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高一数学用二分法求方程的近似解教学设计


高一数学《用二分法求方程的近似解》教案
一、教学目标 1.知识与技能: 理解二分法的概念, 了解二分法是求方程近似解的常用方法, 掌握运用二分法求简单方程 近似解的方法。 2.过程与方法: 通过价格竞猜与线路维修体会二分法的思想; 通过学生的自主探究,借助计算器用二分法求方程的近似解,体现逼近思想,为学习算 法做准备; 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。 3.情感、态度与价值观 在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一 二、教学策略选择与设计 先行组织者策略:通过商品价格竞猜体会二分法的思想与方法。 启发式方法:通过分步提问,启发得出用二分法求方程近似解的步骤,体会逼近思想和 算法思想,分散难点。 讨论式: 学生自主探究用二分法求方程的近似解; 通过讨论交流总结用二分法求方程近 似解的步骤。 三、教学资源与工具设计 (1)教师自制的多媒体课件和手机一款 (2)上课环境是多媒体教室环境 (3)学生手中的高中数学必修 1 教材和计算器 知识点 二分法 思想 用二分 法求方 程的近 似解 二分法 的概念 学习 目标 体会 媒体 类型 实物 媒体内容要点 价格竞猜 教学 作用 突 破 难点 设 难 置疑, 引 起 思辨 建 立 概念 使用 方式 设 疑 - 讨 论 播 放 — 讨 论 — 总结 讨 论 - 概 括 - 播放 所得结论 体会二分 法的思想 用二分法 求方程的 近似解 理解二分 法的概念 占用 时间 8 分 钟 媒体来源 现有

理解

课件

用二分法求方 程的近似解

自制

理解

课件

二分法的概念

自制

用二分 法求方 程的近

理解 体会

课件

用二分法求方 程的近似解步 骤

归 纳 边 播 总结, 放、边 形 成 讲解
1

理解用二 分法求方 程的近似

自制

似解步 骤 用二分 法求方 程的近 似解 用二分 法求方 程的近 似解 掌握 课件 典型例题

方法

解步骤, 体会算法 思想 掌握用二 分法求方 程的近似 解 理解用二 分法求方 程的近似 解 理解二分 法 的 思 想、解题 步骤 40 秒 自制

提 供 边 播 示范, 放、边 正 确 讲解 操作 练 习 反馈 播放

理解

课件

变式训练

5 分 钟

自制

二 分 法 理解 的思想、 解题步 骤 四、教学过程

课件

小结

归 纳 讨 论 总结, - 播 复 习 放 巩固

1 分 钟

自制

一.复习旧知,创设情景,引入新课 师:大家上节课学习了方程的根与零点对吧,相信大家都掌握了,老师来考考大家啊。 (多媒体) 函数 f(x)=lnx+2x-6=0 在区间(2, 3)内有零点?怎么找到这个零点?有几种 方法? (看 30 秒左右) 师: (引导学生一起回答)有两种对吧,一,代数法,令 f(x)=0,求 x。二,数形结合,

f(x)=lnx+2x-6 有零点,等价于 f(x)=0 有实根,等价于 y=lnx 与 y=6-2x 有交点,画图
解答。 师: (手拿一款手机)中央电视台第二频道幸运 52 大家有看吧!我来当一回李永,价格在 1500 到 2500,你们来猜。想试一下的让我看到你们高高举起的手。结果 1799 元。 生 1:2000 师:高了 生:1300 师:低了 。 。 。 。 师:对了,此处是不是该有掌声啊。 (环顾教室,示意同学坐下) 师:刚刚我们先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个价格之 间的数;着其实就是采用逐步逼近的方 法。

