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广西南宁二中2009—2010学年度下学期高一数学期末考试试题


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南宁二中 2009—2010 学年度下学期高一年级期末考试 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只一 项是符合题目要求的。 1. cos 300 ? 的值为 ( ) A. 2.若

1 2<

br />
B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
( )

1 ? tan A ? 2, 则 tan( 45? ? A) 等于 1 ? tan A
B.2 C.

A.-2

1 2

D. ?

1 2
( )

3.在 ?ABC 中, AB ? c, AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2DC, 则AD ? A.

2 1 b? c 3 3

B.

5 2 c? b 3 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

4.已知两直线 l1 : y ? x, l 2 : ax ? y ? 0 ,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在 (0, 化时, a 的取值范围是 A. (0,1) B. (

?
12

) 内变




3 , 3 ) [来源:高考资源网] 3

C. (

3 ,1) ? (1, 3 ) 3

D. (1, 3)

5.已知 A、B、C 三点共线,A 分 BC 的比为 ? ? ? 纵坐标为 A.-10

3 ,A,B 的纵坐标分别为 2,5,则点 C 的 8
( ) D.10

B.6

C .8

6.将函数 y ? 2 ? 1 的图象按向量 a 平移得到函数 y ? 2
x

x ?1

的图象,则 D. a ? (?1,1)





A. a ? (?1,?1)

B. a ? (1,?1)

C. a ? (1,1)

7.已知 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,则有





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A. ab ? ab ? a
2

B. ab ? ab ? a
2

C. ab ? a ? ab

2

D. a ? ab ? ab

2

8.不等式 | 3x ? 4 |? 2 的整数解的个数为 A.0 B.1 C .2 D.大于 2





9.要得到函数 y ? cos( 3 x ?

?
6

) 的图象,需将函数 y ? sin 3x 的图象





? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 9
A.向左平移

? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 9
B.向右平移

10.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0, (a ? b) ? c, a ? b, 若 | a |? 1 ,则 | a | 2 ? | b | 2 ? | c | 2 的 值是 A.2 ( B.4 C .8 D.16 )

11.已知 ? ? R ,直线 l : (2? ? 1) x ? (1 ? ? ) y ? (4? ? 5) ? 0 和 P(7,0) ,则点 P 到直线 l 距 离的取值范围是 A. [0,2 5 ] B. [0,2 5 ) C. [0, 5 ] D. [ 5,??) ( )

12. 已知非零向量 AB 与AC 满足 (

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 且

AB

| AB | | AC |

?

AC

?

1 B C 为 , 则 ?A 2
( )

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上。 13.已知向量 a ? (1,1),b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 共线,则 | b |? 14.若向量 a, b 的夹角为 60°, | a |?| b |? 1, 则a ? (a ? b) ? 。 。 。

15.若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? b ? 0 关于直线 y ? x 对称,则 a ? 16.已知 x ? 0, y ? 0, 且9 x ? y ? xy, 则x ? y 的最小值为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的计算过程,推演步骤或文字说明。 17. (本小题 10 分)一条光线从点 M(2,3)射出,遇 x 轴反射后经过 N(-1,6) ,求入射光 线所在直线方程。

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18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ? R. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [

? 3?
8 , 4

] 上的最小值和最大值。

19. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4) ,B(0,0) ,C( c,0 ) 。 (1)若 c ? 5, 求 sin ?A 的值; (2)若 ? A 是钝角,求 c 的取值范围。

20. (本小题 12 分)直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,直线 l1 和 AB, OA 分别交于点 C,D,且平分 ?AOB 的面积。 (1)求 cos ?BAO 的值; (2)求线段 CD 长度的最小值。

21. (本小题 12 分)在三角形 ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 , 且a ? c ,求三角形 ABC 的面积。

cos C 3a ? c ? 。 cos B b

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22. (本小题 12 分) 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角, 向量 a ? (

65 A? B A? B sin , cos ), 5 2 2

3 5。 5 (1)求 tan A ? tan B 的值;
且 | a |? (2)求 C 的最大值,并判断此时 ?ABC 的形状。

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参考答案 一、选择题 ABACD AABCB AD

?(a ? b) ? a ? c ? b ? c ? 0 ?a ? c ? b ? c ? ? ? ? 10.解析: (a ? b) ? c, a ? b ? ?a ? b ? 0 ? ?a ? b ? 0 ? ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? 0 | a |?| b |? 1 ? ? ? ?

?| c |2 ? (?a ? b) 2 ? 2
所以 | a |2 ? | b |2 ? | c |2 ? 4 12.解析:非零向量与满足 (

AB | AB | AB

?

AC | AC | AC

) ? BC ? 0 ,即角 A 的平分线垂直于 BC, 1 ? ,?A ? , 所以 ? ABC 为等边三角形, 选 D。 2 3

? AB ? AC , 又 cosA ?
二、填空题 13. 2

| AB | | AC |

?

