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广东省执信中学09-10学年高二上学期期中考试(数学理)


09执信中学 09-10 学年高二第一学期期中考试 理科数学 理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分, 分钟。 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项: 注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线 内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上 学号填涂在答题卡上。 学号填涂在答题卡上 2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上 不能答在试卷上。 不能答在试卷上 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区 黑色字迹的钢笔或签字笔 域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效 超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 超出指定区域的答案无效 不准 使用铅笔和涂改液。 使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共
项是符合题目要求的.) 项是符合题目要求的 ) 1. 命题“对任意的 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≤ 0 ”的否定是 A.不存在 x ∈ R, x ? x + 1 ≤ 0
3 2

40 分)

小题. 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题( ( *
3 2

)

B.存在 x ∈ R, x ? x + 1 ≥ 0 D. 对任意的 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 > 0 ( D.32 * )

C.存在 x ∈ R, x ? x + 1 > 0
3 2

2. 等比数列 {an } 中, a4 = 4 ,则 a2 ? a6 等于 A. 4 3. 设集合 M = 数为 A. 3 B. 2 C. 1 B.8 C.16

{( x, y ) x

2

+ y 2 = 1, x、y ∈ R , N =

}

{( x, y ) x

2

? y = 0, x、y ∈ R ,则 M I N 的元素个

}

( * ) D. 0
频率 组距

4. 为了了解高三学生的数学成绩,抽取了 某班 60 名学生,将所得数据整理后,画出其 频率分布直方图(如图 3) ,已知从左到右各 长方形高的比为 2:3:5:6:3:1,则该班 学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数 是( * ) A. 32 人 C. 24 人 B. 27 人

60

80

100

120

D. 33 人

分数

第 4 题图

5. 将函数 y = sin x 的图象向左平移 ? (0 ≤ ? ≤ 2π ) 个单位后,得到函数 y = sin( x ?
象,则 ? 等于 ( * )

π
3

) 的图

-1-

A.

5π 2π π C. D. 6 3 6 6.已知命题:“若 x ⊥ y , y // z ,则 x ⊥ z ”成立,那么字母 x, y , z 在空间所表示的几何图形不
B. A.都是直线 C. x, y 是直线, z 是平面 ( * ) B.都是平面 D. x.z 是平面, y 是直线

5π 3



7. 设 x = a + b, y = b + c, z = c + a , a ,b ,c }是空间的一个基底, 且{ 给出下列向量组: (1) { a , b , x }; (2){ x , y , z }; (3){ z , b , c }; (4){ x , y , a + b + c },其中可以作 为空间的基底的向量组有 A.1 个 B.2 个 8. 函数 y= ln cos x (( * ) C.3 个 D.4 个 ( * )

π π <x< ) 的图象是 2 2

A

B

C

D

第二部分非选择题(共 110 分)
小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题( ) 9. 已知 a =(2,-3,1) b =(-4,2, x ),且 a ⊥ b ,则 x = , *

10.已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否达标,现采用系统抽样的方法从中 抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第十一组抽出的号码为* 11.一几何体的三视图都是一个半径为 2 的圆,则该 几何体的体积为 *
K=1

开始

12. 在一个边长为 2 的正方形中随机撒入 200 粒豆子, 恰有 120 粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积 约为 *
k ≤ 50?

S =0


13. 右图的程序框图表示算法的运行结果是 * ..

?4 x + 3 y ? 12 > 0 ? 14. 设 p: ?3 ? x ≥ 0 (x、y∈R), ? x + 3 y ≤ 12 ?


S = S + 2k k = k +1

输出 S 结束

第 13 题
-2-

q: x + y ≤ r (x、y∈R,r>0),若 p 是 q 的
2 2 2

充分不必要条件,则 r 的取值范围是__ *

__.

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 解答题( 15.(本小题满分 14 分)如图,在长方体 D1 F A1 D C B 8 5 B1 E E C1

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = AD = a ,

AB = 2a , E 、 F 分别为 C1 D1 、 A1 D1 的中点.
(1)求证: DE ⊥ 平面 BCE ; (2)求证: AF // 平面 BDE .

