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广东省惠来二中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版


惠 来 二 中 2013-2014 学 年 度 第 一 学 期 高 二 级 期 末 考 试 文 科 数 学
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1、命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ,则 ? p 是 A. ?x ? R, x2

? 1 ? 1 C. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 1 2、 如果 a ? b ? 0 , 那么(
2





B. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 D. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 1 )
2

A. a ? b ? 0

B. ac ? bc

C. a ? b
2

2

1 1 ? D. a b
( )

0 0 3、 在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , C ? 30 , c ? 5 ,则 a ?

A. 5

B. 10

C. 5 3

D. 5 6 ( )

4、等差数列 ?an ? 中, a4 ? 1 , a8 ? 8 ,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64

?x ? y ? 1 ? 5、若 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? y ? ?2 ?
A.5 B.3 C.7 D.-8



6、 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 ()

?
A.

1 4
4

1 B. 4
2

?
C.

2 3

2 D. 3


7、已知曲线 y ? x ? ax ?1在点? ?1 ,a ? 2? 处切线的斜率为8,a= ( A. 9 B. 6 C. -9 D. -6 ) D. 2 2

8、正数 x, y 满足 2x?y?1,则 A.3 B. 2

1?1 的最小值为( x y
C. 3 ? 2 2

1

9、通项公式为 an ? A.7

9 2 的数列 ?an ? 的前 n 项和为 , 则项数 n 为 5 n(n ? 1)
B.8 C. 9 D.10

10、如图, F1、F2 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,过点 F2 作 AB⊥x 轴交椭圆于 A、B a 2 b2


两点,若 ?F1 AB 为等腰直角三角形,且 ?AF 1B ? 90? ,则椭圆的离心率是( A. 2 ? 1 C. 3 ? 2 2

B.

2 2
F1

y

A

D. 2 ? 2

O

F2

x

B

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
2 11、若抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =__;(2 分)准线方程为_

_.(3 分)

12、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是
2 2

. .

13、若命题 p: ?x ? R ? ax ? 4x ? a ? ?2x ? 1 是真命题,则实数 a 的取值范围是

3 14 、 设 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 , 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 的 方 法 , 可 求 得

ff ((? ?4 4))? ?? ?? ? ff ((0 0) )? ?? ? ? ff ( (5 5) )? ? ff ( (6 6) ) 的值为: ... ?

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , b ? (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 b ?

2a sin B .

6 , c ? 3 ? 1,求 a .

2

16、(本小题满分 12 分) 设 x ? 1 与 x ? 2 是函数 f ?x? ? a ln x ? bx2 ? x 的两个极值点. (Ⅰ)试确定常数 a 和 b 的值; (Ⅱ)试判断 x ? 1, x ? 2 是函数 f ?x ? 的极大值点还是极小值点,并求相应极值.

17、(本小题满分 14 分) 已知等差数列 (Ⅰ)若 (Ⅱ)若

{an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n .

1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围.

18、(本小题满分 14 分)

设 F1 ,F2 分别为椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的左右焦点。

(Ⅰ)设椭圆 C 上的点 A?1 , ? 到两焦点的距离之和为 4,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是(1)中椭圆上的一点,∠F1PF2=60°求△F1PF2 的面积.

? ?

3? 2?

3

19、(本小题满分 14 分) 已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间;

20、(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 , 4 4

设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn
4

? an ? bn 。

(Ⅰ)求证: {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

惠 来 二 中 201 3- 20 14 学 年 度 第 一 学 期 高 二 级 期 末 考 试 文 科 数 学 参考答案 一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 9 C 10 A 二、 填空 题:

共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

4

11. 2 , x ? ?1 13. ?2,???

? ?) 12. [ ,
14.11.

1 e

三、 解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15、(本小题满分 12 分) 解:(1)由 b ?

2a sin B ,根据正弦定理得

sin B ? 2 sin A sin B ,…………………3 分
因为在三角形中 sin B ? 0 所以 sin A ?

2 ,…………………5 分 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 A ? (2)根据余弦定理,得

?
4

.…………………6 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A …………………8 分
? 6 ? (4 ? 2 3 ) ? 2 ? 6 ? ( 3 ? 1) cos
所以: a ? 2 .…………………12分 16、(本小题满分 12 分)

?
4

? 4 …………11 分

--------------2 分

5

17、(本小题满分 14 分) 解:(1)因为数列 所以

{an } 的公差 d ? 1 ,且 1, a1 , a3 成等比数列,

a12 ? 1? (a1 ? 2) , 即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 . ---------7 分

(2)因为数列 所以 解得

{an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 ,

5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 ; 即 a12 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,--------------12 分

?5 ? a1 ? 2 ----------14 分

18、(本小题满分 14 分) 解:(1)依题意得: 2a ? 4 ,则 a ? 2 ……….2 分.

x 3 又点 A( 1, ) 在椭圆 C: 2 a 2
则有 b ? 3
2

2

y2 ? 2 b

=1 上,则

1 9 ? 2 ? 1 ………4 分 4 4b

…………………5 分

所以所求椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ………………6 分 4 3

2 2 2 (2)因 c ? a ? b ,所以 c ? 1 …………….7 分

而 | F1 F2 |? 2c ? 2 ………………………8 分 令 | PF 1 |? m , | PF2 |? n ,则 m ? n ? 2a ? 4 ………….9 分 在 ?PF 1 F2 中∠F1PF2=60°,由由余弦定理得:

?| F1 F2 |?2 ? m2 ? n 2 ? 2mncos600
所以 S ? PF1F ?
2



mn ? 4 .........12 分

1 mn sin 60 0 ? 3 …………14 分 2

19、(本小题满分 14 分)
3 2 2 解:(Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 2x ? 1

………2 分

∴ k ? f ?(1) ? 4 ,

又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) …………5 分

∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a)
2 2

6

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ? (1) 当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 , 得 ?a ? x ?

a 3

…………7 分

a . 3

a -------------------------9 分 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) .……10 分 3 3
由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ? (2) 当 a ? 0 时,

a ? x ? ?a . 3 a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a -------------------------------12 分 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) .------13 分 3 3 a a 综上: 当 a ? 0 时,f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) , 单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) ; 当a ? 0 3 3 a a 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a) 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) ---14 分 3 3
由 f ?( x) ? 0 ,得 20、(本小题满分 14 分) 证明:(1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ……………………1 分
n

1 4

1 ? bn ? 3 log 1 an ? 2 ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 , 4 4 4
? b1 ? 3 ? 2 ? 1 ……………2 分

bn?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? 3n ? 2 ? 3 ……………3 分
∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列……………………4 分 (2)解:由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) …………………………5 分 4
? S n ? 1? 1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 …6 分

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 ……………7 分
两式相减得

3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4
7

?

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 ………………………8 分

? Sn ?

2 12 n ? 8 1 n ?1 ? ? ( ) (n ? N *) ……………………9 分 3 3 4 1 n ?1 1 n (3)? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4
1 ? 9(1 ? n) ? ( ) n ?1 , (n ? N *) 4 …………10 分
∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1 4 …………………11 分

n ? 2时,c

n ?1

? cn 即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ... ? cn
1 4 ………………12 分

∴当 n=1 时, cn 取最大值是 又 cn ?

1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 4

1 1 ? m2 ? m ?1 ? 4 4 ……………………13 分
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ……………………14 分
2

8


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