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江苏省泰州市2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题 Word版


2014-2015 学年度第一学期期末考试高二数学试卷
(考试用时:120 分钟 满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定为 2.双曲线 ▲ ▲ ▲ ▲ . . .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线方

程为 2 2

3. 曲线 y ? x3 ? 1 在 x ? 1 的切线方程为

4.已知圆锥曲线的母线长为 5,底面圆半径为 3,那么它的体积为 5.已知函数 f ( x) ? x ?

a 在 [1, ??) 上单调递增,则实数的取值范围为 x
▲ .

6.若动圆 M 经过点 (1, 0) ,且与直线 x ? ?1 相切,则圆心的轨迹方程为 7.下列 4 个命题

①“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”的逆否命题
2

③若 f ( x ) 存在导函数,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x0 为 f ( x ) 的极值点”的充要条件 ④直线 l1 不再平面 ? 内,直线 l2 在平面 ? 内,则 l1 / /? 是 l1 / / l2
2 2 2 2

的必要不充分条件 ▲ . .

8.若两圆 ( x ? m) ? y ? 4 , ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 相内切,则实数 m ?

BF x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,椭圆右顶点 B 到 l 的距离为 d ,则 9.椭圆 的值为 ▲ d 9 5
10.若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1的两个交点关于 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 2k ? b 的值为 11.已知直线 m, n ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , n ? ? ,给出下列命题: ①若 ? / / ? , ,则 m ? n ; ②若 ? ? ? , ,则 m / / n ; ③若 m ? n ,则 ? / / ? , ; ④若 m / / n ,则 ? ? ? , ;其中正确命题的个数是 ▲ . ▲

12. C 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上位于第一象限内的点, A, B 分别是椭圆的左顶点和上顶点, F 是 a 2 b2
. .

椭圆的右焦点,且 OC ? OF , AB / /OC ,则该椭圆的离心率为 ▲ 13.若曲线 y ?

1 与直线 y ? a 恰有一个公共点,则实数 a 的取值范围为 ▲ x ln x

14 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F ,直线 l 与曲线 x2 ? y 2 ? 4( x ? 0) 相切,且交椭圆 E 于 A, B 两点,记 5 4
.

?FAB 的周长为 m ,则实数 m 的所有可能取值所成的集合为 ▲

二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 过两点 A(0, 4), B(4,6) ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上。

(1) 求圆 C 的标准方程; (2)求直线 l :15 x ? 8 y ? 0 被圆 C 截得的弦长.

16. (本小题满分 14 分) 已知命题 p : 方程 x2 ? y 2 ? 2mx ? 2m2 ? 2m ? 3 ? 0 表示圆; 命题 q : 函数方程 f ( x) ? 在 R 上单调递增 (1) 若命题 p 为真命题,求实数的 m 取值范围 (2) 若命题 p 和命题 q 中有且只有一个为真命题,求实数的 m 取值范围

1 3 1 2 x ? mx ? x ? 1 3 2

17. (本小题满分 15 分) 如 图 , 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 CDEF 为 正 方 形 , 四 边 形 A B C D 为等腰梯形,

AB / /CD, AC ? 3, AB ? 2BC ? 2, AC ? FB
(1) 求证: AC ? 平面FBC (2)若 M 为线段 AC 的中点,求证: EA / / 平面FDM

M

18. (本小题满分 15 分) 如图,已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离为 50km,B、C 间的距离为 100km,从 A 到 C,必须先坐船到 BC 上某一点 D,船速为 25km/h,再乘汽车,车速为 50km/h.
c

设∠BAD=θ 。记∠BAD= ? ( ? 为确定的锐角,满足 tan ? ?

1 2

(1) 试将由 A 到 C 所用时间 t 表示为θ 的函数 t(θ ) ,并指出函数的定义域; (2)问θ 为多少时,使从 A 到 C 所用时间最少?并求出所用的最少时间.

19. (本小题满分 16 分)

设函数点 f ( x ) ?

x ex

(1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 的单调区间 (2)若关于 x 的不等式 ln x ? f ( x) ? c 有解,求实数 c 的最小值

20. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,椭圆过 (2, 2) 且离心率为 , 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2) A 为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点, B 与 A 关于原点 O 对称,直线 AF 交椭圆于另外一点 C ,直线 BF 交椭圆于另外一点 D , ① 直线 DA 与直线 DB 的斜率之积 ② 直线 AD 与直线 BC 的交点 M 是否在一条直线上?说明理由

y _

O _ B _

_ A F_ _ _ C

_ D x _ M _

2014~2015 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(文科)参考答案
1. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 (无等号为错误) 2. y ? ? x 3. y ? 3 x ? 1 (或写为 x ? y =0 ) (或写为 3x ? y ? 1 ? 0 )

4. 12? 5. (—∞,1] (或写为 a ? 1 ,无等号为错误) 6. y 2 ? 4 x 7.①④ 8. 0 或 ? (也可写为 4x ? y 2 ? 0 )

2 5

2 3 10. ?3 11. 2
9. 12.

