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《1.3.2函数的极值与导数》教学案3


《1.3.2 函数的极值与导数》教学案 3 教学目标: 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 一.创设情景 观察图 3.3-8,我们发现,t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规 律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像,如图 3.3-9.可以看出 h?( a ) ;在 t ? a ,当 t ? a 时, 函数 h(t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明,在 .这样,当 t 在 a 的 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ) 附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 . 对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 王新敞 奎屯 新疆 二.新课讲授 1 . 问 题 : 图 3.3-1 ( 1 ) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化 的函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增 加,即 h(t ) 是增函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减 少,即 h(t ) 是减函数.相应地, v(t ) ? h' (t ) ? 0 . 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增;在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减. 结论:函数的单调性与导数的关系 ' 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如 ' 果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. ' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ?

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