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2012届高三第一轮复习数学课件(新人教B版):第1编 1集合


学案1





知识网络构建 考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1 考点2

考点3
考点4 考点5

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考 纲 解 读

r />1.集合的含 义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合 的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子 集的补集.

2.集合间的 基本关系

3.集合的 基本运算

(3)能使用韦恩图(Venn)表示集合的关系及运算.

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考 向 预 测
1.对于以集合及其运算为载体考查函数、三角、不等 式、方程、数列、曲线及轨迹等有关知识.如不等式(组) 解集、方程(组)解集、函数的定义域和值域、曲线的 位置关系等. 2.以考查集合的交、并、补等运算为主,同时考查集 合特性及集合、元素间的关系.同时注意对用韦恩(Venn) 图、数轴求交、并、补等数形结合思想的考查. 3.集合在高考中常以选择、填空题考查,偶尔也会出 现与其他章节知识结合的解答题.

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1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性 ②

?



确定性 互异性 无序性

. .



.

(2)集合中元素与集合的关系 文字描述为 属于 符号表示为 和 不属于 . ∈? 和

?.
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(3)集合的表示 法

?

列举法

.

描述法
图示法

.
.

2.集合间的基本关系 (1)集合间基本关系 ①相等关系:A?B且B?A? ? ? ? A=B ;

②子集:A是B的子集,符号表示为

? ? A? B 或B?A;

③真子集:A是B的真子集,符号表示为 A ?B或 B? A. (2)不含任何元素的集合叫做 空集 ? ,记为 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集 .

? ,并规定:
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3.交集 一般地,由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组 成的集合,称为集合A与B的交集,记作A ∩ B,即 A ∩ B= {x|x∈A,或x∈B} . 4.并集 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集 合,称为A与B的并集,记作A ∪ B,即 A ∪ B= {x|x∈A,且x∈B} . 5.补集 对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所有元素组 成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 {x|x∈U,且x?A} . ? CUA= 返回目录

6.集合的运算性质
(1)交集 ①A∩B= ③A∩?= ? B∩A ; ②A∩A=

⑤A∩B=A ?? . ??? A ?B ③A∪?= ? ⑤A∪B=B ? ①A∩( CUA)= A

?

A

;

; ④A∩B

? A,A∩B ? B;
A ;

(2)并集①A∪B= B∪A ;②A∪A=
;④A∪B .

?A,A∪B ? B;

A?B

(3)交集、并集、补集的关系 . U ②CU(A∩B)= ( CU A) ? (CU B); CU(A∪B)= ( CU A) ? ( CU B). 返回目录

?

;A∪( CUA)=

考点1 集合的概念

若a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ?0, , b ? ,求b-a的值. ? ?
b ? a ?

【分析】由{1,a+b,a}= ?0, b , b ? 可知,a≠0,因此
? ? a ? ?

只能a+b=0 ,然后利用两集合相等的条件列出方程组 ,

分别求出a,b的值即可.
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【解析】由{1,a+b,a}= ?0, , b ? 可知a≠0, ? ?

?

则只能a+b=0,则有以下对应关系: a+b=0
b =a a

①或

b=1

由①得

?

?

b ? a

?

a+b=0 b=a
b =1 a



a=-1 b=1

,符合题意;②无解.

所以b-a=2.

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(1) 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元 素的特点 ,列出方程组求解.但解出后应注意检验,看

所得结果是否符合元素的互异性.
(2) 解决此类问题还可以根据两集合中元素的和 相等、元素的积相等,列方程求解,但仍然要检验.

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已知集合A= ?x, y ,1?,B={x2,x+y,0},若A=B,则 ? ?
? x ?

x2 011 +y2 012 =

-1 ,A=B=

{-1,0,1}

.

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y 解: (根据集合相等的定义知x=0或 =0. x y y 当x=0时, 无意义,∴只能 =0,得y=0,代入A,B得 x x

A={x,0,1},B={x2,x,0}. 又∵A=B,∴x2=1,∴x=1或x=-1. 当x=1时,A={1,0,1},B={1,1,0},不符合集合元素的互 异性,故舍去;

当x=-1时,A={-1,0,1},B={1,-1,0},
∴A=B,符合题意. ∴x2 011 +y2 012=(-1)2 011 +02 012=-1. A=B={-1,0,1}.) 返回目录

考点2

集合与集合的关系

[2010年高考浙江卷]设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( ? ? A.P?Q B.Q?P ? ? C.P?CRQ D.Q?CRP

)

【分析】先求出Q,研究P与Q的关系,确定A,B是否正确.再求 CRQ,CRP判断C,D是否正确.

? 【解析】∵Q={x|-2<x<2},∴Q?P. 故应选B.
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本题考查一元二次不等式的解法、集合间的关系 及集合的运算,同时考查学生的逻辑思维能力及运算 能力,属基础题.

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1 已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= ?x | - ? x ? 2?. ? ?

(1)若A?B,求实数a的取值范围; ?
(2)若B?A,求实数a的取值范围; ?

?

2

?

(3)A,B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由.

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【解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若a=0,则A=R;

1 ? 4 ②若a<0,则A= ?x | ? x ? a ? a ③若a>0,则A= ?x | - 1 ? x ? 4 ? a a ? ? (1)当a=0时,若A?B,
此种情况不存在.

? ?; ? ?. ? ?

? 当a<0时,若A?B,如图, 4 1 >a<-8 a 2 1 ∴ 则 1 - ≤2, a≤- ,2

?

a

?

∴a<-8. 返回目录

当a>0时,若A?B,如图, ? 则

?

- 1 ≥- 1 a 2 4 ≤2, a



?

a≥2

a≥2.

∴a≥2.

