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等比数列求和 教案


姓名:郑莉

年级:11 级

学号:2011111824

等比数列的前 n 项和(第一课时教案)
一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,从教材的编写顺序上来看, 等比数列的前 n 项和是第三章“数列”第五节的内容,一方面它是“等差数列的前 n

项和” 与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系,另一方面它又为 进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看,它不仅在现实生活中 有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类 比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学 素养。就内容的人文价值上来看,等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分 析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力 的良好载体。 2.从学生认知角度来看 从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、 特点等方 面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊 情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 3. 学情分析 教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力, 逻辑思维 能力也初步形成,但由于年龄的原因,对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。 4. 重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用. 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它 蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点。 二、目标分析 1.知识与技能目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 2.过程与方法目标:通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合的思维能力, 提高学生的建模意识及探究问题、 分析与解决问题的能力, 体会公式探求过程中从特殊到一
1

般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想,优化思维品质。 3.情感态度与价值观:通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝 试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构 的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题,一些所谓不可理解的事就 可以给出合理的解释,从而帮助我们用科学的态度认识世界。 三、教学方法与教学手段 本节课属于新授课型,主要利用计算机和实物投影等辅助教学, 采用启发探究,合作学习,自主学习等的教学模式. 四、教学过程分析 学生是认知的主体,也是教学活动的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律, 引导学生去经历知识的形成与发展过程, 结合本节课的特点, 我按照自主学习的教学模式来 设计如下的教学过程, 目的是在教学过程中促使学生自主学习, 培养自主学习的习惯和意识, 形成自主学习的能力。 1.创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大舍罕为赞赏,对 他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦, 第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格.国王觉得太 容易了,就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么 呢?大家想一下,这个国王能够满足宰相的要求吗? 【教师提问】 同学们, 你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数. 带着这样的问题, 学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的 这种思路给予肯定. 2.学生探究,解决情境 在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,2 ,?,2 是什么数列?有何特征? 应归结为什么数学问题呢? 探讨 1: 设s = 1+ 2 + 22 + 23 + ??? + 263 ,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联 64 系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以 2 则 有 2s64 = 2 + 22 + 23 + ??? + 263 + 264 ,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 【设计意图】留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加” 为“减”,在教师看来这是很显然的事,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应 着力在这儿做文章,从而培养学生的辩证思维能力. 解决情境问题:经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两
2 63

s64 ? 264 ? 1
2

式相减,相同的项就可以消去了,得到:

。老师强调指出:这就是错位相减法,并

要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 【设计意图】经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了, 让学生在探索过程中, 充分感受到成功的情感体验, 从而增强学习数学的兴趣和学好数学的 信心,同时也为推导一般等比数列前 n 项和提供了方法。 3.类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列为 ?a n ?,公比为 q,如何求它的前 n 项和?让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。 一般等比数列前 n 项和: S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n?1 ? a n ? ? 即 S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 ? ? 方法 1:错位相减法
?S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1 ? ? ?qSn ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? ? a1q n ?1 ? a1q n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q 这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 sn=? ? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q n ?
? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? ?na1 ? q ?1 q ?1
n

a1 ? a1q n 在学生推导完成之后,我再问:由 (1 ? q ) S n ? a1 ? a1q 得 S n ? 1? q
【设计意图】在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学 生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 4.讨论交流,延伸拓展 探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗?我们知道,

sn = a1 + a1q + a1q 2 + ?+ a1q n-1 = a1 + q(a1 + a1q + ?+ a1q n-2 )
那么我们能否利用这个关系而求出 Sn 呢? 方法 2:提取公比 q
S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 ? a1 ? q(a1 ? a1q ? ? a1q n?2) ? a1 ? q(S n ? a1q n?1) ? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q n

根据等比数列的定义又有

a2 a3 a4 an = = = ?= = q ,能否联想到等比定理从而求出 sn a1 a2 a3 an-1

3

呢? 方法 3:利用等比定理
a a a2 a ? 3 ? 4 ?? n ? q a1 a2 a3 a n ?1 a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n S ? a1 ?q? n (1 ? q)S n ? a1 ? an q S n ? an a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n?1

