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高中数学理科选修2-2知识点总结


第一章 导数及其应用
一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即

f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

例1. 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
运动员在 t=2s 时的瞬时速度是多少? 解:根据定义

v ? h?(2) ? lim

?x ?0

h(2 ? ?x) ? h(2) ? ?13.1 ?x

即该运动员在 t=2s 是 13.1m/s,符号说明方向向下

P 时,直线 PT 与 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P n 趋近于
曲线相切。容易知道,割线 PP n 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) P 时,函 ,当点 P n 趋近于 xn ? x0

数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即

k ? lim

?x ?0

f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

3. 导函数: 当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数, 我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记作 y? ,即

f ?( x) ? lim
二.导数的计算 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数
2

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

4.函数 y ? f ( x ) ?

1 的导数 x

基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 2 若 f ( x) ? x? ,则 f ?( x) ? ? x? ?1 ; 3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5 若 f ( x) ? a x ,则 f ?( x) ? a x ln a 6 若 f ( x) ? e x ,则 f ?( x) ? e x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值;

(2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个 最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推 理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事 物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某 些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能 是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比 得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础; B.假设在 n=k 时命题成立 C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2. 分析法: 3. 综合法:

第一章 数系的扩充和复数的概念 考点一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi(a ? R, b ? R) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时, 叫做纯虚数. 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部 分叫做虚轴。 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

(3) (4) (5) (6)

考点二:复数的运算 1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论 (1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则 | z | ? z
2 2

3.运算律 (1) z ? z ? z
m n m? n

;(2) ( z ) ? z
m n

mn

n ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1 ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i ? ?1 (2) i ? ?i
2 3

(3) i ? 1
4

(2) i ? i
n

n?2

? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0


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