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广东省广州市2016


广东省广州市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第一部分选择题(共 60 分) 一、 本大题共 12 小题,每小 题 5 分,满分 60 分. 1.设集合 A ? ? x, y ? y ? x 2 , x ? R , B ? ? ?x, y ? y ? 1, x ? R, y ? R?, 则 A ? B 用列举法可表示为( A.{-1,1}
1? i

?

?

) C.(-1,1),(1,1) D.{(-1,1),(1,1 )} ) D.3

B.{(-1,1)}

2.若复数 3 ? ai ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( A. ?

3 2

B.

3 2


C.-3

3. 若x ? R, 则x ? 0是x ? A.充分非必要条件

1 ? 3 的( x

B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要的条件

4. 下列说法中,正确命题的个数是(

①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适; ②用 R 来刻画回归的效果,R 的值越大,说明模型的拟合效果越好; ③比较两模型拟合效果,可比较残差平方和大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好. ④相关系数 r 的值越小,线性相关关系越弱 A. 1 B. 2
3
2 2

C.

3

D.

4 )

5. 已知函数 f(x ) ? 3x ? 4x A. -1
4

(0 ? x ? 1),则函数 f (x )的最大值为(
C. 1 ) D. ? D. 2

B. 0
3

6. 已知 sin( ? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? 的值为( A.

7 9

B.

5 9

C.

1 3

5 9

7.如图 2 所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形

?DAB ? ?ABC ? 90?.若PA ? 平面ABCD ,且主视图投影面与
平面 PAD 平行,则下列选项中可能是四棱锥 P—ABCD 的主视图的是( )

A

B

C

D
1

8.如图,在△ABC 中 ,D 在 AC 上,AB⊥BD,BC=3 则 CD 的长为( A. ) B. 4 C. 2

,BD=5,sin∠ABC=



A D. 5 B

D

C

9.右边所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成, 箭头将告诉你下一步到哪一个框图.阅读该流程图解决如下问题: 若 0 ? m ? 1, a ? m2、b ? 2m、c ? logm 2 ,则输出的数是( A. a B. b C. c D. a 或 c )

?1 ? 2?, ?1 ? 2 ? 2 2 ?, ?1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ?, ? 的前 99 项之和 , ?, 10. 数列 1
是( ) B. 2 99 ? 101 C. 2 100 ? 99 D. 2 99 ? 99

A. 2 100 ? 101

11.在等腰直角三角形 ABC 中,AC=BC=2,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,在△ABC
???? ???? (包括边界)内任取一点 P.则使 AN ? MP >0 的概率为(

). D.

A.

3 8

B.

5 8

C.

7 8

1 8

x 12.设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得

f ( x0 ) 0,则 a 的取值范围是(
A.[-



3 ,1) 2e

B. [-

3 3 , ) 2e 4

C. [

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

第二部分非选择题(90 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.某工厂经过技术改造后,生产某种产品 的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据,

x
y

3

4

5
4

6

2.5

3

4.5

据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的 斜率为 0.7 ,那么这组数据的回归直线方程是 .

2

14.复数 z 满足 Z ? 2i ? 1 .

设 z max ? m,

z min ? n ,则 m? n ?

.

15.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?? 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么,则在打出的前 120 个圈中, ●圈的个数是 16.已知双曲线 .

x2 y2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0)的离心率为 ,右焦点为 F,O 为坐标原点,以 OF 2 2 a b

为 直 径 的 圆与 双 曲线 的一 条 渐 近 线交 于点 O 、 A 两 点 , 若三 角形 AOF 的 面 积 为 1 , 则 a= .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a 7 ? ?9, S 9 ? ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

99 . 2

3 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,求证: Tn ? ? . 4 2S n

18. 某旅行社为调查市民喜欢“自然景观” 景点是否与年龄有关,随机抽取了 55 名市民, 得到数 据如下表: 喜欢 大于 40 岁 20 岁至 40 岁 合计 20 10 30 不喜欢 5 20 25 合计 25 30 55

