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数学论文:《高中课程标准实验教科书必修《数学1》(苏教版)教学问答》


高中课程标准实验教科书必修《数学 1》 (苏教版)教学问答
问:怎样理解集合的运算? 答:对象与集合的隶属关系以及集合的运算是“集合”这一章所研究的主要 内容. 对象与集合的隶属关系包括:元素与集合的属于关系和集合与集合之间的 包含 (子集) 关系. 集合的运算是由若干集合得到一个新集合的过程, “补” 包括 、 “交”“并”三种运算.把补集、交集、并集看作是集合运算的结果,使学生对 、 数学运算的含义有了新的认识. 新的运算对象和规则拓宽了学生的视野,为以后 学习新的数学运算作了铺垫. 在习题中, 通过阅读题给出了两个集合的差的运算, 这是补集概念和集合运算的延续,是对补集概念的再认识,让学生进一步体会集 合运算的含义,但不要求学生会求两个集合的差集. 问:怎样指导学生做写作题“用集合的语言介绍你自己”? 答:写作题是新教材的一大特色,这在以往的教材中从没有出现过.写作题 没有统一的要求, 主要是提供一种新的方式, 让学生根据对所学知识的掌握程度, 进行一次自我总结,给学生以充分的发挥空间.写作题“用集合的语言介绍你自 己” ,可以从学生的自然状况、个性品质、技能等方面入手,介绍自己的特征、 个性为元素的集合,以及元素与集合的关系等。例如,名字中汉字组成的集合、 名字的汉语拼音字母组成的集合、我的个性品质组成的集合等,如我∈{x|x 是名 字叫李明的人},我∈{x|x 是中国江苏省人}?{x|x 身高不低于 1.70cm 的人},我∈{x|x 是想拿诺贝尔的人}?{x|x 是登上珠穆朗玛峰的人}?{x|x 是在月球上生活的人}, 我∈ {x|x 是出生于农村的人}?{x|x 是出生于知识家庭的人}, 我∈{x|x 是每天打篮球的人}, 我的业余爱好组成的集合是{读书、画画、下围棋、弹钢琴、郊游、踢足球},我 ∈{x|x 是 2007 年 3 月 12 日××中学的高一男生},我∈{x|x 是缺乏自信的人}?{x|x 是 / 没有责任心的人}.我的座右铭∈{努力,坚持,勤于思考,做得更好},等等.不 要求学生过分讲究集合的数学含义. 问:在新课标的理念下,如何进行函数概念的教学? 答:学生在初学函数以及后续学习中,会遇到很多困难,这与教师在函数概 念的教学中所采用的教学方式有着密切关系. 以往教材的呈现方式和课堂讲授方 法,虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延,但由于函数概念本身的抽象性, 学生接受起来还是有较大的困难.新课标更多地强调在数学情境下,学生主动进
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行知识的建构. 函数概念的引入,需要教师创设符合学生实际的数学情境.从贴近学生实际 出发,教材中给出了三个具体的实例,供选择使用.三个例子分别用解析法、列 表法和图像法给出, 意在呼应下一节的三种表示法.教学中也可以结合所教班级 的实际再补充一些实例,如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等. 因为学生初中对函数已经有了初步的认识,进入高中后又学习了集合的概 念,函数的概念引入,可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始,可以设计 如下问题串: 问题 1:在上面的例子中,是否确定了函数关系?为什么? 问题 2:在上面的例子中,涉及哪些集合?其中的表格、表达式和图象的作 用是什么? 问题 3:如何用集合语言阐述几个实例共同特点? ① 你的结论是否正确地概括了例子的共同特征? ② 我们初中学习过的函数都有这样的特征吗? ③ 你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异? 在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上, 学习用集合与对应的语言 来刻画单值对应,领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应.“单值对 应”是函数对应法则的根本特征。 “箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到 另一个集合的方向性,应突出“输入”与“输出”的关系. 在构建函数的概念时, 要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系.建立 函数,必须交代定义域.但是,对定义域和值域不作过多技巧要求和训练. 在函数定义的教学过程中,需突出以下几点: ①集合 A 与集合 B 都是非空数集; ②对应法则的方向是从 A 到 B; ③强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词. 要注意发展学生的数感、 符号感.用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号

f(x)的意义:对应法则 f 对自变量 x 作用.应强调函数符号“y=f(x)”是“y 是 x 的
函数”的数学表示,它表示“f 对 x 作用得到 y” .应指出 f(a)与 f(x)既有区别又有 联系,f(a)是 f(x)在 x=a 的情况下的一个函数值,一般地,f(a)是一个特殊值,而 f(x)

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是一个变量. 现代信息技术的引入,为学生进一步体会、理解函数的本质,为求函数值、 作函数的图像,提供了新的行之有效的工具. 问:在新课程的理念下,如何引入“函数的奇偶性”? 答:与认识函数的单调性一样,认识函数的奇偶性也需要学生从图形的直观 感受上升到数量关系的精确描述. 因此, 需要利用我们熟悉的函数创设数学情境, 并逐步引导学生深入地认识. 可以在列举生活中的实例,感受自然界的对称美的 基础上, 再结合已经学过的图象具有对称性的函数,让学生认识到研究图象具有 对称性的函数成为必要. 问题 1:如何用数量关系来描述函数 y=x2 的对称性? (1)图象是由点组成的,如何描述函数 y=x2 图象上某一特殊点和其关于 y 轴对称的点之间的关系? (2)对其他的点,这一关系成立吗? (3)如何用数学语言精确地描述这一关系? (4)对其它的关于 y 轴对称的函数,也能类似地描述吗? 1 问题 2:你能否模仿研究函数 y=x2 图象对称性的过程,研究函数 y= 图象的