6 3

解析:设点 C (x0, y0 ) ,则有

B C

ac ? ? x0 2 ? y0 2 ? c 2 ? x0 = 2 a ? b2 ? ? , 解得 ? ? y0 b ?x ? a ? y = bc 0 ? 0 ? a 2 ? b2 ? 代入椭圆方程得: a 2c 2 b2c 2 a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1, 整理得: a2 b2 2c 2 =a 2 ? b 2,又a 2 =b 2 +c 2,有

A

O

F

2 6 2c 2 =a 2 +a 2 ? c 2 ,? e 2 ? , 又0 ? e ? 1, 解得 e ? 3 3
13.

{?e} U (0, ??)

解析:

函数定义域为(0,1)( 1, +? ) ?(ln x ? 1) 1 y? ? =0,解得:x ? 2 (xlnx) e 1 当x ? (0, ),y? ? 0, e 1 当x ? ( ,1),y? ? 0, e 1 1 1 ?y ? 在(0, )上递增,在( ,1)上递减, x ln x e e 在(0,1)上有最大值ymax = ? e 当x ? ( 1, ??),y? ? 0, 此时y ? 又 1 在( 1, ??)上递减, x ln x 1 x ? 1, ln x ? 0, 所以y ? ? 0, x ln x
1 图像恰有一个交点, 则 a ?{?e} U (0, ??) x ln x

函数图像如图所示:直线 y ? a与函数y ?

14. {2 5}

解析:

设A (x2 , y2 ) ,切点为 Q (x1, y1 ) ,B

A
2 1 2 1

x y AQ ? AO ? r ? x ? y ? 4( ? ? 1) 5 4 x2 x2 则 ? x 21 ? 4(1 ? 1 ) ? 4 ? 1 5 5 x ? AQ ? 1 ( x1 ? 0) 5
2 2 2 2 1 2 1

Q

F

B

同理可求得: BQ ? 有椭圆第二定义:

x2 5

1 x1 5 1 BF ? a ? ex2 ? 5 ? x2 5 1 AF ? BF ? 2 5 ? ( x1 ? x2 ) 5 AF ? a ? ex1 ? 5 ?

所以:

?ABF 周长=AB+AF+BF= ? 2 5(为定值)

1 1 (x1 ? x2 ) ? 2 5 ? (x1 ? x2 ) 5 5

15. (本小题满分 14 分) 解:⑴线段 AB 的垂直平分线为 2 x ? y ? 9 ? 0 圆心 C (4,1) , 半径 r ? 5 故所求圆 C 的标准方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 25 ⑵圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 4 所以弦长为 2 r 2 ? d 2 ? 6 . 16. (本小题满分 14 分) 解:⑴∵命题 p 为真命题 ∴ D ? E ? 4F ? 0 ,即 (?2m)2 ? 4(2m2 ? 2m ? 3) ? 0
2 2

???????3 分

???????7 分 ???????10 分 ???????14 分

整理得 m ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? m ? 1
2

∴实数 m 的取值范围为 (?3,1) . ⑵当命题 q 为真命题时有 f '( x) ? x2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立 ∴ ? ? m ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2
2

???????5 分

???????9 分

若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,则有 ? 若命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则有 ? 故所求实数 m 的取值范围为 (?3, ?2)

??3 ? m ? 1 ,解得 ?3 ? m ? ?2 ;11 分 ?m ? ?2或m ? 2

?m ? ?3或m ? 1 ,解得 1 ? m ? 2 .13 分 ? 2 ? m ? 2 ?
???????14 分

[1, 2] .

注:若第⑵小题得结果 ?2 ? m ? 2 ,而以下推理均正确,则总共扣 3 分.