(1) 请用独立性检验的方法判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关? (2) 用分层抽样的方法从喜欢“自然景观” 景点的市民中随机抽取 6 人作进一步调查,将这 6 位 市民作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 位“大于 40 岁” 的市民和 1 位“20 岁至 40 岁” 的市民的概率. 下面的临界值表供参考:

p( k 2 ? k )

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

1 9. (本题满分 12 分) 边长为 2 的正 ?ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G, 已知 ?A ED 是 ?AED 绕边 DE 旋转过程中的一个图形
'

A' _

B
F _

D _ __ G j

A _

(其中: A? ? 平面ABC ). (1)证明:恒有 平面A?GF ? 平面BCED ; (2)求直线 A?E 与 AB 垂直时三棱锥 A? ? ADE 的体积

E _

C _

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P ( 4 , 4 ) ,圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1) ,F1、F2 分别是椭圆 a 2 b2
y P

A F2

的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.
F1 O C Q x

(1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ? ???? (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x , x
4

(1)求函数 f(x)的最大值. (2)若a>0,求函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值.

22.(本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 2x ?1 ? x ?1 ? a . (1)当 a ? 3 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

5

2016 学年(下)高二级期中考试?文科数学 参考答案 二、 本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1-12 DCBC CBDB BABD 14. 3 15. 14

二. 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分) 13.? y ? 0.7 x+0.35 16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

?2a1 ? 6d ? ?9 ? 17 解: (Ⅰ)设数列{an } 的公差为 d ,则由已知条件可得: ? 99 ,?2 分 9a1 ? 36d ? ? ? 2 ? 3 ? ?a1 ? ? 解得 ? 2, ? ?d ? ?1
于是可求得 a n ? ?

????4 分

2n ? 1 . ???6 分 2

(Ⅱ)因为 S n ? ? 故 bn ? ? 于是 Tn ? ? [(1 ?

n ( n ? 2) , ???8 分 2
???10 分

1 1 1 1 ?? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n?2

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 ? ? ??? ? ) ? ( ? ? ? ??? ? )] ? ? ( ? ? ) . 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2
??11 分

又因为

3 3 3 1 1 ? ,所以 Tn ? ? . ? ? 4 2 n ?1 n ? 2 2

????????????12 分

18.解析: (1)假设喜欢“自然景观” 景点与年龄无关??1 分

由公式

, ??5 分

所以可以认为有

的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关?6 分

(2) 设恰有 1 名“大于 40 岁” 和 1 名“20 岁至 40 岁” 之间的市民为事件 A, 设所抽样本中有 个“大于 40 岁” 市民,则 ,得 人?7 分

所以样本中有 4 个“大于 40 岁” 的市民,2 个“20 岁至 40 岁” 的市民,分别记作 ,从中任选 2 人的基本事件有:
6

共 15 个, ??9 分 其中 A 事件的基本事件有 个,?10 分 所以 p(A ) ? 共8

8 ,故恰有 1 名“大于 40 岁” 和 1 名“20 岁至 40 岁” 之间的市民的概率为 15

p?

8 ?12 分 15

19 解析:(1) 旋转过程中恒有 DE⊥FG,DE⊥ A?G ,???2 分

A' _

A?G ? FG ? G ,???3 分
B ∴DE⊥平面 A?GF ,???4 分
D _ G _ j _ F _ E _

H O

A _

C _

又 DE ? 平面BCED ,

? 恒有平面A'GF ? 平面BCED .???5 分
(2) ? 平面A GF ? 平面BCED ,由 A? 引 AF 的垂线,垂足为 O
'

可得 A?O ? 平面ADE ???6 分

? A?O ? AB ,又 A?E ? AB , A?E ? A?O ? A? ,? AB ? 平面A?EO ???8 分
故 AB ? EO ,延长 EO 交 AB 于 H, 则 H 为 AD 的中点,???9 分 故 O 为正三角形ADE的 中心, 可得三棱锥 A? ? ADE 是棱长为1的正四 面体???10 分 计算得: A?O ?