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对称性?你得到的结论适用于其它图象关于原点对称的函数吗? 在上述问题解决的基础上,抽象出偶函数与奇函数的概念. 也可以提出如下问题进行引入: 一般地,函数 y=f(x),x∈R 与函数 y=f(-x),x∈R 是不一样的,但有些特殊 的函数,y=f(x),x∈R 与函数 y=f(-x),x∈R 是一样的,即 f(-x)=f(x).同样,有 些特殊的函数,y=f(x),x∈R,函数 y=f(-x),x∈R 与函数 y=-f(x),x∈R 是一样 的.从而导出偶函数、奇函数的定义. 问: “映射”和“反函数”的处理,新教材和以前的教材有着明显的区别, 你能介绍一下新教材对这两个部分的教学要求吗? 答:以前的教材是用映射来定义函数,而新教材则把映射看成是函数概念的 推广.函数的对象只是数集,而一般映射的对象可以是任意集合.显然,现在的 处理是先特殊再一般, 其目的是考虑与初中知识的衔接,同时更符合学生的认知

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规律.映射中的问题背景和例子的安排,目的是先从学生身边说起,再抽象到一 般的字母,让学生体会到映射的一般性.值得注意是例题暗示了数字化的用意, 看似平常,却反映了人们在探索和发明中的聪明才智. 事实上,从数学的发展史上来看,是先有函数,再通过函数概念的一般化, 得到了更一般的对应关系——映射.因此映射比函数更抽象.相对而言,后一种 处理方法更符合学生的认知规律,而且和初中内容的衔接也比较自然. 新教材对映射的要求是: 了解映射的概念, 会借助图形帮助理解映射的概念, 并了解函数是两个非空数集之间的映射.因此,教学时应先从学生熟悉的对应入 手,选择生活中和数学中的“一对多”“多对多”“多对一”“一对一”的对应 、 、 、 实例,通过图示,引导学生观察比较,逐步归纳概括出映射的基本特征,辨析映 射和函数的关系. 需要特别指出的是,新教材中,没有涉及到象和原象的概念,更没有映射的 分类,不要拓宽和加深. 新教材降低了对反函数的要求, 只要求知道指数函数 y=ax 和对数函数 y=logax (a>0,a≠1)互为反函数,对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函 数以及求函数的反函数等均不作要求.教学中,可以让学生结合图象体会,不必 要对此作过多的研究,对有兴趣的学生,可以指导其阅读教材中链接的内容,结 合对数函数产生的背景,体会求一个函数的反函数的步骤. 问:教材在习题中提供了很多探究拓展的内容,比如在“映射的概念”这一 节的习题中提供了一个有关纽扣的阅读题,对这类习题如何处理? 答:习题中探索拓展内容设计的目的和要求,在教材前面的“致同学”中, 说明得很清楚.为了激发学生探索数学的兴趣,学生在掌握基本内容后,可以选 择一部分内容作探究, 不要求每个学生都能解决.因此需要教师根据学生的学习 情况,酌情选择、指导. 映射一节有关纽扣的问题,通过纽扣和扣眼的对应关系,不仅能使学生更加 形象地理解映射的概念, 而且感受了映射的分类,它让学生进一步体会到对应关 系充斥在我们周围. 这一问题的处理应根据学生的情况区别对待.对基础比较薄弱的学生,可以 让他们仿造该实例,举出生活中其它映射的例子;而对基础比较好的学生,既可
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以让他们对该实例中的两种形式的映射,作进一步的探究. 问:幂函数的内容曾一度从中学教材中删除,这次又回到了新教材中,对这 一部分的教学要求是什么? 答:幂函数是我们生活中既熟悉又陌生的一类函数模型,这是因为它普遍存 在于我们身边,有着广泛的实际应用;它的解析式虽然简单,但其性质却比较复 杂.新教材对幂函数的要求不高,只要求会画几个特殊的幂函数(y=x,y=x2,
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y=x ,y=x ,y=x2)的图象,并能通过图象了解它们的主要性质.
由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历,给出幂函数的概念后, 可以让学生画出五个幂函数的图象,根据图象,合作探究幂函数的性质. 至于指数的变化对幂函数图象和性质的影响, 有条件的学校, 可以利用 Excel、 几何画板等工具作动态演示,让学生有感性认识即可. 问:数据拟合是函数中的一个新内容,在以前的教材中从未涉及过,对这一 部分内容的教学要求是什么? 答:教材把数据拟合列为链接内容,有条件的学校可以选择使用.本节内容 主要通过实际问题说明数据拟合在预测、规划方面的应用,提高学生运用数学的 能力.常见的数据拟合有:直线型、抛物线、指数型、对数型.教学时,应通过 结合实例让学生体会不同函数类型增长的意义,并且让学生尝试利用 Excel 进行 数据拟合,理解并体会利用 Excel 进行数据拟合的步骤:输入数据、作散点图、 观察散点趋势、选择合适的模型、添加相应的趋势线、计算 R2 值、根据 R2 值对 选择的模型进行调整. 在选修教材中,还会系统学习直线型数据拟合——线性回 归.

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