?

1 2 1 15. 3
14. 16.16 三、解答题 17.解:设入射光线与 x 轴的交点为 P( x,0 ) ,则直线 MP 的倾斜角与直线 NP 的倾斜角互补, 则 k MP ? ?k NP ……63 分

?

3?0 6?0 ? 2 ? x ?1? x
…………6 分

? x ? 0,即P(1,0)
? k MP ? 3?0 ?3 2 ?1

? 直线 MP 的方程为 y ? 0 ? 3( x ? 1)
即 3x ? y ? 3 ? 0 …………10 分

18.本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

y ? A sin(?x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。
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(1)解: f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? (2)解:因为 f ( x) ?

?? ? 2 sin? 2 x ? ? 4? ?

……66 分

? 3? ?? ? 2 sin? 2 x ? ? 在区间 [ , ] 上为增函数, 8 8 4? ?

在区间 [ 又 f?

3? 3? , ] 上为减函数, 8 4

? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1. ? ? 0, f ? ? ? 2 , f ? ? ? 2 sin? 4 ?8? ? 8 ? ? 4 ? ? 2 4?
? 3?
8 , 8 ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1。 …………12 分

故函数 f ( x) 在区间 [

19.解: (1) AB ? (?3,?4), AC ? (c ? 3,?4) , 当 c ? 5 时, AC ? (2,?4)

cos?A ? cos ? AC, AB ??

? 6 ? 16 5? 2 5

?

1 5
…………6 分

进而 sin ?A ? 1 ? cos ?A ?
2

2 5 5

(2)若 A 为钝角,则

AB? AC ? ?3(c ? 3) ? (?4)2 ? 0 ,解得 c ?

25 3

…………12 分

显然此时有 AB 和 AC 不共线,故当 A 为钝角时, c 的取值范围为 ( 20.解: (1)? l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,令 x ? 0 , 可得 y ? 3, y ? 0 ,可得 x ? 4 即 OA ? 4, OB ? 3

25 ,?? ) 3

? AB ? 32 ? 42 ? 5
? cos ?BAO ? AO 4 ? AB 5
……4 分

(2)设 | AC |? m, | AD |? n

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由 cos ?BAO ? 而 S ?AOB ?

4 3 , 得 sin ?BAO ? , 5 5

1 ? 3? 4 ? 6 2 1 1 3 1 1 ? S ?ACD ? mn sin ?BAO ? mn ? ? S ?AOB ? ? 6 ? 3 2 2 5 2 2 ? mn ? 10 …………8 分
又 CD ?

m 2 ? n 2 ? 2m ncos?CAD ? m 2 ? n 2 ? 2m n?

4 ? m 2 ? n 2 ? 16 5

? 2mn ? 16 ? 2 ?10 ? 16 ? 2 (当且仅当 m ? n 时等号成立)
…………12 分 ? 线段 CD 长度的最小值为 2 cos C 3a ? c ? 21.解: (1)由正弦定理及 , cos B b cos C 3 sin A ? sin C ? 有 ……2 分 cos B sin B 即 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B , 所以 sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B …………4 分

又因为 A ? B ? C ? ? , sin(B ? C ) ? sin A , 所以 sin A ? 3 sin A cos B , 因为 sin A ? 0 , cos B ?

1 ,又0 ? B ? ? , 3

所以 sin B ? 1 ? cos B ?
2

2 2 3

…………6 分
2 2

(2)在三角形 ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ? 又a ?c 所以有

2 ac ? 32 , 3

…………9 分

4 2 a ? 32, 即a 2 ? 24 [ 3

1 1 ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 ……12 分 2 2 3 13 A? B A? B 9 5 ,? sin 2 ? cos 2 ? 22.解: (1)?| a |? 5 5 2 2 5 13 1 ? cos( A ? B) 1 ? cos( A ? B) 9 ? ? 5 2 2 5
所以所求三角形的面积为 S ?

……2 分

?13cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B) ? 4 cos A cos B ? 9 sin A sin B,? cos A cos B ? 0

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? tan A tan B ?

4 9 4 ?0, 9

(2)由 tan A ? tan B ?

4 ……9 分 3 tan A ? tan B 9 tan C ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ? ? (tan A ? tan B) 1 ? tan A tan B 5 9 12 ? ? ? 2 tan A tan B ? ? 5 5 12 当且仅当 tan A ? tan B ,即 A=B 时, tan C 取得最大值 ? , 5 12 所以 C 的最大值为 ? ? arctan ,此时 ?ABC 为等腰三角形。…………12 分 5
知 tan A, tan B ? 0, tan A ? tan B ? 2 tan A tan B ?

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