二、讲解新课 师:那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢?
2

(多媒体)能否求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点? ①师生共同探讨交流,引出借助函数 f(x)= lnx+2x-6 的图象,能够缩小零点所在区间,并根 据 f(2)<0,f(3)>0,可得出零点所在区间(2,3); ②引发学生思考,如何进一步有效缩小零点所在的区间; ③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决; ④引发学生思考在有效缩小零点所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度。 学生简述上述求函数零点近似值的过程。 (通过自己的语言表达,有助于学生对概念的理解) (思考,解决。问题激励,语言激励) (生推导,师欣赏,鼓励学生,生口答,得出) 第一步:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084.因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 零点在区间(2.5,3)内. 第二步:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f (2.75)≈0.512. 因为 f(2.5)·f (2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. 结论:由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果

重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)

因为|2.5390625-2.53125|< 0.01 在区间(2.53125,2.5390625)内任何点的值与精确值的误差都 不超过 0.01, 所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解, 所以此函 数零点的近似解为 x=2.53125

3

揭示二分法的定义。 上述求函数零点近似值的方法叫做二分法,那么二分法的基本思想是什么? 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所 在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分 法 图像在区间[a,b]上连续不断的单调函数 f(x) ,在(a,b)上至多有一个零点。 例题分析 判断下列函数在(-2,2)上的零点个数 ① y=-2x;②y=3^x-10 两个函数都在(-2,2)上连续单调,画出图像易于理解。①经过(0,0)一个零点。 ② 单调递增,当 x=2 时,y 取最大值-1<0,都在 x 轴下方无零点。 强调定义注意点 1.用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f(a)f(b)<0 表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 2.给定精确度,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (1)确定初始区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度 (2)求区间(a,b)的中点 x1 将(a+b)/2 称为区间[a,b]的中点。

二分法求方程近似解的步骤探索 (1)求函数 f(x)的零点近似值第一步应做什么?(确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0) (2) 为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么? (求区间的中点 c, 并计算 f(c)的值 ) (3)若 f(c)=0 说明什么? 若 f(a)·f(c)<0 或 f(c)·f(b)<0 ,则分别说明什么? (若 f(c)=0 ,则 c 就是函数的零点;若 f(a)·f(c)<0 ,则零点 x0∈(a,c);若 f(c)·f(b)<0 , 则零点 x0∈(c,b).) 用二分法求函数零点近似值的基本步骤: 确定区间[a,b],使 f(a)·f(b)<0 ,给定精度ε ; 2. 求区间(a,b)的中点 c 3. 计算 f(c): (1)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (2)若 f(a)·f(c)<0 ,则令 b=c,此时零点 x0∈(a,c); (3)若 f(c)·f(b)<0 ,则令 a=c,此时零点 x0∈(c,b). 4. 判断是否达到精确度ε :若 |a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b) ; 否则重复步骤 2~4. 口诀(ppt)
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定区间,找中点, 中值计算两边看. 同号去,异号算, 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断

例题剖析 例 1:利用计算器,用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确度 0.1) 分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 解:原方程即 2 +3x=7 ,令 f(x)=2 +3x -7,用计算器作出函数 的对应值表与图象(如下): x f(x)=2x+3x-7 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142
x x x

因为 f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点 x0.取区间(1,2)的中点 x1=1.5, f(1.5)≈0.33. 因为 f(1)·f(1.5)<0,所以 x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点 x2=1.25,用计算器求得 f(1.25)≈-0.87,因此 f(1.25)·f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25,1.5),同理可得 x0∈(1.375,1.5), x0∈(1.375,1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精确度为 0.1 的近似解为 1.4375.

(多媒体)练习:

解析:利用二分法求方程的近似跟,就是通过不断将区间一分为二逐步逼近零点,但前提条 件是区间端点外的函数值应异号。 答案:B 点评:函数 f(x)在[a,b]上连续不断 f(a).f(b)<0,则在区间[a,b]上一定有零点。

5

例 2.下列函数图像与 x 轴均有交点,但不宜用二分法 求交点横坐标的是( B )

A

B

C

D

三、课堂小结 师:通过本节课的学习,你学习了哪些知识与方法?你有哪些收获? (生总结,并可以互相交流讨论,师投影显示本课重点知识)

四、布置作业

6


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