以先教第 2 章,再学第 1 章.这样安排,由于 降低了学习的起点,可以缓解学生的学习压力. (2)课时调整:第 2 章安排 16 课时,第 1 章增加到 20 课时(在“直线与 平面的位置关系”后增加习题课,在本章末增加小结复习课时),按此方案调整 课时,有利于第 1 章的教与学. (3)分段安排.上面两种调整只是缓解了必修 2 的教学压力,实际上并没 有真正解决教学负担重的问题.如果将“解析几何初步”与“立体几何初步”分
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别放在高一和高二讲授,那么这个问题就容易解决:高一第一学期安排必修 1 及必修 2 的解析几何初步,第二学期安排必修 3 与必修 4,高二第一学期处理必 修 5 及必修 2 的立体几何初步.这样安排至少有三个好处: ① 必修 1 的课时可以适当增加,进度可以适当放慢,有利于刚进入高中的 学生较好地适应高中数学的学习; ② 有利于学生学好立体几何.从教学实践及相关的研究来看,立体几何更 适合于高二阶段学习.其次,由于课时更具弹性,教学就比较主动. ③ 注意到文科生学习的数学内容相对较少,因此,上述安排(延长适应阶 段时间,分散学习难点)更有利于文科生学好数学. 问:“立体几何初步”安排“空间几何体”一节内容的意图是什么? 答:以往立体几何的处理方式是从局部到整体(点、线、面→柱、锥、台), 而新教材处理方式则是从整体到局部(柱、锥、台→点、线、面→度量计算), 强调通过 “直观感知→操作确认→思辨论证→度量计算”的方法认识和探索几何 图形及其性质,符合学习几何的认知规律.设置空间几何体一节还有如下意图: (1)降低学习起点,为后续学习做好铺垫.本节实际上也可称为直观立体 几何,要素有:观察(空间几何体)、认识(结构特征)、理解(三视图)、会 画(直观图).同时,为下一节的学习(逻辑推理)提供载体(长方体等模型), 丰富问题背景. (2)实现从动和静两个方面认识几何体.除圆柱、圆锥、圆台、球仍采用 运动的观点 (旋转) 来揭示其特征外, 棱柱、 棱锥和棱台也采用了运动的观点 (平 移、收缩)来描述,这种刻画的优点是形象直观,具有统一性,还便于制作多媒 体课件进行演示,有利于提高学生的学习兴趣和空间想象能力. 问:三视图的学习要求与初中阶段有何不同? 答: 初中阶段学习三视图以定性为主, 会判断 (找出与三视图对应的直观图) , 高中阶段三视图还有定量的要求.例如,学生应理解主视图、俯视图、左视图之 间“长对正,高平齐,宽相等”的含义.通过画几何体的三视图,可以进一步加 深对几何体结构的认识. 教学时要控制难度, 仅限于长方体、 球、 圆柱、 圆锥、 棱柱等的简易组合 (如 画三棱锥的三视图,就超出了要求) .另外,让学生画三视图时,一般要给出正

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视的方向. 问:如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式? 答:新教材对判定定理不要求证明有多种用意: (1)合情推理与逻辑推理的有机结合.合情推理(归纳、类比等)具有猜 测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.合情推理和演 绎推理联系紧密、相辅相成.事实上,“数学家创造性的工作是论证推理,即证 明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的”(波利亚). 教材(课标)对判定定理和性质定理的不同要求,为教师提供了培养学生合 情推理能力的极好素材.教学中对判定理和性质定理一视同仁,一一加以证明, 有悖课标的初衷, 不仅增加了教学负担, 也错失了培养学生合情推理能力的机会. 合情推理与逻辑推理的有机结合, 可以避免以往几何课程中以论证几何为主 线展开几何内容造成的过于形式化,以及由此给学生带来的困难,有利于学生在 自然的探索过程中学习数学的思考方式. (2)规避教学难点.线面垂直判定定理的证明是以往教材中的一个教学难 点,新教材通过直观感知和操作确认,再归纳得到线面垂直的判定定理,这种处 理方式,使教学过程更加流畅,学生更容易接受. 当然,合情推理不能代替证明.可以告诉学生,在后续的学习中,我们不难 运用向量工具完成判定定理的证明. 问:立体几何初步为何不讲三垂线定理? 答:新教材不讲三垂线定理,三垂线定理仅以结论的形式出现在习题中(但 未提“三垂线定理”),这样处理的理由是: (1)三垂线定理在作出二面角的平面角时比较方便,但必修 2“立体几何 初步” 的重点在定性研究, 定量处理在选修 2-1 空间向量与立体几何” “ 中完成. 利 用空间向量, 就不必通过作出二面角的平面角来求二面角的大小,只要计算两个 平面法向量的夹角(或其补角),即用向量的数量积来处理. (2)三垂线定理本身的价值不大.一是定理叙述冗长,涉及斜线、射影等 诸多概念; 二是三垂线定理与三垂线定理的逆定理也让一些学生迷糊,运用时难 免张冠李戴;三是三垂线定理并不是知识链上的重要一环(与线面垂直、平行的 判定和性质定理比较),况且其证明十分简明,缺之无妨,对熟悉三垂线定理的