A?E 2 ? OE 2 ? 1 3

6 3 , ?ADE的面积为 ???11 分 3 4 3 6 2 ? ? ???12 分 4 3 12

故三棱锥 A? ? ADE 的体积为 ?

7

20. 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1.????1 分 则圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 . 设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5 .????3 分

解得 k ?

11 1 11 36 , 或k ? ,当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 2 2 11 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,????5 分 2

当 k=

∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) .2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,
x2 y 2 ? ? 1. 18 2 ??? ? ?? ? ? (Ⅱ)方法一: AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1

a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为:

????7 分 ,????8 分

??? ? ???? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .????9 分

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , 18 2

而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. ????11 分 则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].

??? ? ???? x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].??12 分 ??? ? ?? ? ? 方法二: AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x ( ?, 3 y ? ) 1
.∵ ,

x2 y 2 ? ? 1 ,故可设 x ? 3 2 cos? , y ? 2 sin ? ( ? ? R ) 18 2 ??? ? ???? ? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 = 3 2 (cos? ? sin ? ) ? 6 = 6 sin(? ? ) ? 6

? ?1 ? sin(? ?

?
4

) ? 1, ? ?12 ? 6 sin(? ?

?
4

4

)?6?0,

??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0]
方法三:几何法????

21. 解析: (1)∵ f ( x ) ?

ln x 1 ? ln x ,? f ?( x) ? x x2

-----1 分

当 x ? (0,e) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)在区间

(0, e) 单调递增;

8

当 x ? (e,+ ?) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)在区间 (e,??) 单调递减; -----3 分 故∴当 x ? e 时 , [ f ( x)]max ? (2)①当 4a ? e 即 0< a ?

1 . e -----4 分

e 时,由(1)可知此时函数 f(x)在区间 [2a,4a] 单调递增;函数 f(x)在区 4
-----6 分

间[2a,4a]上的最小值为 f(2a) ②当 2a ? e 即 a ?

e 时,由(1)可知此时函数 f(x)在区间 [2a,4a] 单调递减;函数 f(x)在区间[2 2
-----8 分

a,4a]上的最小值为 f(4a) ③ 2a ? e ? 4a 即

e e ? a ? 时,由(1)可知此时函数 f(x)在区间 [2a, e] 单调递增;在区间 [e,4a] 单 4 2

f(4a)} 调递减,函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 min{f(2a), ----10 分

ln2a ln4a ln4a2 - ln4a lna f(2a)- f(4a) ? ? ? ? , 2a 4a 4a 4a -----11 分
e ? a ? 1 时 lna ? 0 ,f(2a) ? f(4a), 此时函数 f(x)在区间 [2a, 4a] 上的最小值为 f(2a) ---12 4


1? a ?


e 时 lna ? 0 ,f(2a) ? f(4a)此时函数 f(x)在区间 [2a, 4a] 上的最小值为 f(4a) -----13 2
ln4a . 4a

综上可知: a ? 1 时函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(4a)=

0 ? a ? 1 时函数 f(x)在区间[2a,4a]上的最小值为 f(2a)=

ln2a . -----14 分 2a

22. 解析: (Ⅰ)由题意可得: 2x ?1 ? x ?1 ? 3 ,

1 1 时, ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? ; ????????2 分 2 2 1 5 1 当 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ? 即 ? x ? 1 ;????????3 分 2 3 2
当x? 当 x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即1 ?

x?3

????????4 分

? 该不等式解集为 ?x ? 3 ? x ? 3?. ????5 分
(Ⅱ)令 f ( x) ? 2x ?1 ? x ?1 ,有题意可知: a ?

f ( x)min ????????7 分
9

1 ? ? x , x ? ? 2 ? 1 ? 1 又 f ( x ) ? ?3 x ? 2, ? x ? 1 ? f ( x) min ? ? ,????????9 分 2 2 ? x, x ? 1 ? ? ?

1 ?a ? - . 2

????????10 分

10


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