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2015年北京高考之一轮复习技巧(数学)


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2015 年北京高考之一轮复习技巧--------------------数学
思想:随着北京高考偏向简单,难题逐渐减少,中等及中等偏上题目 增多,而一轮复习的主要任务是巩固基础,基础分逐渐升到了首位, 数学一共分为 5 本必修 5 本选修(2-1 2-2 2-3 4-1 4-4)首先我们从必 修一入手 第一章 集合 1.经典再


(1)已知集合 A ? ??1, 0, 1? , B ? ?x | ?1≤ x ? 1? ,则 A A. ?0?
0? B. ??1,
B?

C. ?0 , 1?

D. ??1, 0, 1?

答案:B 这是 2013 年北京高考题,主要考了交集
1. 已知集合 A= A{0} 答案:B

?x|x2-2x=0?
B {0,1}

, B={0,1,2} ,则 C{0,2}

A∩B (

) D{0,1,2}

这是 2014 年北京高考题同样考的是交集

2.易错难点 很多同学在集合这里的子集中总是丢失空集的讨论 重点:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

第二章 函数 这一章主要是说明了指对幂三大函数, 还有映射等等, 考点为指数函
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数和对数函数还有幂函数。 一般在高考中会结合导数来考 例如
(18) (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C : y ?

ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线. x

(Ⅰ )求 l 的方程; (Ⅱ )证明:除切点 ?1,0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方. 这是 2013 年北京高考题, 易错点分析(忘记讨论 ln 的定义域)

通过函数我们会联想到三角函数, 而 2014 年高考出乎意料 18 题考查 了三角函数求导, 这些对于高二学生应该不会太陌生, 因为作业经常 做, 而高三的一些只记死方法不会活学活用的同学很是吃亏, 你不妨 来试一下,下面这道题! !
已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2

?

(1)求证: (2)若 a ?

f ( x) ? 0 ;
sin x ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的学科网最大值与 b 的最小值. 2 x

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解析:
(18) (共 13 分) 解: (I)由 f ( x) ? x cos x ? sin x 得
f ' (x ) ? c ox s? x s ix ? n
因为在区间 (0, 减。 从而 f ( x ) ? f (0) ? 0 。

cx o ? s? x 。 s xi n

?
2

) 上 f '( x) ? ? x sin x

? ?? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ?0, ? 上单调递 ? 2?

( Ⅱ )当 x “ sin x ? bx

0 时, “
0” 。

sin x x

a ”等 价于“ sin x ? ax

0” “

n s i x

x

b ”等价于

令 g ( x) ? sin x ? cx ,则 g '( x ) ? cos x ? c , 当 c ? 0 时, g ( x)
0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2

?

? 当 c ? 1 时,因为对任意 x ? (0, ) , g '( x ) ? cos x ? c 2
? ?? 上单调递减。从而 g ( x) 0, ? ? 2? ?
当0

0 ,所以 g ( x) 在区间

g (0) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2

?

c

1 时,存在唯一的 x0 ? (0, ) 使得 g '( x0 ) ? cos x0 ? c ? 0 。 2

?

g ( x) 与 g '( x ) 在区间 (0, ) 上的情况如下: 2

?

x
g '( x )
g ( x)

(0, x0 )



x0
0

( x0 , ) 2 →

?


“ g ( x) g (0) ? 0 。进一步,

因为 g ( x) 在区间 ?0, x0 ? 上是增函数,所以 g ( x0 )
任意 x ? (0,

0对

? ? 2 ) 恒成立”当且仅当 g ( ) ? 1 ? c ? 0 ,即 0 c ? , 2 2 2 ? 2 ? g ( x) 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立; 综上所述, 当且仅当 c ? 时, 当且仅当 c ? 1 ? 2 时,
?

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0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 ? 2 sin x b 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则 a 最大值为 ,b 的最小值 所以,若 a 2 x ? 为 1. g ( x)

?