综上知,此时a的取值范围是a<-8或a≥2.

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(2)当a=0时,显然B?A; ?

? 当a<0时,若B?A,如图,


?

1 ∴ ? ? a ? 0; 2

4 1 ?? a 2 1 ? ?2 a



?

a ? ?8

1 a?? 2

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当a>0时,若B?A,如图, ? 1 1 ? ?? a?2 a 2 ∴ 则 4 a?2 ?2 a

?

?

∴0<a≤2.

1 综上知,当B?A时,- <a≤2. ? 2 (3)当且仅当A,B
两个集合互相包 含时,A=B. 由(1),(2)知,a=2. 返回目录

考点3

集合的基本运算

[2010年高考辽宁卷]已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的 子集,且A∩B={3},( CUB)∩A={9},则A= ( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 【分析】利用B∪(C UB)=U,可得A=(A∩B)∪(A∩ CUB)={3,9}. 【解析】∵A∩B={3},(C UB)∩A={9}, 又B∪(C UB)=U,∴A={3,9}. 故应选D. 返回目录

本题考查集合的交、并、补运算,难度较小.

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设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (3)若U=R,A∩( CUB)=A,求实数a的取值范围.

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【解析】由x2-3x+2=0得x=1或x=2,

故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程, 得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3. 当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件.

综上,a的值为-1或-3.

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(2)对于集合B,

Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).

? ∵A∪B=A,∴B?A,
①当Δ<0,即a<-3时,B=? ,满足条件; ②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件; ③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足条件.

?

则由根与系数的关系得

?

1+2=-2(a+1) 1〓2=a2-5,



?

a=-

a2=7

5 2 ,矛盾.

综上,a的取值范围是a≤-3. 返回目录

(3)∵A∩( CUB)=A,∴A? CUB,∴A∩B=?. ? ①若B=?,则Δ<0? a<-3符合; ? a>-3,此时需1?B且2?B. ? ? 将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);

? ②若B≠?,则a=-3时,B={2},A∩B={2},不合题意; ?
将1代入B的方程得a2+2a-2=0? a=-1〒 3 . ? ∴a≠-1且a≠-3且a≠-1〒 . 3
3.

?

综上,a的取值范围是a<-3或-3<a<-1- 3 或-1- 3 <a<-1
或-1<a<-1+ 3或a>-1+

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考点4 维恩(Venn)图的应用

[2009年高考江西卷]已知全集U=A∪B中有m个元素, ( C UA)∪ ( C UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B 的元素个数为 ( ) A. mn B. m+n C.n-m D.m-n 【分析】可利用Venn图解题. 【解析】∵(CUA)∪(CUB)中有n个元素, 如图所示阴影部分,又∵U=A∪B中有m 个元素,故A∩B中有m-n个元素. 故应选D. 返回目录

本题考查集合的表示法Venn图的应用.

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某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组, 每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学 小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理 小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同 时参加数学和化学小组的有人.
【答案】8 【解析】如图,设同时参加数学和 化学小组的有x人,则26+15+13-6-4-x=36, 解得x=8.

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考点5

自定义集合的运算

若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一

种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为
集合A的同一种分拆,则集合A={1,2,3}的不同分拆种数 是 A.27 B.26 C.9 ( D.8 A )

【分析】在正确理解“分拆”定义的基础上,采用列举 法,注意分类. 返回目录

【解析】①当A1=?时,A2={1,2,3},只有一种分拆; ?

②当A1是单元素集时(有3种可能),则A2必须至少包
含除该元素之外的两个元素,也可能包含3个元素,有两类 情况(如A1={1}时,A2={2,3}或A2={1,2,3}),这样A1是单元 素集时的分拆有6种; ③当A1是两个元素的集合时(有3种可能),则A2必须

至少包含除这两个元素之外的另一个元素,还可能包含
A1中的1个或2个元素(如A1={1,2}时,A2={3}或A2={1,3} 或A2={2,3}或A2={1,2,3}),这样A1是两个元素的集合时的 分拆有12种; 返回目录

④当A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包
含0,1,2或3个元素(即A1={1,2,3}时,A2可以是集合{1,2,3} 的任意一个子集),这样A1={1,2,3}时的分拆有23=8(种). ∴集合A={1,2,3}的不同分拆种数是1+6+12+8= 27(种). 故应选A.

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解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义 (或新运算) . 思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮 助理解 .同时 , 找出新知识与所学相关知识的不同之处, 通过对比,加深对新知识的认识.

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设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算?为:Ai?Aj=Ak,

其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3,则满足关系式(x?x)
?A2=A0的x(x∈S)的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 (B )

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(验证法:(A0?A0)?A2=A0?A2=A2≠A0,
∴A0不满足关系式; (A1?A1)?A2=A2?A2=A0, ∴A1符合关系式; (A2?A2)?A2=A0?A2=A2≠A0, ∴A2不满足关系式; (A3?A3)?A2=A2?A2=A0,则A3符合关系式.

故应选B.)

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1.在进行集合的运算时要注意: (1) 勿忘对空集的讨论.

(2)勿忘集合中元素的互异性.
(3)对于集合A的补集运算,勿忘A必须是全集的补 集. (4)对于含参数(或待定系数)的集合问题, 勿忘 对所求数值进行合理取 舍.

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2.在集合运算过程中应力求做到“三化”: (1)意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、 点集还是图形,是表示函数的定义域、值域还是方程 或不等式的解集. (2)直观化:借助数轴、直角坐标平面、Venn图等

将有关集合直观地表示出来.
(3)具体化: 具体求出相关集合中函数的定 义 域、 值域或方程、 不等式的解集等;不能具体求出的,也 应力求将相关集合转化为最简单形式.

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