?? 【设计意图】以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛 围. 以上两种方法都可以化归到 S n ? a1 ? qsn?1 , 这其实就是关于 S n 的一个递推式, 递推数 列有非常重要的研究价值, 是研究性学习和课外拓展的极佳资源, 它源于课本, 又高于课本, 对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值,从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学 生的知识迁移和能力提高。 5.巩固提高,深化认识 (1)口答: 在公比为 q 的等比数列 {a n } 中 若 a1 ? 2 , q ? 1 ,则 S n ? ________,若 a1 ? 1,q ? 1 ,则 S n ? ________ 3 3 若 a1 =—15, a 4 =96,求 q 及 S 4 , 若 a3 ? 1 , S 3 ? 4 (2)判断是非:
1? (1 ? 2 n ) 1? 2 1? (1 ? 2 n ) ② 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? 1? 2 ③若 c ? 0 且 c ? 1 ,则

1 2

1 ,求 a1 及 q. 2
( ( ) )

① 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n?1 ?

c 2 ? c 4 ? c 6 ? ? ? c 2n ?

c 2 [1 ? (c 2 ) n ] 1? c2





【设计意图】对公式的再认识,剖析公式中的基本量及结构特征,识记公式,并加强计 算能力的训练。

6.例题讲解,形成技能 例 1.求和

1 ? a ? a 2 ? a3 ? ?a n

1 1 1 1 例 2.求等比数列 , , , ,? 的第 5 项到第 10 项的和. 2 4 8 16 方法 1: 观察、发现: a5 ? a6 ? ? ? a10 ? S10 ? S 4 .

方法 2: 此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成一个新的等比数列:首项为 a5 ? 16 ,公比为 q ? 2 ,项数为 n ? 6 . 变式 1:求 1 1 ,1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ? 的前 n 项和. 2 2 4 8 16 32 变式 2:求 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ? 的前 n 项和. 2 4 8 16 32
4

【设计意图】采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形 成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生自主学习的意识.解题时,以学 生分析为主,教师适时给予点拨。 7.总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再 从知识点及数学思想方法两方面总结。 【设计意图】以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 8.课后作业,分层练习 必做: P129 练习 3(1)习题 3.5 第 1 题 选作: 思考题(1):求和 x + 2x 2 + 3x3 + ?+ nx n . (2)画一个边长为 2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推,这样一共画了 10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和。 【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展. 让学有余力的学生有思考 的空间,便于学生开展自主学习。 五、评价分析 本节课通过三种推导方法的研究,使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和 公式.错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质;等比定理:回归 定义,自然朴实.学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维的 深刻性、敏锐性、广阔性、批判性.同时通过精讲一题,发散一串的变式教学,使学生既巩 固了知识,又形成了技能,在此基础上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、 合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质,形成学习能力。 六、教学设计说明 1.情境设置生活化. 本着新课程的教学理念,考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接,让学生 学生初步了解“数学来源于生活” 采用故事的形式创设问题情景,意在营造和谐、积极的 , 学习气氛,激发学生主动探究的欲望。 2.问题探究活动化. 教学中本着以学生发展为本的理念, 充分给学生想的时间、 说的机会以及展示思维过程 的舞台,通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体 验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流,发展学生的数学观察能力和语言表 达能力,培养学生思维的发散性和严谨性。 3.辨析质疑结构化. 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过

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总结、 辨析和反思, 强化了公式的结构特征, 促进学生主动建构, 有助于学生形成知识模块, 优化知识体系。 4.巩固提高梯度化. 例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力; 由教科书中的例题改编而 成, 并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力, 培养学生思维的深刻性和灵活性。 5.思路拓广数学化. 从整理知识提升到强化方法,由课内巩固延伸到课外思考,变“知识本位”为“学生本 位” ,使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考,让学生认识到 数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学. 6.作业布置弹性化. 通过布置弹性作业, 为学有余力的学生提供进一步发展的空间, 有利于丰富学生的知识, 拓展学生的视野,提高学生的数学素养.

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