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分类计数原理与分步计数原理


第十章 § 10.1

排列、组合和二项式定理

分类计数原理与分步计数原理
(时间:45 分钟 满分:100 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图案为 L 型(每次旋转 90° 仍为 L 型图案),那么在由 4×5 个小方格组成

的方格纸上可以画出不同位置的 L 型 图案的个数是( )

A.16

B.32

C.48

D.64

2.已知集合 M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐 标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( A.18 B.10 C.16 D.14 )

3.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比 数列的个数为( A.3 ) C.6 D.8

B.4

4.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不 同的参观路线种数共有( A.6 种 B.8 种 ) C.36 种 D.48 种

5. 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图, 公司在年初分配给 A、 B、 C、D 四个维修点某种配件各 50 件,在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件,但调整只能 在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n)为( A.15 B.16 C.17 D.18 )

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打, 共有________种不同的选法. 7.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同 颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.

8.将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种 填法,则不同的填写方法共有________种.

9.在 2008 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须 在 1、2、3、4、5、6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式 共有____种. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)一个口袋里有 5 封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮筒,有多少种不同的放法? 11.(14 分)某校高中部,高一有 6 个班,高二有 7 个班,高三有 8 个班,学校利用星期六组 织学生到某厂进行社会实践活动. (1)任选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (2)三个年级各选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (3)选 2 个班的学生参加社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同 的选法? 12.(14 分)有五种不同颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色. (1)共有多少种不同的涂色方法? (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方 法? 答案 1.C 6.20 2.D 7.180 3.D 8.12 4.D 9.2 880 5.B

10. 解 (1)各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能算完成了这件事,因此应分两个步骤 完成,由分步计数原理知,共有 5×4=20(种).

(2)第一封信投入邮筒有 4 种可能,第二封信仍有 4 种可能,……,第九封信还有 4 种 可能,由分步计数原理可知,共有 49 种不同的放法. 11. 解 (1)分三类:第一类从高一年级选 1 个班,有 6 种不同方法;第二类从高二年级选 1

个班,有 7 种不同方法;第三类从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法.由分类计数原 理知,共有 6+7+8=21(种)不同的选法. (2)每种选法分三步:第一步从高一年级选 1 个班,有 6 种不同方法;第二步从高二年 级选 1 个班,有 7 种不同方法;第三步从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法.由分步 计数原理知,共有 6×7×8=336(种)不同的选法. (3)分三类,每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选 1 个班,有 6×7 种不同 方法;第二类从高一、高三两个年级各选 1 个班,有 6×8 种不同方法;第三类从高二、 高三年级各选 1 个班,有 7×8 种不同的方法,故共有 6×7+6×8+7×8=146(种)不同 选法. 12. 解 (1)由于 1 至 4 号区域各有 5 种不同涂法,依分步计数原理知,不同的涂法共有 54 =625(种). (2)分两类计数:第一类,1 号与 3 号区域同色,有 5×4×4=80(种)涂法;第二类,1 号区域与 3 号区域异色,有 5×4×3×3=180(种)涂法. 由分类计数原理知, 共有不同的涂色方法 80+180=260(种).


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