A 第 15 题图 16.(本小题满分 14 分)已知 x,y 之间的一组数据如下表: x y 1 1 3 2 6 3 7 4

(1)从 x ,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; (2)对于表中数据, 乙两同学给出的拟合直线分别为 y = 甲、

1 1 1 x +1与 y = x + , 试利用“最 3 2 2
y

小二乘法 (也称最小平方法)”判断哪条直线拟合程度更好. 17.(本小题满分 14 分)已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C : x 2 + ( y ? 3) 2 = 4 相交于 P 、 Q 两点, l 与 直线 m : x + 3 y + 6 = 0 相交于 N . (1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ; (2)当 PQ = 2 3 时,求直线 l 的方程. N 第 17 题图 P A O m

C· Q

l

x

18. (本小题满分 14 分)直角坐标系 xoy 中,角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: y= 2 2 x (x≥0). (1)求 sin(α +

π
6

) 的值;

(2)若点 P,Q 分别是角 α 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐 标.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=-sin2x+sinx+a, (1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围;

-3-

(2)若 x ∈ [

π 2π
6 , 3

] ,有 1≤f(x)≤

17 ,求 a 的取值范围。 4
n

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = 2a n + ( ?1) , n ≥ 1 (1)写出数列 {a n } 的前 3 项 a1 , a 2 , a 3 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式 (3)证明:对于任意的整数 m > 4 ,有

1 1 1 7 + + ... + < a 4 a5 am 8

-4-

参考答案 一.选择 CCBD ACCA 二.填空 9.14 ; 10.211;11.

32π ;12.2.4 ;13.2550 ; 14. [3 2, ∞) + 3

三.解答 15. (1)证明:Q BC ⊥ 侧面 CDD1C1 , DE ? 侧面 CDD1C1 ,∴ DE ⊥ BC ,……3 分 在 ?CDE 中, CD = 2 a, CE = DE =

2a ,则有 CD 2 = CE 2 + DE 2 ,
………………………………………6 分 ……………………………………7 分

∴ ∠DEC = 90° ,∴ DE ⊥ EC , 又 BC I EC = C ∴ DE ⊥ 平面 BDE .

(2)证明:连 EF 、 A1C1 ,连 AC 交 BD 于 O ,

Q EF //

1 1 A1C1 , AO // A1C1 ,∴ 四边形 AOEF 是平行四边形,……………10 分 2 2 ∴ AF // OE ………………………11 分 又Q OE ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , ∴ AF // 平面 BDE . ………………………14 分
16. (1)从 x,y 各取一个数组成数对(x ,y),共有 25 对,………………………………2 分 其中满足 x + y ≥ 10 的有 ( 6 , 4 ), ( 6 ,5 ), ( 7 ,3), ( 7 , 4 ), ( 7 ,5 ), (8 , 2 ), (8 ,3 ), (8 , 4 ), (8 ,5 ) ,共 9 对…5 分 9 9 故所求概率为 P = ,所以使 x + y ≥ 10 的概率为 .………… 7 分 25 25 1 (2)用 y = x + 1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 3 4 10 11 7 S1 = ( ? 1) 2 + (2 ? 2) 2 + (3 ? 3) 2 + ( ? 4) 2 + ( ? 5) 2 = .……………10 分 3 3 3 3 1 1 用 y = x + 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 2 2 7 9 1 S 2 = (1 ? 1) 2 + (2 ? 2) 2 + ( ? 3) 2 + (4 ? 4) 2 + ( ? 5) 2 = .……………………12 分 2 2 2 1 1 Q S 2 < S1 ,故用直线 y = x + 拟合程度更好.……………14 分 2 2 17. . (1)∵ l 与 m 垂直,且 k m = ?