17. (本小题满分 15 分) ⑴证明:在△ ABC 中,

E N

F

因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , BC I FB ? B 所以 AC ? 平面 FBC . ???7 分 ????3 分
A

D M

C B

⑵连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN . 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点. 在△ACE 中, EA // MN . 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . ???15 分 ???11 分

18. (本小题满分 15 分)

2 50 ,所以 A 到 D 所用时间 t1 ? , sin ? sin ? 50 50cos? 50cos? cos? , CD ? 100 ? BD ? 100 ? ,所以 D 到 C 所用时间 t2 ? 2 ? , BD ? ? tan ? sin ? sin ? sin? ? 2 ? cos? 所以 t (? ) ? t1 ? t2 ? ???5 分 ? 2 ,定义域为 (? , ) . 2 sin ? sin 2 ? ? (2 ? cos ? ) cos ? 1 ? 2cos ? ? ⑵ t ?(? ) ? ???8 分 sin 2 ? sin 2 ? 1 ? ? ? ? 令 t ?(? ) ? 0 ? cos? ? ? ? ? ? ;所以 ? ? ( , ) , t (? ) 单调增; ???10 分 2 3 2 3 2
解:⑴ AD ? 因为 ?BCA ? ? ,则 ? ? ? ? 因此, ? ? 答:当 ? ?

?
3

时, t ?(? ) ? 0 ,所以 ? ? (? , ) , t (? ) 单调减;???12 分

?

3

?
3

, t (? ) 取到最小值 2 ? 3 . 时,由 A 到 C 的时间 t 最少,最少时间为 2 ? 3 小时.

???14 分 ???15 分

?
3

注:若定义域写成闭区间 [? , ] 不扣分;若写成 (0, ) 扣 2 分.

?

?

2

2

19. (本小题满分 16 分) 解:⑴∵ f '( x) ? ∴ g '( x ) ? 由 g '( x) ?

1? x 2x ?1 ,∴ g ( x) ? x e ex

???2 分

3 ? 2x ex 3 ? 2x 3 ? 0 得, x ? x e 2 3 2 3 2
???3 分

当 x ? (??, ) 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ) 当 x ? ( , ??) 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 的单调递减区间为 ( , ??) ⑵关于 x 的不等式 | ln x |? f ( x) ? c 有解 ? c ? ?| ln x | ? f ( x)? min 设 ? ( x) ?| ln x | ? f ( x) ①当 x ? (0,1] 时, ? ( x) ? ? ln x ? ∵ ? '( x) ? ?

???5 分

3 2

3 2

???7 分 ???9 分

x ex

1 1? x ? ?0 x ex

∴ ? ( x) 在 (0,1] 单调递减

∴当 x ? (0,1] 时, ? ( x ) min ? ? (1) ? ? ②当 x ? (1, ??) 时, ? ( x ) ? ln x ? ∵ ? '( x) ?

1 e

???12 分

x ex

1 1? x ? ?0 x ex

∴ ? ( x) 在 (1, ??) 单调递增

∴当 x ? (1, ??) 时, ? ( x) ? ? (1) ? ?

1 e 1 e

???15 分

综上可知,函数 ? ( x) ?| ln x | ? f ( x) 的最小值为 ? 所以实数 c 的最小值为 ?

1 . e

???16 分

20. (本小题满分 16 分) 解:⑴∵离心率为

c 2 2 ,∴ ? a 2 2

∴ a ? 2b
2

2

???2 分

将 A(2, 2) 代入椭圆方程得 解得 a2 ? 8, b2 ? 4 故所求椭圆的标准方程为

4 2 ? ?1 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 8 4

???5 分
2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y2 ? ? 2 1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

⑵①设 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) , kDA ? kDB ?
2 2 2 ∵ A, D 都在椭圆上,∴ x1 ? 2 y12 ? 8 , x2 ? 2 y2 ?8

∴ y2 ? y1 ? 4 ?
2 2

1 2 1 1 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? ? ( x2 ? x12 ) 2 2 2

∴ k DA ? k DB ? ?

1 . ???10 分 2
???11 分

② M 在定直线 x ? 4 上.

F (2, 0)
∵ k DB ? k BF ?

y1 x ?2 ,∴ k DA ? ? 1 x1 ? 2 2 y1 x1 ? 2 ( x ? x1 ) 2 y1 x1 ? 2 ( x ? x1 ) 2 y1


∴直线 AD 的方程为 y ? y1 ? ?

同理,直线 BC 的方程为 y ? y1 ? ? 由②-①得 2 y1 ? ?



x1 ? 2 x ?2 ( x ? x1 ) ? 1 ( x ? x1 ) 2 y1 2 y1


2 整理得 2x1 ? 4 y12 ? 4x 2 ∵ x1 ? 2 y12 ? 8

∴x?4 所以直线 AD 与 BC 的交点 M 在定直线 x ? 4 上. ???16 分


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