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《1.3.2函数的极值与导数》教学案1


《1.3.2 函数的极值与导数》教学案 1 一、教学目标:理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进 一步体验导数的作用. y f(a) 二、教学重点:求函数的极值. 教学难点:严格套用求极值的步骤. O f (b) O b x a x 三、教学过程: (一)函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线 a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大.b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小. y f(0) 2、观察函数 f(x)=2x -6x +7 的图象, 思考:函数 y=f(x)在点 x=0,x=2 处的函数值,与它们附近所有各点 处的函数值,比较有什么特点? (1)函数在 x=0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大, 我们说 f(0) 是函数的一个极大值; (2)函数在 x=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小, 则 f(2)是函数的一个极小值. 函数 y=2x3-6x2+7 的一个极大值: f (0); 一个极小值: f (2). 3 2 6 4 2 2 O x f(2) 函数 y=2x3-6x2+7 的 一个极大值点: ( 0, f (0) ); 一个极小值点: ( 2, f (2) ). 3、极值的概念: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)< f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0); 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f (x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0). 极大值与极小值统称为极值. 4、观察下图中的曲线 考察上图中,曲线在极值点处附近切线的斜率情况. f '(a)=0 f '(x)>0 O y f '(x)<0 -1- f '(x)<0 f '(b)=0 O f '(x)>0 a x b x 上图中,曲线在极值点处切线的斜率为 0, 极大值点左侧导数为正,右侧为负;极小值点左侧导数为负,右侧为正. 函数的极值点 xi 是区间[a, b]内部的点,区间的端点不能成为极值点. 函数的极大(小)值可能不止一个,并且函数的极大值不一定大于极小值,极小值不一定小 于极大值. 函数在[a, b]上有极值,其极值点的分布是有规律的,像相邻两个极大值间必有一个极小 值点. 5、利用导数判别函数的极大(小)值: 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x)<0,那么,f(x0)是极大值; ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么,f(x0)是极小值; 思考:导数为 0 的点是否一定是极值点? 导数为 0 的点不一定是极值点. 如函数 f(x)=x3,x=0 点处的导数是 0,但它不是极值点. 函数f ( x )的定义域为开区间 (a,b),导函数f ' ( x )在(a,b)内的函数 图像如图,则函数f ( x )在开区间(a,b)内存在极小值点 个. 例 1 求函数 y ? 1 3 x ? 4 x ? 4的极值 . 3 解:y?=x2-4=(x+2)(x-2).令 y?=0,解得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时,y?,y 的变化情况如下表. 10 y x (-∞, -2) + y? y -2 (-2, 2) 2 (2, +∞

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