1 ,∴ kl = 3 , 3

y

故直线 l 方程为 y = 3( x + 1) ,即 3 x ? y + 3 = 0 ………3 分 ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程, ∴当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C …………………5 分 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x = ?1 符合题 意………8 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为

C· M Q · · A N
第 17 题

l

P O m

x

y = k ( x + 1) ,即 kx ? y + k = 0 ,……9 分
-5-

∵ PQ = 2 3 ,∴ CM = 则由 CM =

4 ? 3 = 1 ,……………10 分
4 , ∴直线 l : 4 x ? 3 y + 4 = 0 .………13 分 3

| ?k + 3 | k +1
2

= 1 ,得 k =

故直线 l 的方程为 x = ?1 或 4 x ? 3 y + 4 = 0 …………………14 分 18. (1)由射线 l 的方程为 y = 2 2 x ,可得 sin α = 故 sin(α +

2 2 1 , cos α = , 3 3

……2 分

π
6

)=

2 2 3 1 1 1+ 2 6 × + × = . 3 2 3 2 6

…………………………5 分

(2)设 P (a,0 ), Q b,2 2b (a > 0, b > 0 ) . …………7 分 在 ?POQ 中因为 PQ 2 = (a ? b ) + 8b 2 = 16 ,
2
2 2

(

)

……………9 分

即 16 = a + 9b ? 2ab ≥ 6ab ? 2ab = 4ab ,所以 ab ≤4

……………11 分

∴ S ?POQ = 2ab ≤ 4 2 .当且仅当 a = 3b ,即 a = 2 3 , b =

2 3 取得等号. 3

…………13 分

所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P 2 3 ,0 , Q? 19. 解: (1)f(x)=0,即 a=sin2x-sinx ∴当 sinx=

(

)

?2 3 4 6? ? ? 3 , 3 ? ? ?

…………14 分

…………1 分=(sinx-

1 2 1 )- 2 4

……………3 分

1 1 时,amin= ……………4 分当 sinx=-1 时,amax=2,…………5 分 2 4 1 ∴[ ? ,2]为所求 4 法 2:∵ ? sin2x+sinx+a=0 设 t= sinx ,则 t∈[-1,1]那么依题意有
方程 ? t + t + a = 0 有两个根 x1 , x 2 ,且 ?1 ≤ x1 , x 2 ≤ 1
2

?f (?1) ≤ 0 ? ∴ ?f (1) ≤ 0 或 f (1) ? f ( ?1) ≤ 0 ?? ≥ 0 ?
∴?

…3 分 解得:

1 ≤ a ≤ 2 ……………5 分 4

17 ? 2 π 2π 7 ?a ≤ sin x ? sin x + (2)由 1≤f(x)≤ 得 ? 4 ……7 分∵ x ∈ [ , ] 4 ? 6 3 2 ?a ≥ sin x ? sin x + 1

-6-



1 ≤sinx≤1 2

……8 分∴u1=sin2x-sinx+ …11 分

17 1 = (sin x ? ) 2 +4≥4 4 2
…………12 分

…9 分 u2=sin2x-

1 3 sinx+1= (sin x ? ) 2 + ≤1 2 4

∴ 1≤a≤4

20. (1) a1 = 1, a 2 = 0, a3 = 2 …………3 分 (2) a n = S n ? S n ?1 = 2a n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 …………4 分 化简得 a n = 2a n ?1 ? 2(?1) n ?1 , 上式可化为 a n + (?1) n = 2[a n ?1 + (?1) n ?1 ] 而 a1 + (?1)1 ≠ 0 …………6 分 故数列 ?a n + (?1) n ? 是以 a1 + (?1)1 为首项公比为 2 的等比数列,…………7 分
? ? ? 2 3 ? 2 3
2 3 2 3 2 3

故 a n + (?1) n = 2 n ?1 所以 a n = (3)由已知得:

2 3

1 3

2 n? 2 [2 ? (?1) n ] 3

…………8 分

1 1 1 3 1 1 1 + + ... + = [ 2 + 3 + ... + m ? 2 ] a 4 a5 am 2 2 ?1 2 ?1 2 ? (?1) m

= [ + +

3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ....] + ... + m ? 2 ] = [1 + + + ...] < [1 + + + + m 9 15 2 3 5 11 2 3 5 10 20 2 ? (?1)

1 1 (1 ? m ?5 ) 1 4 5 1 4 2 2 1 13 1 1 13 104 105 7 2 = [ + ] = [ + ? ? m ? 5 ] = ? ? ( ) m ?5 < = < = …………12 分 1 2 3 2 3 5 5 2 15 5 2 15 120 120 8 1? 2

故命题得证.

-7-


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