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教师来说可能不习惯,但对于学生来说,不会有什么影响. 要说明的是,在选修 2-1“空间向量与立体几何”中,教材将三垂线定理作 为例题, 并运用向量方法作了证明. 因此, 学生是可以运用三垂线定理来解题的, 但这不是在必修 2 中要介绍三垂线定理的理由. 问:“空间几何体的表面积和体积”一节的教学要点是什么? 答:教材中关于柱、锥、台、球的表面积和体积公式的建立,只需直观理解, 不要求学生推导也不需要记忆公式, 学生能够利用公式做一些简单的计算就可以 了. 这是因为表面积和体积的计算通常要涉及距离或角度的计算, 而这类定量计 算更适于用空间向量来处理, 所以本节的教学要求不宜拔高,大量补充这方面的 练习是没有必要的. 由于本节隐含了丰富的数学思想方法,因此,教学中要有意识地加强这方面 的训练.例如,化归思想,将计算空间几何的表面积问题转化为平面图形面积的 计算;类比思想,祖暅原理的运用及迁移.实际上,本节习题“探究·拓展”也 是类比思想的运用,其中还隐含了微分的思想.教师如教学得法、指导有方,学 生就会受益匪浅. 问:为什么先学解析几何,后学三角? 答:与以往教材不同,新教材(课标)按解析几何在前,三角在后的顺序编 写,这样有两个好处: 一是突出用代数方法研究几何问题的过程,加强代数运算能力的培养.用代 数方法讨论直线与直线、 直线与圆和圆与圆之间的关系可以提高学生用代数方法 处理数学问题的能力. 二是有利于诱导公式的教学.例如,角?与 ? ? ?的终边关于直线 y ? x 对称, 2 ? ? ?的终边上,由此可 2

因而角? 终边上一点(a, b)关于直线 y ? x 的对称点(b, a)在 得

? ? ?的诱导公式.这里“点(a, b)关于直线 y ? x 的对称点为(b, a)”就可以用“解 2

析几何初步”中的知识加以证明. 实际上,先学解析几何还有利于平面向量的教学(如向量的坐标运算). 问:为什么先讲斜率再谈倾斜角?
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答:先斜率后倾斜角,先直线方程后位置关系,其用意都是突出用代数方法 研究几何问题的思想. 在根据斜率判定两条直线平行或垂直时,摆脱了以往教材 借助倾斜角并利用正切函数诱导公式进行研究的模式, 利用初中相似三角形的基 本知识,沟通“相似比”与“增量比”之间的联系,在温故知新的同时,加深了 学生对斜率公式(增量比)的理解. 对于先学必修 4 再学必修 2 的学校来说(按教材的编写意图及逻辑顺序,我 们提倡以 1,2,3,4,5 的顺序进行教学),回到传统方法来处理斜率与两条直 线的位置关系未尝不可,但不应忽视课本通过相似比来研究增量比的方法. 问:为什么要学习空间直角坐标系? 答:考虑到文科学生不学“空间向量与立体几何”,因此在必修数学中适当 介绍空间直角坐标系是必要的. 其次, 空间直角坐标系的学习也为类比学习提供了一个平台,教学时可通过 创设问题情景,采用类比的方法,研究如何刻画空间点的位置,探索空间两点间 的距离公式,中点坐标公式,等等. 问:平面解析几何的教学中,应始终贯穿什么思想? 答: 用代数的语言描述几何要素及其关系→几何问题转化为代数问题→处 理代数问题→分析代数结果的几何含义→解决几何问题,这种“用代数方法 研究几何问题”的思想应贯穿平面解析几何教学的始终,并使学生不断地体 会数形结合的思想方法. 参考文献 [1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验) .北京:人民教

育出版社,2003. [2] 中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学教学大纲.北京:人民

教育出版社,2002.

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