《1.3.2函数的极值与导数》教学案1

《1.3.2 函数的极值与导数》教学案 1 一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进 一步体验导数的作用. y f(a) 二、教学重点：求函数的极值. 教学难点：严格套用求极值的步骤. O f (b) O b x a x 三、教学过程： （一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线 a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大．b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小． y f(0) 2、观察函数 f(x)＝2x －6x ＋7 的图象， 思考：函数 y＝f(x)在点 x＝0，x＝2 处的函数值，与它们附近所有各点 处的函数值，比较有什么特点? （1）函数在 x＝0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说 f(0) 是函数的一个极大值； （2）函数在 x＝2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 则 f(2)是函数的一个极小值． 函数 y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)． 3 2 6 4 2 2 O x f(2) 函数 y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念： 一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＜ f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)； 如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＞f (x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线 考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况． f '(a)＝0 f '(x)＞0 O y f '(x)＜0 -1- f '(x)＜0 f '(b)＝0 O f '(x)＞0 a x b x 上图中，曲线在极值点处切线的斜率为 0， 极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点 xi 是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点． 函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小 于极大值． 函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小 值点． 5、利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的方法是： ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＞0，右侧 f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值； ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＜0，右侧 f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值； 思考：导数为 0 的点是否一定是极值点？ 导数为 0 的点不一定是极值点． 如函数 f(x)＝x3，x＝0 点处的导数是 0，但它不是极值点． 函数f ( x )的定义域为开区间 (a，b)，导函数f ' ( x )在(a，b)内的函数 图像如图，则函数f ( x )在开区间(a，b)内存在极小值点 个. 例 1 求函数 y ? 1 3 x ? 4 x ? 4的极值 . 3 解：y?＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y?＝0，解得 x1＝－2，x2＝2． 当 x 变化时，y?，y 的变化情况如下表． 10 y x (－∞, －2) + y? y －2 (－2, 2) 2 (2, +∞