函数最经典的高考题型要数线性规划:
? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的学科网最小值为-4,则 k 的值为( ? y?0 ?
A.2 B. ? 2


C.

1 2

D. ?

1 2

(2014 年北京高考题) 答案:D 第三章 向量 今年北京高考出了非常坑爹的一道题放眼望去像空间向量仔细看看 却不是,而且出在选择题倒数第二道 这道题是: ! ! ! ! !
7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? , D 1,1, 2 ,若

?

?

S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标学科网平面上的正投影
图形的 面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

其实这道题考的是三视图,应该也坑了不少考生

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第四章立体几何 立体几何在高考中考一道大题, 这道题一般同学会把它当成空间向量 计算题,显然这也是对的,例如 14 年高考题
17.(本小题 14 分)

B, C 分别为 AM , MD 的中点, 如图, 正方形 AMDE 的边长为 2, 在五棱锥 P ? ABCDE
中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

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解完这道题你会发现时间用去了好长,这是正常的下面看一下解析 解: (I)在正方形中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB ∥ DE 。 又因为 AB ? 平面 PDE, 所以 AB ∥平面 PDE, 因为 AB ? 平面 ABF,且平面 ABF 平面 PDF ? FG ,

所以 AB ∥ FG 。 (Ⅱ)因为 PA ? 底面 ABCDE,所以 PA ? AB , PA ? AE . 如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0, 0, 0) ,
B(1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0, 2) , F (0,1,1) ,

BC ? (1,1, 0) .
设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ?n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? n ? AF ? 0, ? y ? z ? 0. ? ?

令 z ? 1, ,则 y ? ?1 。所以 n ? (0, ? 1,1) ,设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则
n ? BC n BC 1 。 2

sin a ? cos n, BC ?

?

因此直线 BC 与平面 ABF 成角为 30 度 设点 H 的坐标为 (u, v, w). 。 因为点 H 在棱 PC 上,所以可设 PH ? ? PC(0 ? 1), , 即 (u, v, w ? 2) ? ? (2,1, ?2). 。所以 u ? 2? , v ? ? , w ? 2 ? 2? 。 因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 n ? AB ? 0 ,即 (0, ?1,1) ? (2?, ?, 2 ? 2? ) ? 0 。 解得 ? ?
2 4 2 2 ,所以点 H 的坐标为 ( , , ). 。 3 3 3 3

4 2 4 所以 PH ? ( )2 ? ( )2 ? (? )2 ? 2 3 3 3

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第五章圆锥曲线 本章为高考最为坑爹的考点要费好长时间才能做完 例如
19.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明学科网你的结论.

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解析(19)
解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1。 4 2

所以 a2 ? 4, b2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 。因此 a ? 2, c ? 2 。 故椭圆 C 的离心率 e ?
c 2 。 ? a 2

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?
t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

2 y0 。 x0

当 x0 ? t 时, y0 ?

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心 0 到直线 AB 的距离
d? 2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ?
2 x0 ? d? 2 y0 2 x0

2 y0 故 x0
4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

4y 2 x0 2 ? y0 2 ? 0 ?4 x0 2

?

? 2

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。

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第六章解三角形 自从 13 年将往年常考的三角函数改成解三角形, 这个一直火了两年, 不知道还会继续火下去否,14 年出的这有种让人想吐的感觉,我们 熟知的 30 60 37 度没有了,一下子冒出个 1/7,亲来尝试下面这道题
15. ( 本 小 题 13 分 ) 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?B ?

?
3

, AB ? 8 , 点 D 在 BC 边 上 , 且

CD ? 2, cos ?ADC ?
(1)求 sin ?BAD

1 7

(2)求 BD, AC 的长

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解析(15) (共 13 分)

解: (I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ?

1 4 3 ,所以 sin ?ADC ? 。 7 7

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B)
? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得
3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7

在 ?ABC 中,由余弦定理得
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B
? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ? 1 ? 49 2

所以 AC ? 7

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